Șiruri de numere reale

Studiul șirurilor, al limitelor și al șirurilor remarcabile.

Ce este un șir de numere reale

Un șir de numere reale este o funcție definită pe mulțimea numerelor naturale cu valori reale: fiecărui indice n îi corespunde termenul aₙ. Șirul se notează (aₙ) și poate fi dat în mai multe moduri:

• prin formula termenului general: aₙ = 2n + 1 — poți calcula direct orice termen;
• prin relație de recurență: aₙ₊₁ = aₙ + 3, cu a₁ dat — fiecare termen se obține din precedentul;
• prin descriere: șirul zecimalelor lui π.

Două atenționări la citirea notațiilor: aₙ₊₁ înseamnă termenul de rang n+1, în timp ce aₙ + 1 înseamnă termenul aₙ mărit cu 1 — parantezele și poziția indicelui schimbă complet sensul. De asemenea, verifică mereu de unde pornește indexarea (n = 0 sau n = 1): formula „al zecelea termen” depinde de convenția enunțului.

La recurențe, primul reflex bun este calculul primilor 3-4 termeni: vezi imediat dacă șirul crește, scade sau oscilează și poți emite o ipoteză pentru termenul general, care apoi se demonstrează prin inducție matematică. Un șir nu este o mulțime: ordinea termenilor și repetițiile contează — șirul 1, 1, 1, ... are o infinitate de termeni, deși ia o singură valoare.

Monotonie și mărginire

Un șir (aₙ) este:

• crescător dacă aₙ₊₁ ≥ aₙ pentru orice n (strict crescător cu inegalitate strictă);
• descrescător dacă aₙ₊₁ ≤ aₙ pentru orice n;
• monoton dacă este crescător sau descrescător.

Metode de studiu al monotoniei:

• diferența: semnul lui aₙ₊₁ − aₙ (pozitiv → crescător);
• raportul: pentru șiruri cu termeni strict pozitivi, compararea lui aₙ₊₁/aₙ cu 1 — utilă la produse, puteri, factoriale.

Un șir este mărginit dacă există numere m și M astfel încât m ≤ aₙ ≤ M pentru orice n — toți termenii încap într-un interval fix. Mărginit superior înseamnă doar plafonul M; mărginit inferior, doar podeaua m.

Legăturile de examen dintre noțiuni:

• Teorema lui Weierstrass: orice șir monoton și mărginit este convergent — instrumentul standard pentru a demonstra existența limitei la șiruri recurente;
• Orice șir convergent este mărginit, dar reciproca este falsă: șirul aₙ = (−1)ⁿ este mărginit și totuși nu are limită, pentru că oscilează între −1 și 1.

Greșeala tipică este verificarea monotoniei doar pe primii doi-trei termeni: inegalitatea trebuie demonstrată pentru orice n, algebric sau prin inducție.

Limita unui șir; convergență și divergență

Numărul L este limita șirului (aₙ) dacă termenii se apropie oricât de mult de L pe măsură ce n crește: în afara oricărei vecinătăți a lui L rămân doar un număr finit de termeni. Scriem aₙ → L. Un șir care are limită finită se numește convergent; dacă limita nu există sau este infinită, șirul este divergent.

Proprietăți de bază:

• Limita unui șir convergent este unică;
• Operațiile se transferă la limite: limita sumei este suma limitelor, la fel produsul și câtul (cu numitor nenul) — atâta timp cât limitele implicate sunt finite;
• Criteriul cleștelui: dacă bₙ ≤ aₙ ≤ cₙ, iar (bₙ) și (cₙ) au aceeași limită L, atunci și aₙ → L.

Limite fundamentale de reținut:

• 1/n → 0 și, general, 1/nᵏ → 0 pentru k > 0;
• qⁿ → 0 pentru |q| < 1; qⁿ → +∞ pentru q > 1; pentru q ≤ −1 șirul qⁿ nu are limită;
• Raportul a două polinoame în n: la grade egale limita este raportul coeficienților dominanți; dacă numărătorul are grad mai mare, limita este infinită; dacă mai mic, limita este 0.

Tehnica standard la rapoarte: forțează factorul comun cu puterea dominantă a lui n la numărător și numitor, apoi folosește 1/nᵏ → 0. Atenție la cazurile de nedeterminare (∞ − ∞, ∞/∞, 0 · ∞): ele nu au valoare automată, ci cer prelucrare algebrică.

Progresia aritmetică și progresia geometrică

Cele două șiruri remarcabile ale programei:

Progresia aritmetică: fiecare termen se obține din precedentul prin adunarea unei constante r, numită rație: aₙ₊₁ = aₙ + r.

• Termenul general: aₙ = a₁ + (n − 1)r — atenție la factorul (n − 1), nu n;
• Proprietatea caracteristică: fiecare termen este media aritmetică a vecinilor săi;
• Suma primilor n termeni: Sₙ = (a₁ + aₙ) · n / 2.

Progresia geometrică: fiecare termen se obține din precedentul prin înmulțirea cu o constantă q ≠ 0: bₙ₊₁ = bₙ · q.

• Termenul general: bₙ = b₁ · qⁿ⁻¹;
• Proprietatea caracteristică (pentru termeni pozitivi): fiecare termen este media geometrică a vecinilor;
• Suma primilor n termeni, pentru q ≠ 1: Sₙ = b₁(qⁿ − 1)/(q − 1).

Comportamentul la limită: progresia aritmetică cu r ≠ 0 este întotdeauna divergentă (tinde la ±∞ după semnul lui r). Progresia geometrică converge la 0 pentru |q| < 1, este constantă pentru q = 1, diverge pentru q > 1 și oscilează fără limită pentru q ≤ −1.

Pentru |q| < 1 există și suma tuturor termenilor (seria geometrică): S = b₁/(1 − q) — formula din spatele scrierii 0,(3) = 1/3 și a multor probleme aplicative.

Numărul lui Euler

Șirul eₙ = (1 + 1/n)ⁿ este exemplul clasic de aplicare a teoremei lui Weierstrass: se demonstrează că este strict crescător și mărginit superior (toți termenii sunt sub 3), deci convergent. Limita sa se notează e și se numește numărul lui Euler:

e ≈ 2,718..., număr irațional, baza logaritmului natural (ln x = log în baza e).

De ce nu este limita egală cu 1, cum pare la prima vedere? Baza 1 + 1/n scade spre 1, dar exponentul n crește spre infinit — este nedeterminarea 1^∞. Cele două tendințe se echilibrează exact în valoarea e; a răspunde 1 la o astfel de limită este una dintre cele mai frecvente erori de examen.

Limita generală care rezolvă majoritatea exercițiilor:

(1 + xₙ)^(1/xₙ) → e ori de câte ori xₙ → 0, respectiv (1 + k/n)ⁿ → eᵏ.

Schema practică pentru limite de forma (ceva → 1)^(ceva → ∞): scrie baza ca 1 + uₙ cu uₙ → 0, forțează exponentul 1/uₙ, iar limita devine e ridicat la limita produsului uₙ · exponent.

Numărul e apare natural în modelele de creștere continuă: dobânda compusă calculată din ce în ce mai des pe an tinde exact către factorul e — de aici importanța lui în economie, biologie și fizică, nu doar în analiza matematică.

Test — 6 întrebări ca la examen