Probabilități

Introducerea noțiunii de probabilitate și studiul evenimentelor aleatoare.

Evenimente aleatoare și spațiul evenimentelor

Un experiment aleator este un experiment al cărui rezultat nu poate fi prevăzut cu certitudine: aruncarea unui zar, extragerea unei bile dintr-o urnă. Mulțimea tuturor rezultatelor posibile se numește spațiul evenimentelor elementare (notat de obicei Ω). Pentru un zar, Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Un eveniment este o submulțime a lui Ω: „obținem un număr par” este evenimentul {2, 4, 6}. Vocabularul de bază:

• Evenimentul sigur: Ω însuși — se realizează la orice efectuare a experimentului;
• Evenimentul imposibil: mulțimea vidă — nu se realizează niciodată;
• Evenimentul contrar al lui A (notat non A sau Ā): se realizează exact când A nu se realizează;
• Evenimente incompatibile: nu se pot realiza simultan — intersecția lor este vidă.

Operațiile cu evenimente sunt operațiile cu mulțimi: „A sau B” este reuniunea, „A și B” este intersecția.

O distincție care se pierde des: incompatibil nu înseamnă contrar. Evenimentele „obținem 1” și „obținem 2” sunt incompatibile, dar niciunul nu este contrarul celuilalt — contrarul lui „obținem 1” este „obținem 2, 3, 4, 5 sau 6”. Două evenimente contrare sunt întotdeauna incompatibile, dar reciproc nu.

Probabilitatea clasică

Când toate rezultatele elementare sunt egal posibile, probabilitatea unui eveniment A este:

P(A) = numărul cazurilor favorabile / numărul cazurilor posibile

Aceasta este definiția clasică a probabilității și formatul standard al problemelor de bacalaureat. Pași de rezolvare: descrie precis Ω, numără cazurile posibile, numără cazurile favorabile (adesea cu instrumentele de calcul combinatorial), scrie raportul și simplifică.

Proprietăți fundamentale:

• 0 ≤ P(A) ≤ 1 pentru orice eveniment; P(Ω) = 1, P(∅) = 0;
• Probabilitatea evenimentului contrar: P(non A) = 1 − P(A) — cea mai utilă formulă la cerințele cu „cel puțin unul”;
• Regula adunării: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B); dacă A și B sunt incompatibile, P(A ∪ B) = P(A) + P(B).

Capcana numărării: la experimente compuse, cazurile trebuie numărate în același mod și la numărător și la numitor. La aruncarea a două zaruri există 36 de cazuri posibile ordonate; suma 3 se obține din (1,2) și (2,1) — două cazuri, nu unul. Dacă tratezi perechile ca neordonate, rezultatele nu mai sunt egal posibile și definiția clasică nu se mai aplică direct.

Probabilitatea condiționată

Probabilitatea condiționată P(A | B) este probabilitatea ca A să se realizeze știind că B s-a realizat. Formula de definiție:

P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B), cu condiția P(B) > 0.

Intuiția: informația că B s-a produs restrânge universul — nu mai judecăm în tot Ω, ci doar în interiorul lui B; de aceea împărțim la P(B).

Din definiție rezultă imediat regula înmulțirii:

P(A ∩ B) = P(B) · P(A | B) = P(A) · P(B | A)

Aceasta este formula extragerilor succesive fără revenire: probabilitatea de a extrage două bile albe consecutiv dintr-o urnă cu 4 albe și 6 negre este (4/10) · (3/9) — la a doua extragere au rămas 9 bile, dintre care 3 albe, pentru că prima bilă nu se pune înapoi.

Două avertismente care valorează puncte:

• P(A | B) nu este P(B | A) — probabilitatea de a avea febră dacă ai gripă nu coincide cu probabilitatea de a avea gripă dacă ai febră; inversarea lor este cea mai răspândită eroare de raționament probabilistic;
• Condiționarea nu se scade și nu se înmulțește automat: P(A | B) se calculează întotdeauna din raportul P(A ∩ B)/P(B), nu prin alte combinații ale valorilor date.

Independența evenimentelor

Evenimentele A și B sunt independente dacă realizarea unuia nu modifică probabilitatea celuilalt: P(A | B) = P(A). Definiția echivalentă, folosită practic la calcule și verificări:

A și B sunt independente ⇔ P(A ∩ B) = P(A) · P(B)

Exemple de independență: aruncări repetate ale unei monede sau ale unui zar, extrageri cu revenire dintr-o urnă. Exemple de dependență: extrageri fără revenire — compoziția urnei se schimbă după fiecare extragere.

Distincția crucială, testată aproape în fiecare sesiune:

• Independent: P(A ∩ B) = P(A) · P(B) — probabilitățile se înmulțesc;
• Incompatibil: A ∩ B = ∅, deci P(A ∪ B) = P(A) + P(B) — probabilitățile se adună la reuniune.

Cele două noțiuni nu doar că diferă, dar practic se exclud: două evenimente incompatibile cu probabilități nenule nu pot fi independente, pentru că P(A ∩ B) = 0 în timp ce P(A) · P(B) > 0.

Aplicație tip: probabilitatea ca un dispozitiv cu două componente independente să funcționeze. Dacă fiecare componentă funcționează cu probabilitatea 0,9, probabilitatea ca ambele să funcționeze este 0,81, iar probabilitatea ca cel puțin una să funcționeze se calculează prin contrar: 1 − P(ambele defecte) = 1 − 0,1 · 0,1 = 0,99.

Formula probabilității totale și regula lui Bayes

Dacă evenimentele B₁, B₂, ..., Bₙ formează un sistem complet de evenimente (sunt incompatibile două câte două și reuniunea lor este Ω), atunci pentru orice eveniment A are loc formula probabilității totale:

P(A) = P(B₁)P(A | B₁) + P(B₂)P(A | B₂) + ... + P(Bₙ)P(A | Bₙ)

Intuiția: descompui realizarea lui A pe „scenariile” B₁, ..., Bₙ și aduni contribuțiile. Exemplu clasic: două urne, alegi una la întâmplare și extragi o bilă — probabilitatea unei bile albe este media ponderată a probabilităților din fiecare urnă.

Regula lui Bayes inversează sensul condiționării: știind că A s-a produs, care este probabilitatea ca „scenariul” Bᵢ să fi fost cel real?

P(Bᵢ | A) = P(Bᵢ)P(A | Bᵢ) / P(A), unde P(A) se calculează cu formula probabilității totale.

Schema practică de rezolvare: identifică scenariile (sistemul complet), scrie probabilitățile inițiale P(Bᵢ) și probabilitățile condiționate P(A | Bᵢ), calculează numitorul P(A) prin probabilitatea totală, apoi raportul.

Un arbore de probabilități ajută enorm: pe primul nivel scenariile, pe al doilea rezultatele; înmulțești de-a lungul ramurilor și aduni ramurile care duc la evenimentul dorit. Bayes înseamnă doar: ramura favorabilă împărțită la suma tuturor ramurilor care produc A.

Test — 6 întrebări ca la examen