Limite de funcții

Studiul limitelor funcțiilor reale și al continuității.

Limita unei funcții într-un punct

Spunem că funcția f are limita L în punctul x₀ dacă, atunci când x se apropie oricât de mult de x₀ (fără a fi neapărat egal cu x₀), valorile f(x) se apropie oricât de mult de L. Scriem: limita lui f(x) când x → x₀ este L.

Două precizări esențiale, pe care examinatorii le verifică:

• Limita descrie comportamentul funcției în jurul punctului, nu în punct: f poate să nu fie definită în x₀ și totuși să aibă limită acolo. Exemplul clasic: f(x) = (x² − 1)/(x − 1) nu este definită în 1, dar după simplificare f(x) = x + 1 pentru x ≠ 1, deci limita în 1 este 2;
• Chiar dacă f(x₀) există, limita poate diferi de valoarea funcției — coincidența lor este exact definiția continuității.

Pentru funcțiile elementare (polinomiale, raționale, radical, exponențiale, logaritmice, trigonometrice) limita într-un punct al domeniului se calculează prin înlocuire directă — acestea sunt continue pe domeniul lor.

Caracterizarea cu șiruri (criteriul lui Heine): f are limita L în x₀ dacă pentru orice șir xₙ → x₀ (cu xₙ ≠ x₀) rezultă f(xₙ) → L. Această legătură transferă toate regulile de calcul de la șiruri la funcții și explică de ce un singur șir cu altă limită demonstrează inexistența limitei.

Limite laterale

Limita la stânga în x₀ urmărește valorile f(x) când x se apropie de x₀ doar cu valori mai mici decât x₀; limita la dreapta, doar cu valori mai mari. Notațiile uzuale: x → x₀, x < x₀ (sau x₀−), respectiv x → x₀, x > x₀ (sau x₀+).

Teorema de caracterizare: limita există dacă și numai dacă ambele limite laterale există și sunt egale; valoarea comună este limita.

Când sunt indispensabile limitele laterale:

• la funcțiile definite pe ramuri — în punctul de trecere de la o ramură la alta, calculezi fiecare limită laterală pe ramura corespunzătoare;
• la funcțiile cu modul — modulul se desface diferit la stânga și la dreapta punctului critic;
• la limite de forma c/0 cu c ≠ 0 — semnul numitorului la stânga și la dreapta decide dacă limita laterală este +∞ sau −∞. Exemplu: 1/x are limita la stânga −∞ și la dreapta +∞ în 0, deci nu are limită în 0.

Greșeala frecventă la ramuri: folosirea aceleiași ramuri pentru ambele laterale sau înlocuirea directă în ramura care conține punctul, fără verificarea celeilalte. Regula practică: sub x₀ folosești exclusiv formula valabilă pentru x < x₀, deasupra — exclusiv pe cea pentru x > x₀, indiferent unde este definit punctul însuși.

Operații cu limite și limite la infinit

Dacă f și g au limite finite în x₀, atunci:

• limita sumei = suma limitelor; limita produsului = produsul limitelor;
• limita câtului = câtul limitelor, dacă limita numitorului este nenulă;
• constantele ies în fața limitei.

Cu limite infinite, regulile intuitive funcționează atâta timp cât nu se ajunge la nedeterminare: ∞ + ∞ = ∞, c · ∞ = ∞ (cu semnul dat de semnul lui c), c/∞ = 0.

Limite la infinit pentru funcțiile uzuale:

• Polinoamele se comportă la ±∞ ca termenul dominant: limita lui 2x³ − 5x + 1 la −∞ este −∞;
• Funcțiile raționale: la grade egale, limita este raportul coeficienților dominanți; grad mai mare la numărător → limită infinită; grad mai mic → limită 0;
• eˣ → +∞ când x → +∞ și eˣ → 0 când x → −∞; ln x → +∞ când x → +∞ și ln x → −∞ când x → 0 prin valori pozitive.

Ierarhia creșterilor la +∞, de la cel mai lent la cel mai rapid: ln x ≪ xᵃ (a > 0) ≪ eˣ. Consecințe directe: ln x / x → 0 și x / eˣ → 0 la +∞ — exponențiala bate orice putere, iar orice putere bate logaritmul. Aceste comparații rezolvă rapid multe nedeterminări ∞/∞ fără calcule suplimentare.

Cazurile de nedeterminare

O nedeterminare este o situație în care regulile de operare cu limite nu dau un răspuns direct: rezultatul depinde de funcțiile concrete. Formele clasice: 0/0, ∞/∞, ∞ − ∞, 0 · ∞, 1^∞, 0⁰, ∞⁰.

Atenție: nedeterminare nu înseamnă „limita nu există”, ci „trebuie lucrat”. Tehnicile standard:

• 0/0 cu polinoame: și numărătorul și numitorul se anulează în x₀, deci ambele se divid cu (x − x₀) — descompune și simplifică factorul comun, apoi înlocuiește;
• 0/0 cu radicali: amplifică cu expresia conjugată, apoi simplifică;
• ∞/∞ la rapoarte de polinoame: forțează factor comun puterea dominantă sau aplică direct regula gradelor;
• ∞ − ∞ cu radicali: amplificare cu conjugata transformă diferența într-un raport;
• 1^∞: se reduce la limita fundamentală (1 + u)^(1/u) → e când u → 0;
• Limitele fundamentale trigonometrice și logaritmice: sin x / x → 1, tg x / x → 1, (eˣ − 1)/x → 1, ln(1 + x)/x → 1, toate pentru x → 0.

Greșeli care se penalizează: a scrie 0/0 = 0 sau 0/0 = 1 (nedeterminarea cere prelucrare, nu are valoare proprie) și a trata ∞ − ∞ ca 0 (cele două „infinituri” pot crește cu viteze diferite). De asemenea, c/0 cu c ≠ 0 nu este nedeterminare — este limită infinită, cu semnul stabilit prin limite laterale.

Continuitatea funcțiilor

Funcția f este continuă în punctul x₀ din domeniu dacă are limită în x₀ și aceasta este egală cu valoarea funcției:

limita lui f(x) când x → x₀ = f(x₀)

Practic, la o funcție definită pe ramuri, continuitatea în punctul de legătură cere trei numere egale: limita la stânga, limita la dreapta și f(x₀). Problemele tipice de examen dau un parametru în una dintre ramuri și cer valoarea lui pentru care funcția devine continuă — se egalează cele trei expresii.

O funcție continuă în fiecare punct al domeniului se numește continuă pe domeniu. Toate funcțiile elementare sunt continue pe domeniile lor, iar suma, produsul, câtul (cu numitor nenul) și compunerea funcțiilor continue sunt continue.

Dacă f nu este continuă în x₀, punctul este de discontinuitate:

• de prima speță: ambele limite laterale există și sunt finite, dar nu sunt egale între ele sau diferă de f(x₀) — graficul are un „salt”;
• de a doua speță: cel puțin o limită laterală este infinită sau nu există.

Proprietatea de aur a funcțiilor continue: dacă f este continuă pe [a, b] și f(a) · f(b) < 0, atunci ecuația f(x) = 0 are cel puțin o soluție în intervalul (a, b) — semnul se schimbă doar trecând prin zero. Pe aceasta se bazează exercițiile „arătați că ecuația are o rădăcină în intervalul dat”: calculezi valorile în capete și arăți că au semne opuse, menționând obligatoriu continuitatea.

Test — 6 întrebări ca la examen