Funcții derivabile

Studiul derivabilității funcțiilor și aplicațiile derivatei în studiul funcțiilor.

Derivata într-un punct și interpretarea geometrică

Derivata funcției f în punctul x₀ este limita:

f′(x₀) = limita raportului (f(x) − f(x₀))/(x − x₀) când x → x₀,

dacă această limită există și este finită. Funcția este atunci derivabilă în x₀.

Interpretarea geometrică — cerință directă de examen: f′(x₀) este panta tangentei la graficul lui f în punctul (x₀, f(x₀)). Ecuația tangentei:

y − f(x₀) = f′(x₀)(x − x₀)

Interpretarea cinematică: dacă f(t) este poziția unui mobil la momentul t, atunci f′(t) este viteza instantanee — derivata măsoară ritmul de variație.

Legătura cu continuitatea, sursă constantă de puncte pierdute: orice funcție derivabilă într-un punct este continuă în acel punct, dar reciproca este falsă. Contraexemplul obligatoriu: f(x) = |x| este continuă în 0, dar derivatele laterale sunt −1 la stânga și 1 la dreapta, deci nu este derivabilă în 0 — graficul are un punct unghiular.

Derivabilitatea într-un punct se verifică deci prin derivate laterale: ele trebuie să existe, să fie finite și egale. La funcțiile pe ramuri, acesta este pasul care urmează după verificarea continuității — o funcție discontinuă în punct nu are șanse să fie derivabilă acolo.

Derivatele funcțiilor elementare și regulile de derivare

Tabelul minimal de derivate, fără de care nu se poate lucra:

• (c)′ = 0; (x)′ = 1; (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹;
• (√x)′ = 1/(2√x);
• (1/x)′ = −1/x²;
• (eˣ)′ = eˣ; (aˣ)′ = aˣ · ln a;
• (ln x)′ = 1/x;
• (sin x)′ = cos x; (cos x)′ = −sin x;
• (tg x)′ = 1/cos²x; (ctg x)′ = −1/sin²x.

Regulile de derivare:

• Suma: (f + g)′ = f′ + g′; constanta iese în față: (c·f)′ = c·f′;
• Produsul: (f·g)′ = f′·g + f·g′ — NU f′·g′; derivata produsului nu este produsul derivatelor;
• Câtul: (f/g)′ = (f′·g − f·g′)/g² — numărătorul este o diferență, deci ordinea termenilor contează: întâi derivata numărătorului înmulțită cu numitorul.

Greșelile care apar în aproape fiecare lucrare: (f·g)′ scris f′·g′, semnul lui (cos x)′ (este −sin x, nu sin x) și inversarea termenilor la cât, care schimbă semnul rezultatului. Un mic test de siguranță pentru produs: (x · x)′ trebuie să dea (x²)′ = 2x; formula greșită f′·g′ ar da 1, deci pică testul imediat.

Derivarea funcțiilor compuse

Pentru funcția compusă, regula lanțului:

(f(u(x)))′ = f′(u(x)) · u′(x)

Se derivează funcția „exterioară” în raport cu interiorul lăsat neatins, apoi se înmulțește cu derivata interiorului. Exemple lucrate:

• (sin(3x))′ = cos(3x) · 3 = 3cos(3x);
• (e^(x²))′ = e^(x²) · 2x;
• (ln(x² + 1))′ = 2x/(x² + 1);
• ((2x + 1)⁵)′ = 5(2x + 1)⁴ · 2 = 10(2x + 1)⁴.

Cea mai frecventă eroare este uitarea factorului u′(x): (e^(x²))′ scris e^(x²), (sin 3x)′ scris cos 3x. Reflexul corect: după ce derivezi exteriorul, întreabă-te mereu „cu ce se înmulțește?” — răspunsul este derivata a ceea ce se află înăuntru.

La compuneri pe mai multe niveluri, lanțul continuă: (ln(cos(2x)))′ = (1/cos(2x)) · (−sin(2x)) · 2 = −2 tg(2x). Lucrează sistematic din exterior spre interior, câte un strat pe rând.

Caz particular util la examen: (ln|f(x)|)′ = f′(x)/f(x) — derivata logaritmică, folosită și pentru derivarea produselor complicate sau a puterilor cu exponent variabil, prin logaritmare prealabilă.

Derivate de ordin superior; teoremele lui Rolle și Lagrange

Derivata a doua f″ este derivata lui f′; analog se definesc derivatele de ordin superior. f″ măsoară cum variază panta: ea decide convexitatea graficului și accelerația în interpretarea cinematică.

Teorema lui Rolle: dacă f este continuă pe [a, b], derivabilă pe (a, b) și f(a) = f(b), atunci există cel puțin un punct c în (a, b) cu f′(c) = 0. Geometric: între două valori egale ale funcției există un punct cu tangentă orizontală.

Teorema lui Lagrange (a creșterilor finite): dacă f este continuă pe [a, b] și derivabilă pe (a, b), există c în (a, b) astfel încât:

f′(c) = (f(b) − f(a))/(b − a)

Geometric: există un punct în care tangenta este paralelă cu coarda care unește capetele graficului. Rolle este cazul particular al lui Lagrange cu f(a) = f(b).

Toate ipotezele sunt necesare: pentru f(x) = |x| pe [−1, 1] avem f(−1) = f(1), dar nu există niciun punct cu derivata zero — teorema nu se aplică pentru că f nu este derivabilă în 0. La cerințele de tip „verificați aplicabilitatea”, enumeră explicit continuitatea pe intervalul închis, derivabilitatea pe cel deschis și, la Rolle, egalitatea valorilor în capete.

Consecințele lui Lagrange, folosite tacit în tot capitolul următor: dacă f′ = 0 pe un interval, f este constantă; dacă f′ > 0, f este strict crescătoare; dacă f′ < 0, strict descrescătoare — pe interval, nu pe reuniuni de intervale.

Studiul funcțiilor: monotonie, extreme, convexitate

Monotonia se citește din semnul primei derivate, pe intervale:

1. Calculezi f′ și rezolvi f′(x) = 0 (punctele critice); 2. Stabilești semnul lui f′ pe fiecare interval dintre punctele critice (tabel de semn); 3. f′ > 0 → f crește; f′ < 0 → f scade.

Punctele de extrem local: acolo unde f′ își schimbă semnul. Din plus în minus → maxim local; din minus în plus → minim local. Atenție, capcana principală a capitolului: f′(x₀) = 0 nu garantează extremul. Pentru f(x) = x³, f′(0) = 0, dar derivata rămâne pozitivă de ambele părți — în 0 nu este extrem. Condiția f′(x₀) = 0 este necesară (teorema lui Fermat, pentru puncte interioare), nu suficientă; schimbarea semnului este decisivă.

Convexitatea se citește din semnul derivatei a doua: f″ > 0 → f convexă (graficul ține apa, tangentele stau sub grafic); f″ < 0 → f concavă. Punctele în care f″ se anulează și își schimbă semnul sunt puncte de inflexiune — acolo graficul își schimbă curbura.

Schema completă cerută la examen: domeniu → f′ → tabel de semn → monotonie și extreme → f″ → convexitate și inflexiuni. Tabelul de variație organizează totul: pe prima linie x cu punctele critice, pe a doua semnul lui f′, pe a treia săgețile lui f cu valorile extreme calculate. Valorile extremelor se obțin înlocuind în f, nu în f′ — o confuzie surprinzător de frecventă sub presiunea examenului.

Test — 6 întrebări ca la examen