Integrala definită

Studiul integralei Riemann și aplicațiile geometrice ale acesteia.

Integrala definită și formula Leibniz-Newton

Integrala definită a unei funcții continue f pe intervalul [a, b] — notată ∫ de la a la b din f(x)dx — este un număr real, definit ca limită a sumelor Riemann: împarți intervalul în bucăți mici, aproximezi „feliile” de sub grafic cu dreptunghiuri și treci la limită când lățimile tind la zero. Pentru f pozitivă, acest număr este exact aria de sub grafic.

Deosebirea de fond față de capitolul anterior: integrala nedefinită este o familie de funcții (primitivele), integrala definită este un număr. Puntea dintre ele este formula Leibniz-Newton:

∫ de la a la b din f(x)dx = F(b) − F(a),

unde F este orice primitivă a lui f. Constanta C dispare prin scădere, de aceea la integrala definită nu se mai scrie.

Algoritmul complet: găsești o primitivă F, calculezi F în capătul superior, apoi în cel inferior, și scazi în această ordine: F(b) − F(a). Inversarea ordinii schimbă semnul rezultatului — eroare banală, dar frecventă.

Exemplu: ∫ de la 0 la 2 din x² dx = [x³/3] evaluat între 0 și 2 = 8/3 − 0 = 8/3.

De reținut și convențiile: integrala de la a la a este 0, iar schimbarea capetelor între ele schimbă semnul integralei.

Proprietățile integralei definite

Proprietățile care se folosesc în aproape orice exercițiu:

• Liniaritatea: integrala sumei este suma integralelor, iar constantele ies în fața integralei;
• Aditivitatea la interval: ∫ de la a la c = ∫ de la a la b + ∫ de la b la c — indispensabilă la funcțiile definite pe ramuri și la cele cu modul: spargi integrala în punctele unde se schimbă formula;
• Monotonia: dacă f(x) ≤ g(x) pe [a, b], atunci integrala lui f ≤ integrala lui g; în particular, o funcție pozitivă are integrală pozitivă;
• Modulul integralei: modulul integralei ≤ integrala modulului.

Nuanța pe care o testează examinatorii: integrala definită nu este mereu o arie. Pe porțiunile unde f este negativă, contribuția la integrală este negativă. Integrala lui sin x de la 0 la 2π este 0 — ariile de deasupra și de sub axă se compensează — dar aria regiunii dintre grafic și axă este 4. Semnul integralei reflectă poziția graficului față de axa Ox.

Două proprietăți de simetrie care scurtează calculele: pentru o funcție impară, integrala pe un interval simetric [−a, a] este 0; pentru o funcție pară, ea este dublul integralei pe [0, a]. Înainte de orice calcul pe interval simetric, verifică paritatea — poate economisi jumătate din muncă sau chiar tot calculul.

Substituția și integrarea prin părți la integrala definită

Ambele tehnici de la integrala nedefinită funcționează, cu adaptări specifice care sunt exact locurile unde se pierd puncte.

Integrarea prin părți:

∫ de la a la b din f·g′ dx = [f·g] evaluat între a și b − ∫ de la a la b din f′·g dx

Termenul f·g se evaluează direct în capete — nu îl uita și nu-l lăsa neevaluat. Exemplu: ∫ de la 1 la e din ln x dx = [x·ln x] între 1 și e − ∫ de la 1 la e din 1 dx = e − (e − 1) = 1.

Substituția are regula de aur: odată cu variabila se schimbă și capetele. Din t = u(x), noile capete sunt u(a) și u(b), iar rezultatul se obține direct în t, fără revenire la x:

∫ de la 0 la 1 din 2x(x² + 1)³ dx, cu t = x² + 1: capetele devin t(0) = 1 și t(1) = 2, integrala este ∫ de la 1 la 2 din t³ dt = (16 − 1)/4 = 15/4.

Greșeala clasică: se schimbă variabila, dar se păstrează capetele vechi — rezultatul iese greșit deși primitiva e corectă. Alternativa legală este să calculezi primitiva în t, să revii la x și abia apoi să evaluezi în capetele originale — dar niciodată amestecul celor două: capete vechi cu variabilă nouă.

Verificare de plauzibilitate la final: dacă funcția de sub integrală este pozitivă pe interval, rezultatul trebuie să fie pozitiv; un rezultat negativ semnalează capete inversate sau un minus pierdut.

Aria unei suprafețe plane

Aplicația geometrică principală a integralei definite este calculul ariilor.

Aria subgraficului: pentru f continuă și pozitivă pe [a, b], aria regiunii dintre grafic, axa Ox și dreptele x = a, x = b este integrala lui f de la a la b.

Dacă f schimbă semnul pe interval, aria totală nu este integrala simplă, ci integrala modulului: împarți intervalul în zonele unde f ≥ 0 și f ≤ 0 (rezolvând f(x) = 0), integrezi pe fiecare bucată și aduni valorile absolute. Integrala simplă ar aduna contribuții cu semne opuse și ar subestima aria — exact compensarea văzută la sin x pe [0, 2π].

Aria dintre două grafice: pentru f(x) ≥ g(x) pe [a, b],

Aria = ∫ de la a la b din (f(x) − g(x)) dx — funcția „de sus” minus funcția „de jos”.

Dacă cele două curbe se intersectează, capetele integralei sunt adesea chiar soluțiile ecuației f(x) = g(x); pe fiecare subinterval verifici care funcție este deasupra (testezi un punct interior). Ordinea greșită a diferenței dă arie negativă — semnalul sigur că trebuie inversată.

Schema de rezolvare recomandată: schiță rapidă a graficelor → punctele de intersecție → cine e deasupra pe fiecare zonă → integrala diferenței pe fiecare zonă → suma. Schița nu este decor: fără ea, alegerea ordinii și a capetelor devine ghicit.

Volumul solidului de rotație

Prin rotirea subgraficului funcției continue f: [a, b] → R în jurul axei Ox se obține un corp de rotație. Volumul lui este:

V = π · ∫ de la a la b din f(x)² dx

Intuiția formulei: fiecare „felie” perpendiculară pe axă este un disc de rază f(x), cu aria π·f(x)²; volumul adună ariile discurilor de-a lungul intervalului. Datorită pătratului, semnul lui f nu contează — discul are aceeași rază fie că graficul e deasupra, fie dedesubtul axei.

Cele două scăpări care taie punctele: uitarea factorului π și uitarea ridicării la pătrat (se integrează f(x)², nu f(x)). Scrie formula completă înainte de a înlocui funcția.

Exemple de verificare, utile și ca formule-test:

• Conul: f(x) = rx/h pe [0, h] dă V = π·r²·h/3 — exact formula cunoscută din geometrie;
• Sfera: f(x) = √(R² − x²) pe [−R, R] dă V = 4πR³/3;
• Cilindrul: f constantă egală cu r pe [0, h] dă V = πr²h.

Dacă formula generală pare uitată la examen, deducerea volumului conului sau al cilindrului din ea este un mod rapid de a o valida.

Tipic pentru subiectele de bacalaureat: funcții de forma f(x) = x·eˣ sau f(x) = √(x² + 1) pe un interval dat — pătratul lui f duce la o integrală care se rezolvă prin părți sau direct, deci capitolele de tehnici de integrare se reîntâlnesc aici în forma lor aplicată.

Test — 6 întrebări ca la examen