Elemente de algebră liniară

Studiul matricelor, determinanților și sistemelor de ecuații liniare.

Matrice și operații cu matrice

O matrice de tip (m, n) este un tablou dreptunghiular cu m linii și n coloane de numere reale; elementul aᵢⱼ stă pe linia i și coloana j. Matricea pătratică are m = n; matricea unitate Iₙ are 1 pe diagonala principală și 0 în rest; matricea nulă are toate elementele 0.

Operațiile:

• Adunarea: element cu element, doar între matrice de același tip;
• Înmulțirea cu un scalar: fiecare element se înmulțește cu scalarul;
• Înmulțirea matricelor: elementul de pe poziția (i, j) al produsului A·B este suma produselor dintre elementele liniei i din A și elementele coloanei j din B. Produsul există doar dacă numărul de coloane ale lui A este egal cu numărul de linii ale lui B;
• Transpusa Aᵀ: liniile devin coloane.

Proprietatea care schimbă toate regulile de calcul obișnuite: înmulțirea matricelor NU este comutativă — în general A·B ≠ B·A. Consecințe directe, testate la examen: (A + B)² = A² + AB + BA + B², care nu se reduce la A² + 2AB + B² decât dacă A și B comută; formulele de calcul prescurtat de la numere nu se aplică automat.

Altă anomalie față de numere: A·B poate fi matricea nulă fără ca A sau B să fie nule. De aceea din A·B = A·C nu se poate simplifica prin A decât dacă A este inversabilă. Puterile matricelor (Aⁿ) se calculează observând un tipar din primele puteri, demonstrat apoi prin inducție — cerință frecventă la subiectul de algebră.

Determinanți de ordinul 2 și 3

Determinantul este un număr asociat unei matrice pătratice.

Ordinul 2: det = a₁₁·a₂₂ − a₁₂·a₂₁ — produsul diagonalei principale minus produsul diagonalei secundare.

Ordinul 3, regula lui Sarrus: copiezi primele două linii (sau coloane) sub determinant; aduni cele trei produse paralele cu diagonala principală și scazi cele trei produse paralele cu diagonala secundară. Alternativa: dezvoltarea după o linie sau coloană — fiecare element se înmulțește cu (−1)^(i+j) și cu determinantul de ordin 2 rămas prin tăierea liniei și coloanei sale; alege linia sau coloana cu cele mai multe zerouri.

Proprietățile care scurtează calculul și apar în demonstrații:

• Determinantul cu o linie (sau coloană) nulă este 0;
• Două linii egale sau proporționale → determinant 0;
• Schimbarea a două linii între ele schimbă semnul;
• Un factor comun al unei linii iese în față — atenție: det(kA) = kⁿ·det(A) pentru matrice de ordin n, nu k·det(A);
• Adunarea la o linie a unui multiplu al altei linii nu schimbă determinantul — instrumentul principal pentru a crea zerouri;
• det(A·B) = det(A)·det(B); det(Aᵀ) = det(A).

Greșeala de semn tipică la Sarrus: uitarea minusului la produsele diagonalei secundare sau amestecarea termenilor. Scrie explicit cele șase produse, cu semnele lor, înainte de a aduna.

Matricea inversabilă

Matricea pătratică A este inversabilă dacă există o matrice A⁻¹ cu proprietatea A·A⁻¹ = A⁻¹·A = Iₙ. Criteriul fundamental:

A este inversabilă ⇔ det(A) ≠ 0

O matrice cu determinant nul se numește singulară și nu are inversă — verificarea determinantului este întotdeauna primul pas.

Algoritmul de calcul al inversei:

1. Calculezi det(A); dacă este 0, te oprești — nu există inversă; 2. Scrii transpusa Aᵀ; 3. Construiești matricea adjunctă A: fiecare element al transpusei se înlocuiește cu complementul său algebric (determinantul obținut prin tăierea liniei și coloanei, înmulțit cu (−1)^(i+j)); 4. A⁻¹ = (1/det A) · A.

Pentru ordinul 2 există scurtătura care merită memorată: la matricea cu liniile (a, b) și (c, d), inversa este (1/(ad − bc)) înmulțit cu matricea cu liniile (d, −b) și (−c, a) — elementele diagonalei principale se schimbă între ele, cele de pe diagonala secundară își schimbă semnul.

Erorile recurente: uitarea transpunerii înainte de complemenți (sau aplicarea ei de două ori), semnele (−1)^(i+j) așezate greșit — tabla de semne alternează ca o tablă de șah începând cu plus în colțul stânga-sus — și omiterea factorului 1/det A la final.

Verificarea obligatorie și rapidă: A·A⁻¹ trebuie să dea matricea unitate. Proprietăți utile: (A·B)⁻¹ = B⁻¹·A⁻¹ (ordinea se inversează!) și det(A⁻¹) = 1/det(A).

Sisteme de ecuații liniare

Un sistem liniar de m ecuații cu n necunoscute se scrie matriceal A·X = B, unde A este matricea coeficienților, X coloana necunoscutelor, B coloana termenilor liberi. Matricea extinsă Ā se obține adăugând coloana B la A.

Regula lui Cramer — pentru sisteme cu n ecuații, n necunoscute și det(A) ≠ 0: soluția este unică, iar fiecare necunoscută este xᵢ = det(Aᵢ)/det(A), unde Aᵢ se obține din A înlocuind coloana i cu coloana termenilor liberi. Condiția det(A) ≠ 0 este esențială: dacă determinantul este nul, Cramer nu se aplică deloc — nici pentru a conchide incompatibilitate, nici altfel; se trece la studiul rangului.

Metoda lui Gauss: prin transformări elementare asupra liniilor (schimbarea a două linii, înmulțirea unei linii cu o constantă nenulă, adunarea unui multiplu al unei linii la alta) aduci sistemul la formă triunghiulară, apoi rezolvi prin substituție inversă, de jos în sus. Este metoda universală, care funcționează și când Cramer nu se aplică.

Clasificarea sistemelor (teorema Kronecker-Capelli):

• compatibil determinat — soluție unică: rang(A) = rang(Ā) = n;
• compatibil nedeterminat — infinitate de soluții: rang(A) = rang(Ā) < n; necunoscutele secundare devin parametri;
• incompatibil — fără soluții: rang(A) < rang(Ā).

La sistemele cu parametru — subiect clasic de bacalaureat — calculezi det(A) ca funcție de parametru: pentru valorile care îl fac nenul aplici Cramer; pentru fiecare valoare care îl anulează studiezi separat compatibilitatea prin rang sau Gauss. Discuția completă, pe cazuri, este cea care aduce punctajul întreg.

Rangul unei matrice

Rangul unei matrice A este ordinul maxim al unui minor nenul — adică dimensiunea celui mai mare determinant nenul care se poate forma cu liniile și coloanele matricei. Rangul matricei nule este 0; în rest, 1 ≤ rang(A) ≤ min(m, n).

Calculul practic prin minori bordați: găsești un minor nenul de ordin r, apoi îl „bordezi” cu câte o linie și o coloană suplimentară în toate modurile posibile. Dacă toți minorii bordați sunt nuli, rangul este r; dacă unul este nenul, continui de la ordinul r + 1. Subtilitatea procedurii: este suficient să verifici minorii care conțin minorul nenul deja găsit, nu toți minorii de ordin superior din matrice.

Alternativa eficientă: transformările elementare nu schimbă rangul, deci poți aduce matricea la forma în trepte (ca la Gauss) și numeri liniile nenule.

La matricele cu parametru, rangul se discută pe cazuri: valorile parametrului care anulează minorul de ordin maxim schimbă rangul — organizează discuția exact în jurul acestor valori.

Rolul rangului este dat de teorema Kronecker-Capelli: sistemul A·X = B este compatibil dacă și numai dacă rang(A) = rang(Ā). Interpretarea merită înțeleasă, nu doar memorată: dacă rangul crește la adăugarea coloanei termenilor liberi, coloana B aduce o „direcție nouă”, imposibil de obținut din coloanele lui A — ecuațiile se contrazic, iar sistemul nu are soluție. Când rangurile coincid dar sunt mai mici decât numărul necunoscutelor, rămân n − rang necunoscute libere: soluția depinde de parametri, deci sistemul este nedeterminat.

Test — 6 întrebări ca la examen