Integrala nedefinită

Introducerea noțiunii de primitivă și a integralei nedefinite.

Primitiva și integrala nedefinită

O funcție F este primitivă a funcției f pe un interval dacă F este derivabilă și F′(x) = f(x) pentru orice x din interval. Integrarea este deci operația inversă derivării: cauți funcția care, derivată, dă funcția de sub integrală.

Dacă F este o primitivă a lui f, atunci toate primitivele lui f sunt de forma F(x) + C, cu C constantă reală arbitrară — două primitive ale aceleiași funcții diferă printr-o constantă (consecință a faptului că o funcție cu derivata nulă pe un interval este constantă). Mulțimea tuturor primitivelor se numește integrala nedefinită și se notează ∫f(x)dx = F(x) + C.

Constanta C nu este decorativă: omiterea ei se punctează la examen, iar la problemele cu condiție inițială („determinați primitiva F cu F(1) = 2”) tocmai C este necunoscuta care se determină din condiție.

Cine admite primitive? Orice funcție continuă pe un interval admite primitive — criteriul standard invocat în justificări. Verificarea suverană a oricărui calcul de integrală: derivează rezultatul; trebuie să obții exact funcția de sub integrală. Această verificare de 10 secunde prinde imediat coeficienții greșiți și semnele pierdute și ar trebui să fie un reflex la fiecare exercițiu.

Primitivele funcțiilor elementare

Tabelul de integrale imediate — oglinda tabelului de derivate:

• ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C, pentru n ≠ −1: crești exponentul cu 1 și împarți la noul exponent;
• ∫1/x dx = ln|x| + C — cazul exclus n = −1; modulul este obligatoriu, pentru că ln acceptă doar argumente pozitive, iar 1/x este definită și pe negativi;
• ∫eˣ dx = eˣ + C; ∫aˣ dx = aˣ/ln a + C;
• ∫sin x dx = −cos x + C; ∫cos x dx = sin x + C — atenție unde stă minusul: exact invers decât la derivare;
• ∫1/cos²x dx = tg x + C; ∫1/sin²x dx = −ctg x + C;
• ∫1/(x² + a²) dx = (1/a)·arctg(x/a) + C;
• ∫1/(x² − a²) dx = (1/(2a))·ln|(x − a)/(x + a)| + C;
• ∫1/√(a² − x²) dx = arcsin(x/a) + C;
• ∫1/√(x² + a²) dx = ln(x + √(x² + a²)) + C.

Liniaritatea integralei: ∫(αf + βg) = α∫f + β∫g — integrala sumei este suma integralelor, constantele ies în față. Aceasta permite integrarea oricărui polinom termen cu termen.

Greșeala de tabel cea mai costisitoare: ∫1/x² dx scris ln x² sau ln|x²|. Corect: 1/x² = x⁻², deci rezultatul este x⁻¹/(−1) = −1/x + C. Logaritmul apare doar la exponentul −1, nu la orice putere negativă.

Metoda substituției

Substituția inversează regula lanțului: dacă sub integrală recunoști o funcție compusă înmulțită cu derivata interiorului, notezi interiorul cu t:

∫f(u(x)) · u′(x) dx — pui t = u(x), deci dt = u′(x)dx, și integrala devine ∫f(t)dt.

Exemple gradate:

• ∫2x·(x² + 1)⁵ dx: t = x² + 1, dt = 2x dx → ∫t⁵ dt = t⁶/6 + C = (x² + 1)⁶/6 + C;
• ∫x·e^(x²) dx: t = x², dt = 2x dx, deci x dx = dt/2 → (1/2)e^(x²) + C — factorul lipsă se compensează cu o constantă, niciodată cu o funcție;
• ∫tg x dx = ∫sin x/cos x dx: t = cos x, dt = −sin x dx → −ln|cos x| + C;
• ∫f′(x)/f(x) dx = ln|f(x)| + C — șablonul „derivata numărătorului este numitorul”, de recunoscut din prima privire.

Disciplina metodei, unde se pierd punctele:

• dx se transformă odată cu variabila — nu poți păstra dx lângă t; scrie mereu explicit dt = u′(x)dx;
• poți ajusta doar constante multiplicative; dacă lipsește un factor care conține x, substituția aleasă este greșită;
• la final revii obligatoriu la variabila x — un rezultat lăsat în t este incomplet.

Cum alegi t: caută expresia „interioară” a compunerii (exponentul, argumentul radicalului sau al logaritmului) și verifică dacă derivata ei apare, până la o constantă, ca factor sub integrală. Dacă da, substituția merge; dacă nu, încearcă altă metodă.

Integrarea prin părți

Formula integrării prin părți provine din regula de derivare a produsului:

∫f(x)·g′(x)dx = f(x)·g(x) − ∫f′(x)·g(x)dx

Se folosește când sub integrală este un produs de funcții de naturi diferite, iar unul dintre factori se simplifică prin derivare.

Alegerea rolurilor este cheia: f (care se derivează) trebuie să devină mai simplu; g′ (care se integrează) trebuie să fie ușor de integrat. Ordinea practică a priorității pentru f: logaritmi → puteri ale lui x → exponențiale/trigonometrice.

Exemple standard de examen:

• ∫x·eˣ dx: f = x, g′ = eˣ → x·eˣ − ∫eˣ dx = (x − 1)eˣ + C;
• ∫x·cos x dx: f = x, g′ = cos x → x·sin x + cos x + C;
• ∫ln x dx — trucul celebru: f = ln x, g′ = 1 → x·ln x − ∫1 dx = x·ln x − x + C;
• ∫x²·eˣ dx: prin părți de două ori, gradul lui x scade cu 1 la fiecare aplicare.

Capcane cu tarif fix:

• alegerea inversă (f = eˣ, g′ = x) complică integrala în loc s-o simplifice — dacă noua integrală arată mai rău, schimbă rolurile;
• semnul minus dinaintea integralei rămase se pierde frecvent, mai ales la a doua aplicare;
• la integralele ciclice (eˣ·sin x), după două integrări prin părți reapare integrala inițială: o notezi cu I și rezolvi ecuația 2I = ..., nu continui la nesfârșit.

Integrarea funcțiilor raționale simple

O funcție rațională este un raport de polinoame. Strategia generală în doi pași:

Pasul 1: dacă gradul numărătorului ≥ gradul numitorului, împarte polinoamele: rezultă un polinom (ușor de integrat) plus un rest cu grad strict mai mic la numărător.

Pasul 2: descompune fracția rămasă în fracții simple. Pentru numitor cu rădăcini reale distincte:

1/((x − a)(x − b)) = A/(x − a) + B/(x − b)

Coeficienții A și B se găsesc prin aducere la același numitor și identificare, sau rapid: A se obține acoperind factorul (x − a) și evaluând restul în x = a.

Integralele de bază care apar după descompunere:

• ∫1/(x − a) dx = ln|x − a| + C;
• ∫1/(x − a)² dx = −1/(x − a) + C — putere, nu logaritm;
• ∫1/(x² + a²) dx = (1/a)arctg(x/a) + C — numitor ireductibil, fără rădăcini reale.

Exemplu complet: ∫1/(x² − 1) dx = ∫1/((x−1)(x+1)) dx = (1/2)∫1/(x−1) dx − (1/2)∫1/(x+1) dx = (1/2)ln|(x − 1)/(x + 1)| + C.

Două erori de neiertat: integrarea lui 1/(x − a)² ca logaritm (logaritmul apare doar la puterea întâi a numitorului) și uitarea împărțirii prealabile când gradul de sus este prea mare — descompunerea în fracții simple funcționează numai pentru fracții „subunitare” ca grad. Verificarea finală rămâne aceeași: derivezi rezultatul și compari cu funcția inițială.

Test — 6 întrebări ca la examen