Geometrie analitică în spațiu

Studiul dreptei, planului și pozițiilor relative în spațiu cu coordonate carteziene.

Vectori în spațiu

În sistemul cartezian Oxyz, orice punct are trei coordonate (x, y, z), iar orice vector se scrie v = a·i + b·j + c·k, unde i, j, k sunt versorii axelor. Notăm v = (a, b, c).

Operațiile fundamentale:

• Vectorul determinat de două puncte: AB = (xB − xA, yB − yA, zB − zA) — coordonatele vârfului minus coordonatele originii vectorului, în această ordine;
• Adunarea și înmulțirea cu scalar: pe componente;
• Modulul (lungimea): |v| = √(a² + b² + c²); distanța dintre două puncte este modulul vectorului AB;
• Produsul scalar: v·w = a₁a₂ + b₁b₂ + c₁c₂; totodată v·w = |v|·|w|·cos θ, unde θ este unghiul dintre vectori.

Cele două criterii care rezolvă majoritatea problemelor de poziție:

• Perpendicularitate: v ⊥ w ⇔ v·w = 0;
• Coliniaritate (paralelism): v ∥ w ⇔ componentele sunt proporționale: a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ (cu convenția că un numărător nul cere numitor nul).

Formule de lucru curente: mijlocul segmentului AB are coordonatele mediile aritmetice ale coordonatelor capetelor; centrul de greutate al triunghiului — media aritmetică a coordonatelor celor trei vârfuri.

Greșeala elementară dar frecventă: la vectorul AB se scad coordonatele în ordinea greșită (A minus B), ceea ce inversează sensul vectorului și strică semnele în toate calculele următoare.

Ecuațiile dreptei în spațiu

O dreaptă în spațiu este determinată de un punct M₀(x₀, y₀, z₀) și un vector director v = (a, b, c) — direcția dreptei.

Ecuațiile canonice (carteziene):

(x − x₀)/a = (y − y₀)/b = (z − z₀)/c

Ecuațiile parametrice — același conținut, cu parametrul t:

x = x₀ + at, y = y₀ + bt, z = z₀ + ct, cu t parcurgând mulțimea numerelor reale.

Fiecare valoare a lui t dă un punct al dreptei; parametrizarea este utilă la intersecții: înlocuiești expresiile în ecuația celuilalt obiect (plan, altă dreaptă) și rezolvi în t.

Dreapta prin două puncte A și B: vectorul director este AB, iar punctul de sprijin oricare dintre ele.

Detalii care se punctează:

• Vectorul director nu este unic: orice multiplu nenul al lui dă aceeași dreaptă — la compararea a două drepte verifici proporționalitatea vectorilor directori, nu egalitatea lor;
• Dacă o componentă a vectorului director este 0 (de exemplu c = 0), scrierea canonică se interpretează ca sistem: fracțiile existente se egalează, iar coordonata respectivă se fixează: z = z₀. Un zero la numitor în scrierea canonică este o convenție de notație, nu o împărțire reală la zero;
• Verificarea apartenenței unui punct la dreaptă: înlocuiești coordonatele în ecuațiile canonice și controlezi dacă toate rapoartele sunt egale (sau găsești un t unic în forma parametrică).

Ecuația planului

Un plan este determinat de un punct M₀(x₀, y₀, z₀) și un vector normal n = (A, B, C) — un vector perpendicular pe plan.

Ecuația generală a planului:

Ax + By + Cz + D = 0

Coeficienții lui x, y, z sunt exact componentele normalei — cea mai importantă lectură directă din ecuație. Planul prin punctul M₀ cu normala n se scrie:

A(x − x₀) + B(y − y₀) + C(z − z₀) = 0

Construcții cerute la examen:

• Plan printr-un punct, paralel cu un plan dat: păstrezi normala (A, B, C), determini D din condiția ca punctul să verifice ecuația;
• Plan perpendicular pe o dreaptă dată: normala planului este chiar vectorul director al dreptei;
• Plan prin trei puncte necoliniare: normala se obține ca vector perpendicular simultan pe AB și AC (prin produs vectorial sau din sistemul n·AB = 0, n·AC = 0); alternativ, condiția de coplanaritate se scrie ca determinant egal cu 0;
• Verificarea apartenenței unui punct la plan: înlocuiești coordonatele — ecuația trebuie să dea identitate.

Confuzia centrală a capitolului, de eliminat definitiv: normala planului este perpendiculară pe plan, în timp ce vectorul director al dreptei este de-a lungul dreptei. O dreaptă este perpendiculară pe un plan când vectorul ei director este paralel cu normala planului (componente proporționale) și este paralelă cu planul când vectorul director este perpendicular pe normală (produs scalar nul) — exact pe dos față de reflexul intuitiv.

Distanțe și unghiuri

Distanța de la punctul M(x₁, y₁, z₁) la planul Ax + By + Cz + D = 0:

d = |Ax₁ + By₁ + Cz₁ + D| / √(A² + B² + C²)

Structura formulei: valoarea absolută a expresiei planului evaluată în punct, împărțită la modulul normalei. Cele două scăpări penalizate: uitarea modulului (distanța nu poate fi negativă) și uitarea lui D la evaluarea numărătorului.

Unghiul dintre doi vectori — formula de bază a întregii secțiuni:

cos θ = (v·w)/(|v|·|w|)

Din ea derivă toate unghiurile:

• Unghiul dintre două drepte: unghiul dintre vectorii directori; se ia cosinusul în modul, pentru că unghiul dintre drepte este prin convenție cel ascuțit (între 0 și 90 de grade);
• Unghiul dintre două plane: unghiul dintre normalele lor, tot cu modul;
• Unghiul dintre o dreaptă și un plan: aici apare complementaritatea — formula dintre vectorul director v și normala n dă unghiul dintre dreaptă și normală, iar unghiul dreptei cu planul este complementul lui: sin θ = |v·n|/(|v|·|n|). Sinusul, nu cosinusul — aceasta este capcana specifică; uitarea complementului dă rezultate absurde, ca unghi de 90 de grade pentru o dreaptă aproape paralelă cu planul.

Cazuri particulare de control: dreaptă perpendiculară pe plan → unghi de 90 de grade cu planul; dreaptă paralelă cu planul → unghi 0. Testează formula pe aceste cazuri când nu ești sigur de ea.

Poziții relative

Două plane, cu normalele n₁ și n₂:

• normale proporționale → planele sunt paralele (sau confundate, dacă ecuațiile sunt proporționale în întregime, inclusiv D);
• normale neproporționale → planele se intersectează după o dreaptă;
• n₁·n₂ = 0 → plane perpendiculare.

Dreaptă și plan, cu vectorul director v și normala n:

• v·n = 0 și un punct al dreptei aparține planului → dreapta este conținută în plan;
• v·n = 0 și punctul nu aparține planului → dreapta este paralelă cu planul;
• v·n ≠ 0 → dreapta înțeapă planul într-un singur punct; punctul se găsește parametrizând dreapta și înlocuind în ecuația planului, de unde rezultă t.

Două drepte în spațiu — aici spațiul aduce noutatea față de plan:

• vectori directori proporționali + punct comun de fapt aceeași dreaptă → confundate; fără punct comun → paralele;
• vectori neproporționali + sistem compatibil (au un punct comun) → concurente;
• vectori neproporționali + fără puncte comune → necoplanare (strâmbe): nu se intersectează, dar nici paralele nu sunt.

Existența dreptelor necoplanare este diferența esențială față de geometria plană, unde două drepte neparalele se taie obligatoriu. În spațiu, înainte de a declara două drepte concurente, trebuie verificată existența punctului comun prin rezolvarea sistemului — neproporționalitatea vectorilor directori nu este suficientă. Test rapid de coplanaritate: dreptele sunt coplanare exact când vectorii directori împreună cu vectorul care leagă câte un punct de pe fiecare dreaptă sunt liniar dependenți (determinantul lor este 0).

Test — 6 întrebări ca la examen