Elemente de statistică matematică

Introducerea noțiunilor de bază ale statisticii descriptive și inferențiale.

Ce studiază statistica: populație, eșantion, variabile

Statistica matematică este puntea dintre teoria probabilităților și datele reale: probabilitatea pornește de la un model și prezice ce date am putea observa, iar statistica pornește de la date și trage concluzii despre modelul din spate.

Vocabularul de bază, care apare în orice problemă:

• Populația statistică – mulțimea TUTUROR obiectelor studiate (toți elevii unei școli, toate becurile produse de o fabrică).
• Eșantionul – o submulțime a populației, aleasă pentru a fi efectiv măsurată. Studiem eșantionul pentru că populația e prea mare sau imposibil de examinat integral.
• Caracteristica (variabila statistică) – proprietatea urmărită: înălțimea, nota la teză, culoarea preferată.
• Frecvența absolută a unei valori – de câte ori apare valoarea în date; frecvența relativă – frecvența absolută împărțită la numărul total de date (un număr între 0 și 1, adesea exprimat procentual).

O confuzie clasică: frecvența relativă NU este o probabilitate teoretică, ci o aproximare a ei obținută din date. Dacă arunci o monedă de 100 de ori și obții 54 de steme, frecvența relativă e 0,54, dar probabilitatea teoretică rămâne 0,5. Legătura dintre ele: pe măsură ce numărul de experimente crește, frecvența relativă se apropie de probabilitate — aceasta este ideea legii numerelor mari, motivul pentru care statistica funcționează.

Variabile aleatoare discrete și continue

O variabilă aleatoare este o funcție care asociază fiecărui rezultat al unui experiment aleator un număr real. Nu e o necunoscută ca la ecuații — e o regulă de numerotare a rezultatelor întâmplării. La aruncarea a două zaruri, „suma punctelor” este o variabilă aleatoare: rezultatului (3, 4) îi asociază numărul 7.

O variabilă aleatoare discretă ia un număr finit (sau cel mult numărabil) de valori: numărul de steme din 5 aruncări, numărul de răspunsuri corecte la un test grilă. O descriem complet prin tabloul de repartiție: pe primul rând valorile x1, x2, ..., xn, pe al doilea probabilitățile p1, p2, ..., pn cu care sunt luate.

Condiția de existență a tabloului — verificată aproape în fiecare problemă:

• fiecare pk este cuprins între 0 și 1;
• suma tuturor probabilităților este exact 1: p1 + p2 + ... + pn = 1.

Când un parametru necunoscut apare în tablou, tocmai această condiție îl determină: dacă probabilitățile sunt 0,2; 0,3; p, atunci p = 0,5 obligatoriu.

O variabilă aleatoare continuă poate lua orice valoare dintr-un interval: înălțimea unei persoane, timpul de așteptare în stație. Pentru ea nu mai are sens tabloul de valori — probabilitatea de a nimeri EXACT o valoare fixată este 0, iar probabilitățile se calculează pe intervale. La nivelul programei de liceu lucrăm efectiv doar cu variabile discrete; despre cele continue trebuie să știi ce sunt și prin ce diferă.

Distribuția Bernoulli și distribuția binomială

Proba Bernoulli este cel mai simplu experiment aleator: are exact două rezultate, numite convențional succes (cu probabilitatea p) și eșec (cu probabilitatea q = 1 − p). Aruncarea unei monede, un extras câștigător/necâștigător, un bec funcțional/defect — toate sunt probe Bernoulli. Variabila aleatoare Bernoulli ia valoarea 1 la succes și 0 la eșec; media ei este p, iar dispersia pq.

Distribuția binomială apare când repetăm aceeași probă Bernoulli de n ori, independent (rezultatul unei probe nu influențează celelalte). Variabila X = numărul de succese din cele n probe ia valorile 0, 1, 2, ..., n, iar probabilitatea de a obține exact k succese este:

• P(X = k) = C(n, k) · p^k · q^(n−k)

Formula se citește natural: p^k pentru cele k succese, q^(n−k) pentru restul de eșecuri, iar combinările C(n, k) numără pe câte poziții pot fi așezate succesele printre cele n probe — aici e legătura directă cu capitolul de calcul combinatorial. Omisiunea factorului C(n, k) este cea mai frecventă greșeală: fără el ai calculat probabilitatea unei singure ordini fixate, nu a evenimentului „exact k succese în orice ordine”.

Pentru binomială, media și dispersia au formule remarcabil de simple: M(X) = np și D(X) = npq. Exemplu: la 10 aruncări de monedă corectă, numărul mediu de steme este np = 10 · 0,5 = 5 — exact ce spune intuiția, iar formula o confirmă.

Media, dispersia și abaterea standard

Media (valoarea medie sau speranța matematică) a unei variabile aleatoare discrete X este media valorilor ponderată cu probabilitățile:

• M(X) = x1·p1 + x2·p2 + ... + xn·pn

Ea NU este media aritmetică simplă a valorilor — fiecare valoare contează proporțional cu probabilitatea ei. Interpretare: dacă repeți experimentul de foarte multe ori, media aritmetică a rezultatelor observate se stabilizează în jurul lui M(X).

Media singură nu spune totul: două variabile pot avea aceeași medie, dar una cu valori strânse în jurul ei, alta cu valori împrăștiate. Împrăștierea se măsoară prin dispersie (varianță):

• D(X) = M((X − M(X))²) — media pătratelor abaterilor de la medie;
• formula de calcul, aproape întotdeauna mai rapidă: D(X) = M(X²) − (M(X))², unde M(X²) = x1²·p1 + ... + xn²·pn.

Atenție la ordinea operațiilor din formula rapidă: întâi ridici VALORILE la pătrat și faci media lor, apoi scazi pătratul mediei. Confuzia dintre M(X²) și (M(X))² dărâmă tot calculul — ele sunt egale doar când variabila e constantă.

Dispersia are un defect practic: se exprimă în unitatea de măsură la pătrat (centimetri pătrați pentru înălțimi). De aceea se folosește abaterea standard (abaterea medie pătratică) σ(X) = radical din D(X), care revine la unitatea inițială și se interpretează direct: cât de departe de medie se află, în mod tipic, o valoare. Dispersia este întotdeauna mai mare sau egală cu 0, cu egalitate exact când X este constantă.

Reprezentări statistice: tabele, diagrame, histograme

Datele brute devin utile abia după ce sunt organizate și vizualizate. Reprezentările cerute de programă:

• Tabelul de frecvențe – valorile caracteristicii cu frecvențele lor absolute și/sau relative; e punctul de plecare pentru orice grafic și pentru calculul mediei.
• Diagrama cu bare (batoane) – pentru caracteristici discrete sau calitative; înălțimea fiecărei bare este frecvența valorii, iar barele sunt separate.
• Histograma – pentru date continue grupate în clase (intervale); dreptunghiurile sunt lipite, pentru că intervalele se continuă unul pe altul. Aceasta este deosebirea de fond față de diagrama cu bare, nu un simplu detaliu de desen: histograma reprezintă intervale, diagrama cu bare reprezintă valori izolate.
• Diagrama circulară (de structură) – arată ponderea fiecărei categorii în total; unghiul la centru al unui sector este proporțional cu frecvența relativă: unghi = frecvența relativă · 360°. O categorie cu 25% din date primește un sector de 90°.
• Poligonul frecvențelor – linia frântă care unește vârfurile barelor sau mijloacele laturilor de sus ale dreptunghiurilor histogramei; evidențiază forma repartiției.

Pe lângă medie, două valori de poziție se citesc ușor din reprezentări: mediana – valoarea din mijlocul șirului ORDONAT de date (pentru un număr par de date, media aritmetică a celor două din mijloc) și modulul (moda) – valoarea cu frecvența maximă, adică bara cea mai înaltă. Capcana la mediană: dacă uiți să ordonezi datele înainte, rezultatul e aproape sigur greșit.

Cum se rezolvă o problemă tipică, de la date la concluzie

Problemele de statistică urmează aproape mereu același scenariu; iată-l pe pași, cu un exemplu numeric complet.

Fie X numărul obținut la un joc, cu tabloul de repartiție: valorile 0, 1, 2 cu probabilitățile 0,25; 0,5; 0,25.

• Pasul 1 — verificarea tabloului: 0,25 + 0,5 + 0,25 = 1, deci tabloul e corect. Dacă un parametru era necunoscut, de aici l-am fi scos.
• Pasul 2 — media: M(X) = 0 · 0,25 + 1 · 0,5 + 2 · 0,25 = 1.
• Pasul 3 — media pătratelor: M(X²) = 0 · 0,25 + 1 · 0,5 + 4 · 0,25 = 1,5. Observă că am ridicat la pătrat VALORILE (0, 1, 4), nu probabilitățile.
• Pasul 4 — dispersia: D(X) = M(X²) − (M(X))² = 1,5 − 1 = 0,5.
• Pasul 5 — abaterea standard: σ(X) = radical din 0,5, aproximativ 0,71.

Interpretarea, care valorează la fel de mult ca și calculul: în medie jocul produce 1 punct, iar o partidă tipică se abate de la această medie cu aproximativ 0,7 puncte.

La problemele cu schemă binomială, întâi identifică cele trei ingrediente — n (numărul de repetări), p (probabilitatea de succes la O SINGURĂ probă) și k (numărul de succese cerut) — abia apoi aplică formula P(X = k) = C(n, k) · p^k · q^(n−k). Multe greșeli vin din identificarea grăbită: „cel puțin 2 succese” nu înseamnă P(X = 2), ci 1 − P(X = 0) − P(X = 1), trecerea prin evenimentul contrar fiind aproape întotdeauna drumul scurt.

Test — 6 întrebări ca la examen