Sisteme de ecuații liniare

Rezolvarea sistemelor de ecuații liniare cu ajutorul matricelor și determinanților.

Scrierea matriceală și vocabularul sistemelor

Un sistem liniar cu m ecuații și n necunoscute se comprimă în ecuația matriceală AX = B, unde A este matricea sistemului (coeficienții necunoscutelor), X este coloana necunoscutelor și B coloana termenilor liberi. Alături de A lucrează matricea extinsă Ā, obținută adăugând coloana B la dreapta lui A — ea decide, prin rang, soarta sistemului.

Clasificarea după soluții, cu vocabularul exact cerut în barem:

• compatibil determinat — soluție unică;
• compatibil nedeterminat — o infinitate de soluții, descrise prin parametri;
• incompatibil — nicio soluție.

Un sistem se numește omogen dacă toți termenii liberi sunt zero (B = O). Un sistem omogen nu poate fi niciodată incompatibil: are întotdeauna cel puțin soluția banală x₁ = … = xₙ = 0. Întrebarea interesantă la omogene este dacă există și soluții nebanale — iar pentru sisteme pătratice răspunsul e net: soluții nebanale există dacă și numai dacă det(A) = 0. Formularea inversă pică mulți: dacă det(A) ≠ 0, soluția banală e singura.

Dacă A este pătratică și inversabilă, rezolvarea matriceală este imediată: X = A⁻¹B — și aici contează partea: A⁻¹ se aplică la stânga, în ordinea A⁻¹ · B, pentru că înmulțirea matricelor nu e comutativă.

Greșeala de organizare care stric tot ce urmează: necunoscutele trebuie aliniate pe coloane înainte de a citi coeficienții. Într-un sistem scris dezordonat (cu x și y în ordini diferite pe fiecare linie), citirea directă a matricei A produce o matrice greșită și un întreg calcul inutil.

Regula lui Cramer

Pentru sisteme pătratice (numărul de ecuații egal cu al necunoscutelor) cu det(A) ≠ 0, regula lui Cramer dă soluția prin determinanți:

xᵢ = Δᵢ / Δ,

unde Δ = det(A), iar Δᵢ se obține din Δ înlocuind coloana i — coloana coeficienților necunoscutei xᵢ — cu coloana termenilor liberi.

Condiția de aplicare este esențială și face parte din răspuns: Cramer funcționează doar când Δ ≠ 0. Dacă Δ = 0, regula nu decide nimic: sistemul poate fi incompatibil sau compatibil nedeterminat, iar decizia o dau rangurile (secțiunea Kronecker-Capelli). Scrierea „Δ = 0, deci sistemul nu are soluții” este o eroare de logică sancționată la barem.

Detalii de execuție unde se pierd puncte:

• se înlocuiește coloana, nu linia — Δₓ pentru un sistem în x, y, z înseamnă coloana întâi înlocuită cu termenii liberi;
• termenii liberi se iau din dreapta egalului, după ce sistemul a fost adus la forma standard cu necunoscutele în stânga;
• ordinea: Δ₁ dă x₁, Δ₂ dă x₂ — amestecarea indicilor produce soluții permutate care nu verifică sistemul.

Verificarea finală prin înlocuirea soluției în ecuația cea mai complicată durează 30 de secunde și prinde aproape orice eroare de semn. La sistemele 3×3 numerice de la subiectul I sau II, Cramer este de regulă mai rapid decât eliminarea; la sisteme cu parametru, calculezi Δ ca polinom în parametru și abia apoi decizi pe cazuri.

Metoda lui Gauss

Metoda eliminării (Gauss) aduce sistemul la formă triunghiulară prin transformări care păstrează mulțimea soluțiilor:

• schimbarea a două ecuații între ele;
• înmulțirea unei ecuații cu un număr nenul;
• adunarea la o ecuație a unei alte ecuații înmulțite cu un număr.

Algoritmul: folosești prima ecuație ca pivot pentru a elimina prima necunoscută din toate ecuațiile de dedesubt, apoi a doua ecuație pentru a elimina a doua necunoscută din cele rămase, și tot așa. La final, sistemul triunghiular se rezolvă de jos în sus prin substituție inversă.

Citirea rezultatului din forma triunghiulară:

• ultima linie de forma 0 = c cu c ≠ 0 → sistem incompatibil, te oprești;
• linie 0 = 0 → ecuație de prisos; dacă rămân mai puține ecuații efective decât necunoscute → compatibil nedeterminat: necunoscutele fără pivot devin parametri (necunoscute secundare), iar celelalte se exprimă în funcție de ele;
• pivot pe fiecare necunoscută → compatibil determinat, soluție unică.

Avantajele lui Gauss față de Cramer: funcționează pentru orice sistem (nepătratic, cu determinant nul), iar volumul de calcul crește mult mai lent cu dimensiunea. La sistemele nedeterminate, Gauss este practic obligatoriu — Cramer nici nu se aplică.

Erorile de execuție clasice: uitarea de a aplica transformarea și asupra termenului liber (linia se transformă întreagă, nu doar coeficienții), și alegerea unui pivot nul — dacă pivotul natural e 0, schimbi întâi liniile între ele. Scrierea îngrijită, cu necunoscutele aliniate pe coloane, previne ambele.

Rangul unei matrice și teorema Kronecker-Capelli

Rangul matricei A este ordinul maxim al unui minor nenul — cel mai mare r pentru care există un determinant r × r nenul format cu linii și coloane din A. Rangul matricei nule este 0; altfel 1 ≤ rang(A) ≤ min(m, n).

Calculul practic prin bordare: găsești un minor nenul de ordin r, apoi îl bordezi — îl extinzi cu câte o linie și o coloană suplimentară — în toate modurile posibile. Dacă toți minorii bordați sunt nuli, rangul este r; dacă unul e nenul, urci la r + 1 și repeți. Economia teoremei bordării: nu trebuie verificați toți minorii de ordin r + 1, ci doar cei care îl conțin pe cel nenul găsit.

Teorema Kronecker-Capelli: sistemul AX = B este compatibil dacă și numai dacă rang(A) = rang(Ā) — rangul matricei sistemului egal cu rangul matricei extinse. Completarea (atribuită lui Rouché): dacă rangul comun r egalează numărul necunoscutelor n, soluția e unică; dacă r < n, sistemul e nedeterminat, cu n − r parametri.

Schema decizională completă:

• rang(A) < rang(Ā) → incompatibil (coloana termenilor liberi „adaugă informație nouă” contradictorie);
• rang(A) = rang(Ā) = n → compatibil determinat;
• rang(A) = rang(Ā) < n → compatibil nedeterminat.

Vocabularul aferent: minorul nenul de ordin r ales se numește minor principal, necunoscutele corespunzătoare coloanelor lui sunt principale, celelalte secundare (devin parametri), iar minorii lui Ā obținuți prin bordarea minorului principal cu coloana termenilor liberi se numesc minori caracteristici — compatibilitatea revine la anularea tuturor minorilor caracteristici.

Discuția sistemelor cu parametru

Cerința-vedetă la bacalaureat: „discutați sistemul după valorile parametrului m”. Planul de lucru care aduce punctaj complet:

• Pasul 1: calculezi Δ = det(A) ca polinom în m și îl factorizezi.
• Pasul 2: pentru Δ ≠ 0 (adică m în afara rădăcinilor) — sistem compatibil determinat; dacă se cere, scrii soluția cu Cramer, tot în funcție de m.
• Pasul 3: pentru fiecare rădăcină a lui Δ, tratezi cazul separat: înlocuiești valoarea concretă a lui m în sistem, calculezi rang(A) și rang(Ā) și decizi: incompatibil sau nedeterminat; în cazul nedeterminat, scrii soluția generală cu parametri.

Greșelile care coboară nota:

• discuția se oprește la Δ ≠ 0, iar cazurile speciale — de regulă exact ele valorează jumătate din punctaj — rămân netratate;
• se împarte o ecuație prin expresia m − 1 fără cazul m = 1 tratat separat: împărțirea cu zero mascată este eroarea de logică favorită a autorilor de subiecte;
• la sistemele omogene se uită concluzia specifică: pentru Δ ≠ 0 doar soluția banală; pentru Δ = 0, infinitate de soluții nebanale (incompatibilitatea e imposibilă).

La sistemele nedeterminate, redactarea soluției generale se face ordonat: alegi necunoscuta secundară, o notezi cu α ∈ ℝ, exprimi necunoscutele principale prin α și scrii mulțimea soluțiilor ca triplete. O verificare prin înlocuire într-o ecuație nefolosită la rezolvare confirmă calculul.

Interpretarea geometrică ajută intuiția la 3 necunoscute: fiecare ecuație este un plan; soluția unică e punctul comun al celor trei plane, nedeterminarea înseamnă plane care se taie după o dreaptă (sau coincid), incompatibilitatea — configurații fără punct comun, de pildă două plane paralele.

Test — 6 întrebări ca la examen