Elemente de analiză matematică - Șiruri de numere reale

Studiul șirurilor de numere reale, al convergenței și al calculului limitelor.

Ce este un șir și cum îl descriem

Un șir de numere reale este o funcție definită pe ℕ (sau pe ℕ de la un rang încolo) cu valori în ℝ; valoarea din poziția n se numește termenul general aₙ. Un șir se poate da:

• prin formula termenului general: aₙ = (2n + 1)/(n + 3);
• prin recurență: a₁ dat și aₙ₊₁ exprimat prin aₙ — cazul progresiilor și al multor subiecte de bacalaureat;
• prin descriere directă a primilor termeni, cu regulă vizibilă.

Două șiruri particulare vin din clasa a IX-a și rămân instrumente permanente: progresia aritmetică (aₙ₊₁ = aₙ + r, termen general aₙ = a₁ + (n − 1)r) și progresia geometrică (bₙ₊₁ = bₙ · q, termen general bₙ = b₁ · qⁿ⁻¹).

Subșirul se obține alegând o infinitate de termeni în ordinea crescătoare a indicilor — de exemplu termenii de rang par a₂ₙ. Subșirurile devin importante la convergență: dacă șirul are limită, orice subșir are aceeași limită; contrapusa este arma standard pentru a demonstra că un șir NU are limită — găsești două subșiruri cu limite diferite, ca la (−1)ⁿ, unde subșirul par tinde la 1 și cel impar la −1.

Detaliu de rigoare care contează la redactare: șirul nu este mulțimea valorilor lui. Șirul 1, 0, 1, 0, … are doar două valori distincte, dar o infinitate de termeni; monotonia, mărginirea și limita se referă la succesiunea termenilor, nu la mulțimea lor.

Monotonie și mărginire

Un șir este crescător dacă aₙ₊₁ ≥ aₙ pentru orice n și descrescător dacă aₙ₊₁ ≤ aₙ; cu inegalități stricte, strict crescător/descrescător. Un șir crescător sau descrescător se numește monoton.

Două metode de verificare, cu regulile lor de folosire:

• Diferența: studiezi semnul lui aₙ₊₁ − aₙ. Merge întotdeauna.
• Raportul: compari aₙ₊₁/aₙ cu 1 — DOAR pentru șiruri cu termeni strict pozitivi; la termeni negativi raportul supracritic minte, pentru că împărțirea la un număr negativ răstoarnă inegalitățile.

Un șir este mărginit dacă există M > 0 cu |aₙ| ≤ M pentru orice n — adică toți termenii încap într-un interval [−M, M]. Mărginirea se demonstrează de regulă prin încadrare directă sau prin inducție (tipic la șiruri recurente: arăți simultan monotonia și mărginirea prin inducție).

Legăturile dintre concepte, exact în forma cerută la teorie:

• Teorema lui Weierstrass: orice șir monoton și mărginit este convergent — biletul de aur pentru șirurile recurente: demonstrezi monotonia, demonstrezi mărginirea, deduci existența limitei, apoi treci la limită în recurență ca să o calculezi.
• Orice șir convergent este mărginit — dar reciproca e falsă: (−1)ⁿ este mărginit și divergent.
• Un șir monoton nemărginit are limită infinită: crescător și nemărginit superior → +∞.

Capcana de logică: mărginirea singură NU dă convergență, iar convergența NU dă monotonie — șirul (−1)ⁿ/n converge la 0 oscilând. Cele două ipoteze din Weierstrass sunt amândouă necesare pentru concluzie prin această teoremă.

Limita unui șir: definiție și primele proprietăți

Numărul L este limita șirului (aₙ) dacă în afara oricărei vecinătăți a lui L rămân cel mult un număr finit de termeni ai șirului. Formularea cu ε, cerută la definiție: pentru orice ε > 0 există un rang N astfel încât |aₙ − L| < ε pentru toți n ≥ N. Intuiția: oricât de strâmt ai face „tubul” în jurul lui L, de la un loc încolo toți termenii intră în tub.

Un șir cu limită finită se numește convergent; un șir fără limită sau cu limită infinită este divergent. Nuanța de vocabular care apare la grile: șirul aₙ = n are limită (+∞), dar este divergent — „are limită” și „este convergent” nu sunt sinonime; convergența cere limită finită.

Proprietăți fundamentale:

• Unicitatea: un șir are cel mult o limită.
• Ereditatea la subșiruri: orice subșir al unui șir cu limită are aceeași limită — și contrapusa, folosită pentru a dovedi divergența prin două subșiruri cu limite diferite.
• Convergent implică mărginit (reciproca falsă).
• Trecerea la limită în inegalități: dacă aₙ ≤ bₙ pentru toți n și ambele au limită, atunci lim aₙ ≤ lim bₙ. Subtilitate: inegalitatea strictă nu se păstrează — din aₙ < bₙ rezultă doar ≤ la limită; 1/n > 0 pentru orice n, dar limita este exact 0.

Limitele de bază, pe care se sprijină tot calculul: 1/n → 0; nᵏ → +∞ pentru k > 0; qⁿ → 0 pentru |q| < 1; qⁿ → +∞ pentru q > 1; iar pentru q ≤ −1, qⁿ nu are limită — oscilează cu semne alternante. Cazul q negativ subunitar e sigur: (−1/2)ⁿ → 0, pentru că modulul tinde la zero.

Operații cu limite și cazurile de nedeterminare

Pentru șiruri cu limite (finite sau infinite), limita comută cu operațiile ori de câte ori operația are sens: limita sumei este suma limitelor, la fel produsul și câtul (cu numitor cu limită nenulă). Pe dreapta încheiată ℝ̄ se adaugă convențiile: ∞ + ∞ = ∞, a · ∞ = ±∞ pentru a ≠ 0 (cu regula semnelor), a/∞ = 0, a/0₊ = +∞ pentru a > 0.

Rămân cazurile de nedeterminare — expresii care nu au valoare universală și cer prelucrare: ∞ − ∞, 0 · ∞, ∞/∞, 0/0, 1^∞, ∞⁰, 0⁰. „Nedeterminat” nu înseamnă „fără limită”, ci „limita depinde de șirurile concrete” — două exemple de tip ∞ − ∞ pot da 0, 7 sau +∞.

Tehnicile standard, pe tipuri:

• ∞/∞ la rapoarte de polinoame: dai factor comun puterea dominantă. Regula finală: grade egale → raportul coeficienților dominanți; gradul numărătorului mai mic → 0; mai mare → ±∞ cu semnul dat de coeficienți.
• ∞ − ∞ cu radicali: amplifici cu conjugata: √(n² + n) − n = n/(√(n² + n) + n) → 1/2. Rezultatul 1/2 — nu 0! — este contraintuitiv și de aceea favorit la grile.
• ∞ − ∞ la polinoame: factor comun puterea dominantă; termenul dominant decide.
• Exponențiale: ierarhia de creștere logaritm ≪ putere ≪ exponențială: n/2ⁿ → 0, ln n / n → 0.

Greșeala de principiu, sancționată imediat: aplicarea teoremelor de operații fără verificarea existenței limitelor. Din faptul că (aₙ + bₙ) converge nu rezultă că aₙ și bₙ converg separat — exemplul (−1)ⁿ și (−1)ⁿ⁺¹ cu suma constantă 0 arată sensul unic al teoremei.

Șiruri remarcabile și numărul e

Limitele „cu nume”, care la examen se citează, nu se demonstrează:

• (1 + 1/n)ⁿ → e ≈ 2,718 — șirul este strict crescător și mărginit (între 2 și 3), iar limita lui definește numărul e, baza logaritmului natural.
• Forma generală: dacă xₙ → ±∞, atunci (1 + 1/xₙ)^xₙ → e; iar șablonul de lucru pentru orice nedeterminare 1^∞ este: scrii baza ca 1 + (ceva mic) αₙ, forțezi exponentul 1/αₙ și limita devine e ridicat la lim(αₙ · exponentul inițial).
• Exemplu lucrat: ((n + 2)/n)ⁿ = (1 + 2/n)ⁿ = ((1 + 2/n)^(n/2))² → e².
• qⁿ: limita este 0 pentru |q| < 1, este 1 pentru q = 1, este +∞ pentru q > 1 și nu există pentru q ≤ −1 — tabloul complet, cu toate cele patru cazuri, este întrebare de teorie.
• ⁿ√a → 1 pentru a > 0 și ⁿ√n → 1 — radicalii de ordin n „netezesc” totul spre 1.
• Sume clasice cu limite finite: 1 + 1/2² + … + 1/n² converge (spre π²/6, valoare informativă), în timp ce seria armonică 1 + 1/2 + … + 1/n → +∞ — deși termenul general tinde la 0. Exemplul acesta demontează intuiția falsă „termenul tinde la 0, deci suma se stabilizează”.

Capcana majoră la 1^∞: tratarea lui ca 1 („1 la orice putere e 1”). Baza nu ESTE 1, ci tinde la 1, iar exponentul crește simultan — competiția dintre cele două procese poate da orice rezultat pozitiv, iar e este doar cazul echilibrat. Recunoașterea formei 1^∞ și aplicarea șablonului cu e valorează un subiect întreg la sesiunile în care apare.

Criteriul cleștelui și alte criterii de convergență

Criteriul cleștelui: dacă aₙ ≤ bₙ ≤ cₙ de la un rang încolo și șirurile laterale au aceeași limită L, atunci și bₙ → L. Șirul din mijloc e „strâns” între două șiruri care se întâlnesc — de aici numele.

Rețeta de aplicare pentru sume cu n termeni — cazul tipic de examen, bₙ = 1/√(n² + 1) + 1/√(n² + 2) + … + 1/√(n² + n):

• minorezi fiecare termen cu cel mai mic dintre ei și majorezi cu cel mai mare;
• obții n · (cel mai mic) ≤ bₙ ≤ n · (cel mai mare), adică n/√(n² + n) ≤ bₙ ≤ n/√(n² + 1);
• ambele margini tind la 1, deci bₙ → 1.

Condiția de reușită: marginile trebuie să aibă limite egale; dacă ies limite diferite, încadrarea e prea slabă și trebuie rafinată — criteriul nu decide nimic în acest caz.

Cazuri particulare și criterii înrudite:

• Mărginit × tinde la 0 → 0: dacă (aₙ) e mărginit și bₙ → 0, atunci aₙbₙ → 0. Exemplul canonic: sin(n)/n → 0, pentru că |sin n| ≤ 1. Greșeala aferentă: a susține că sin(n) are limită — nu are; doar produsul cu 1/n tinde la 0.
• Criteriul raportului: dacă aₙ > 0 și aₙ₊₁/aₙ → L < 1, atunci aₙ → 0 — cel mai rapid drum pentru nⁿ, n!, aⁿ combinate: n!/nⁿ → 0 pentru că raportul tinde la 1/e < 1.
• Modulul: dacă |aₙ| → 0, atunci aₙ → 0 — util la termeni cu semne alternante de tip (−1)ⁿ/n.

La redactare, cleștele cere explicit trei lucruri: inegalitatea dublă justificată, cele două limite calculate și invocarea criteriului cu numele lui. Baremurile punctează fiecare componentă separat.

Test — 6 întrebări ca la examen