Determinanți

Calculul și proprietățile determinanților de ordinul 2 și 3, cu aplicații.

Determinantul de ordinul 2

Fiecărei matrice pătratice i se asociază un număr numit determinant — și distincția aceasta trebuie fixată de la început: matricea este un tablou, determinantul este un număr. Notațiile diferă vizual: matricea între paranteze rotunde, determinantul între bare verticale.

Pentru ordinul 2:

det(A) = |a, b; c, d| = ad − bc — produsul diagonalei principale minus produsul diagonalei secundare.

Atât formula, cât mai ales semnul minus din fața lui bc sunt surse constante de erori de calcul, mai ales când elementele sunt negative: |−2, 3; 1, −4| = (−2)(−4) − 3 · 1 = 8 − 3 = 5.

Interpretarea geometrică merită știută pentru intuiție: |det| este aria paralelogramului construit pe vectorii-linie. De aici vine și aplicația de geometrie analitică cerută la subiecte: aria triunghiului cu vârfurile A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃) este |Δ|/2, unde Δ este determinantul de ordin 3 cu liniile (x₁, y₁, 1), (x₂, y₂, 1), (x₃, y₃, 1); trei puncte sunt coliniare exact când Δ = 0, iar ecuația dreptei prin două puncte se scrie ca anularea aceluiași tip de determinant cu prima linie (x, y, 1).

Rolul central al determinantului, care justifică întregul capitol: A este inversabilă dacă și numai dacă det(A) ≠ 0, iar un sistem liniar pătratic are soluție unică exact în același caz. Determinantul este „detectorul” care spune dintr-un singur număr dacă matricea e degenerată sau nu.

Determinantul de ordinul 3 și regula lui Sarrus

Pentru ordinul 3, metoda de calcul direct este regula lui Sarrus: copiezi primele două linii sub determinant (sau primele două coloane la dreapta), apoi:

• aduni cele trei produse de pe direcția diagonalei principale (stânga-sus către dreapta-jos);
• scazi cele trei produse de pe direcția diagonalei secundare.

În formulă: det(A) = a₁₁a₂₂a₃₃ + a₂₁a₃₂a₁₃ + a₃₁a₁₂a₂₃ − a₁₃a₂₂a₃₁ − a₂₃a₃₂a₁₁ − a₃₃a₁₂a₂₁.

Alternativa echivalentă este regula triunghiului: produsele cu plus sunt diagonala principală și cele două „triunghiuri” cu o latură paralelă cu ea; produsele cu minus, simetricele lor față de diagonala secundară.

Erorile tipice la Sarrus: pierderea unui semn la termenii negativi (șase produse înseamnă multe ocazii), și — mai grav — aplicarea regulii la ordinul 4. Sarrus funcționează EXCLUSIV pentru ordinul 3; pentru ordine mai mari se folosește dezvoltarea Laplace sau operațiile elementare.

Un caz particular celebru, care apare la subiecte cu demonstrație: determinantul Vandermonde de ordin 3, cu liniile (1, a, a²), (1, b, b²), (1, c, c²), are valoarea (b − a)(c − a)(c − b). Merită memorat împreună cu structura lui: se anulează exact când două dintre numere coincid — ceea ce se vede și direct, pentru că atunci două linii devin egale.

Proprietățile determinanților

Proprietățile transformă calculul din forță brută în strategie. Lista de examen:

• det(ᵗA) = det(A) — orice proprietate valabilă pe linii este valabilă și pe coloane.
• Determinantul cu o linie de zerouri este 0.
• Determinantul cu două linii egale sau proporționale este 0 — criteriul cel mai des folosit pentru a arăta anulare fără niciun calcul.
• Schimbarea a două linii între ele schimbă semnul determinantului.
• Factorul comun al unei linii iese în fața determinantului. Consecința pentru matricea întreagă: det(tA) = tⁿ det(A) — scalarul iese o dată pentru fiecare linie, nu o singură dată.
• Dacă o linie se scrie ca sumă de două linii, determinantul se desparte în sumă de doi determinanți (liniaritate pe linie). Atenție: det(A + B) ≠ det(A) + det(B) în general — liniaritatea e pe câte o linie, nu pe toată matricea.
• Adunarea la o linie a unei alte linii înmulțite cu un scalar NU schimbă determinantul — proprietatea de aur, baza metodei operațiilor elementare.
• det(AB) = det(A) · det(B) — determinantul produsului este produsul determinanților; de aici det(Aⁿ) = (det A)ⁿ și det(A⁻¹) = 1/det(A).

Capcana centrală a capitolului este ultima pereche: produsul se comportă perfect, suma deloc. |I₂ + I₂| = 4, dar |I₂| + |I₂| = 2 — un contraexemplu de purtat în minte.

Pentru matrice triunghiulare (toate zerourile sub sau deasupra diagonalei), determinantul este pur și simplu produsul elementelor diagonalei — motivul pentru care merită adus orice determinant la formă triunghiulară.

Dezvoltarea după o linie sau coloană

Minorul Mᵢⱼ al elementului aᵢⱼ este determinantul de ordin n − 1 obținut tăind linia i și coloana j. Complementul algebric adaugă semnul: Aᵢⱼ = (−1)^(i+j) · Mᵢⱼ. Semnele urmează tabla de șah, cu plus în colțul din stânga sus:

+ − + − + − + − +

Teorema lui Laplace (dezvoltarea după o linie sau coloană): determinantul este suma produselor dintre elementele unei linii (sau coloane) și complemenții lor algebrici:

det(A) = aᵢ₁Aᵢ₁ + aᵢ₂Aᵢ₂ + … + aᵢₙAᵢₙ.

Rezultatul nu depinde de linia sau coloana aleasă — deci alegi întotdeauna linia sau coloana cu cele mai multe zerouri: fiecare zero omoară un termen întreg din sumă. Un determinant de ordin 4 cu o coloană aproape plină de zerouri se reduce la un singur determinant de ordin 3.

Greșelile care taie punctajul:

• uitarea semnului (−1)^(i+j) — mai ales la dezvoltarea după linia sau coloana a doua, unde semnele încep cu minus;
• confundarea minorului cu complementul algebric: minorul este determinantul „brut”, complementul algebric este minorul cu semn;
• amestecarea indicilor la tăiere: pentru a₂₃ tai linia 2 și coloana 3, nu invers.

Completarea teoremei, folosită la construcția inversei: suma produselor dintre elementele unei linii și complemenții algebrici ai altei linii este întotdeauna zero — de aceea A · A* = det(A) · Iₙ, identitatea din care se citește formula inversei.

Calculul prin operații elementare și strategia de examen

Metoda profesionistă de calcul combină proprietățile într-un algoritm:

• Creezi zerouri pe o linie sau coloană adunând la ea multipli ai altor linii (operație care nu schimbă valoarea);
• Dezvolți Laplace după linia sau coloana curățată;
• Repeți până ajungi la ordinul 2 sau la formă triunghiulară.

Exemplu de reflex: dacă toate liniile au aceeași sumă (frecvent la determinanții „cu structură” din subiecte), aduni toate coloanele la prima — prima coloană devine constantă, scoți constanta factor, apoi scazi prima linie din celelalte și obții zerouri masive.

Contabilitatea operațiilor, unde se pierd semnele:

• Lᵢ → Lᵢ + tLⱼ: determinantul neschimbat;
• Lᵢ ↔ Lⱼ: determinantul își schimbă semnul;
• Lᵢ → tLᵢ: determinantul se înmulțește cu t — deci dacă scoți factor, îl scrii în față; dacă înmulțești o linie ca să elimini fracții, împarți la final.

Pentru determinanți cu parametru — cerință tip: „determinați m astfel încât sistemul să aibă soluție unică” — calculezi det ca polinom în m și discuți anularea. Aici disciplina algebrică plătește: adu determinantul la forma factorizată, nu desfăcută, ca să citești direct rădăcinile.

Strategia generală de examen la un determinant de ordin 3: întâi te uiți 10 secunde după linii proporționale sau sumă constantă (răspuns imediat sau simplificare masivă); dacă nu, alegi între Sarrus (elemente numerice simple) și zerouri + Laplace (elemente cu parametri sau structuri). Calculul orb prin Sarrus la un determinant cu parametru produce un polinom desfăcut greu de factorizat — exact opusul a ceea ce cere de obicei subiectul.

Test — 6 întrebări ca la examen