Polinoame

Studiul polinoamelor cu coeficienți reali sau complecși, al operațiilor și rădăcinilor acestora.

Inelul polinoamelor: grad, valoare, egalitate

Un polinom cu coeficienți într-un corp K (de regulă ℝ sau ℂ) se scrie f = aₙXⁿ + aₙ₋₁Xⁿ⁻¹ + … + a₁X + a₀, cu aₙ ≠ 0. Numărul n este gradul polinomului, aₙ este coeficientul dominant, iar a₀ este termenul liber. Mulțimea polinoamelor cu coeficienți în K se notează K[X] și formează, cu adunarea și înmulțirea obișnuite, un inel comutativ — de aici vine titlul capitolului.

Reguli de grad, cerute constant: grad(f + g) ≤ max(grad f, grad g) — poate scădea, dacă termenii dominanți se anulează reciproc — dar grad(f · g) = grad f + grad g întotdeauna (peste un corp).

Distincția subtilă pe care examenul o exploatează: polinomul f este un obiect formal, iar funcția polinomială asociată f̃ : K → K, f̃(x) = f(x), este altceva. Peste ℝ și ℂ ele se identifică fără probleme, dar vocabularul contează: „rădăcina” aparține polinomului, „zeroul” funcției.

Egalitatea a două polinoame înseamnă egalitatea coeficienților de pe aceleași puteri — aceasta este metoda coeficienților nedeterminați, folosită când cauți un polinom necunoscut: scrii forma generală, egalezi coeficienții și rezolvi sistemul. Valori utile de reținut: f(0) = a₀ (termenul liber), f(1) = suma tuturor coeficienților, f(−1) = suma alternată a coeficienților.

Împărțirea cu rest și schema lui Horner

Teorema împărțirii cu rest: pentru orice polinoame f și g ≠ 0 există și sunt unice polinoamele q (câtul) și r (restul) astfel încât f = g · q + r, cu grad r < grad g. Condiția pe grade este esențială — fără ea, scrierea nu ar fi unică.

Împărțirea se face ca la numere: ordonezi descrescător după puteri, împarți termenii dominanți, înmulțești, scazi, repeți. Greșeala tehnică frecventă: lipsa termenilor de grad intermediar. Dacă împarți X⁴ − 1, scrie-l X⁴ + 0X³ + 0X² + 0X − 1, altfel coloanele alunecă și semnele se pierd.

Cazul special g = X − a are două scurtături:

• Teorema restului: restul împărțirii lui f la X − a este r = f(a). Nu mai împarți deloc — calculezi o valoare.
• Schema lui Horner: tabel care dă simultan câtul și restul. Pe prima linie scrii coeficienții lui f (cu zerourile lipsă incluse!), cobori primul coeficient, apoi repeți: înmulțești cu a și aduni coeficientul următor. Ultimul număr obținut este restul f(a), iar celelalte sunt coeficienții câtului, cu gradul scăzut cu 1.

Pentru împărțirea la X + a, în schema lui Horner folosești valoarea −a — inversarea semnului este capcana numărul unu la acest calcul. Pentru împărțitori de grad 2, ca X² − 1, teorema restului nu se aplică direct: scrii restul ca r = mX + n și determini m, n din valorile lui f în rădăcinile împărțitorului.

Rădăcini, teorema lui Bezout și ordinul de multiplicitate

Numărul a este rădăcină a polinomului f dacă f(a) = 0. Teorema lui Bezout leagă rădăcinile de divizibilitate: a este rădăcină a lui f dacă și numai dacă X − a divide f. Este o echivalență, deci funcționează în ambele sensuri: găsești o rădăcină → poți factoriza; știi o factorizare → citești rădăcinile.

Rădăcina a are ordinul de multiplicitate k dacă (X − a)ᵏ divide f, dar (X − a)ᵏ⁺¹ nu-l mai divide. Practic: a este rădăcină dublă dacă f(a) = 0 și f′(a) = 0, dar f″(a) ≠ 0 — criteriul cu derivate este cel mai rapid la subiectele care cer determinarea unor parametri astfel încât o rădăcină să fie multiplă.

Un polinom de grad n cu coeficienți într-un corp are cel mult n rădăcini, numărate cu multiplicități. Peste ℂ, teorema fundamentală a algebrei (d'Alembert-Gauss) garantează că are exact n rădăcini complexe cu multiplicități — de aceea ℂ se numește corp algebric închis.

Pentru găsirea rădăcinilor raționale ale unui polinom cu coeficienți întregi: dacă p/q (fracție ireductibilă) este rădăcină, atunci p divide termenul liber și q divide coeficientul dominant. Lista candidaților e finită și se testează cu Horner. Dacă polinomul e monic (coeficient dominant 1), candidații raționali sunt chiar divizorii întregi ai termenului liber.

Relațiile lui Viète

Relațiile lui Viète exprimă sumele și produsele rădăcinilor prin coeficienți, fără a rezolva ecuația.

Pentru gradul 2, f = aX² + bX + c cu rădăcinile x₁, x₂: x₁ + x₂ = −b/a și x₁x₂ = c/a.

Pentru gradul 3, f = aX³ + bX² + cX + d cu rădăcinile x₁, x₂, x₃:

• x₁ + x₂ + x₃ = −b/a;
• x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃ = c/a;
• x₁x₂x₃ = −d/a.

Semnele alternează: minus, plus, minus — uitarea alternanței este cea mai comună sursă de rezultate greșite.

Combinatii cerute frecvent, cu formulele lor:

• Suma pătratelor: x₁² + x₂² + x₃² = (x₁ + x₂ + x₃)² − 2(x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃);
• Suma inverselor: 1/x₁ + 1/x₂ + 1/x₃ = (x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃)/(x₁x₂x₃);
• Suma cuburilor, prin trucul ecuației: fiecare rădăcină verifică axᵢ³ + bxᵢ² + cxᵢ + d = 0; sumezi cele trei egalități și exprimi suma cuburilor prin sumele de puteri inferioare. Trucul acesta merge la orice putere și scutește calcule masive.

Viète funcționează și invers: dacă știi suma s și produsul p a două numere, ele sunt rădăcinile ecuației X² − sX + p = 0. La subiectele cu parametru („determinați m astfel încât rădăcinile să satisfacă…”), relațiile lui Viète transformă condiția asupra rădăcinilor într-o ecuație în m — fără a calcula vreodată rădăcinile explicit.

Rădăcini complexe și iraționale ale polinoamelor cu coeficienți reali

Două teoreme „de pereche” organizează rădăcinile polinoamelor cu coeficienți speciali:

• Coeficienți reali: dacă z = a + bi (b ≠ 0) este rădăcină, atunci și conjugata z̄ = a − bi este rădăcină, cu același ordin de multiplicitate. Rădăcinile complexe nereale vin mereu în perechi conjugate.
• Coeficienți raționali: dacă a + b√d este rădăcină (cu √d irațional), atunci și conjugata pătratică a − b√d este rădăcină.

Consecințe imediate, testate la grile: un polinom cu coeficienți reali de grad impar are cel puțin o rădăcină reală (rădăcinile nereale se grupează în perechi, deci numărul lor e par); un polinom de grad 3 cu coeficienți reali nu poate avea exact două rădăcini reale distincte și una nereală.

Aplicație standard: știi că 1 + i este rădăcină a unui polinom cu coeficienți reali → automat 1 − i este și ea rădăcină → polinomul se divide cu (X − 1 − i)(X − 1 + i) = X² − 2X + 2. Împarți și continui cu câtul. Produsul perechii conjugate se calculează rapid: (X − z)(X − z̄) = X² − 2Re(z)·X + |z|².

Atenție la ipoteze: perechea conjugată este garantată doar dacă coeficienții sunt reali. Polinomul X − i are coeficienți complecși și rădăcina i, fără ca −i să fie rădăcină. Enunțurile precizează întotdeauna „cu coeficienți reali” — dacă nu scrie, teorema nu se aplică.

Descompunerea în factori ireductibili

Un polinom este ireductibil peste un corp K dacă nu se poate scrie ca produs de două polinoame din K[X] de grad strict mai mic. Ireductibilitatea depinde de corp — ideea centrală a secțiunii:

• Peste ℂ: ireductibile sunt doar polinoamele de gradul 1. Orice polinom se descompune complet: f = aₙ(X − z₁)(X − z₂)…(X − zₙ).
• Peste ℝ: ireductibile sunt polinoamele de gradul 1 și cele de gradul 2 cu discriminant negativ (Δ < 0). Orice polinom cu coeficienți reali se descompune în factori de gradul 1 și factori de gradul 2 fără rădăcini reale.
• Peste ℚ: pot exista polinoame ireductibile de orice grad — X⁴ + 1 nu are factori raționali de grad mic, deși peste ℝ se descompune.

Exemplul care fixează totul: X⁴ − 1 = (X − 1)(X + 1)(X² + 1) peste ℝ, dar (X − 1)(X + 1)(X − i)(X + i) peste ℂ. Factorul X² + 1 este ireductibil peste ℝ (Δ = −4 < 0), dar reductibil peste ℂ.

Capcana de punctaj: X² + 1 „nu are rădăcini” este un enunț incomplet — nu are rădăcini reale; peste ℂ are rădăcinile ±i. Când enunțul cere „descompuneți în factori ireductibili”, verifică peste ce corp se lucrează: aceeași întrebare are răspunsuri diferite peste ℚ, ℝ și ℂ.

Tehnici de descompunere care apar la subiecte: darea în factor comun, formulele de calcul prescurtat, găsirea unei rădăcini raționale plus Horner, gruparea termenilor și completarea pătratului (X⁴ + 4 = (X² + 2)² − 4X² = (X² − 2X + 2)(X² + 2X + 2) — identitatea lui Sophie Germain).

Test — 6 întrebări ca la examen