Inele și corpuri

Studiul structurilor algebrice de tip inel și corp, cu exemple concrete.

De la lege de compoziție la inel

O lege de compoziție internă pe o mulțime M asociază oricăror două elemente x, y ∈ M un element x ∗ y tot din M — proprietatea aceasta se numește chiar parte stabilă. Proprietățile care se verifică mereu la examen:

• Asociativitatea: (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z);
• Comutativitatea: x ∗ y = y ∗ x;
• Elementul neutru e: x ∗ e = e ∗ x = x pentru orice x;
• Elementele simetrizabile: x are simetric x′ dacă x ∗ x′ = x′ ∗ x = e.

Un inel (A, +, ·) este o mulțime cu două legi de compoziție care satisfac: (A, +) este grup abelian (adunarea e asociativă, comutativă, are element neutru 0 și orice element are opus), înmulțirea este asociativă, are element neutru 1 (inel unitar) și este distributivă față de adunare: x(y + z) = xy + xz și (y + z)x = yx + zx.

Exemple standard: (ℤ, +, ·), (ℚ, +, ·), (ℝ, +, ·), inelele de resturi (ℤₙ, +, ·), inelele de matrice.

Atenție la ce NU se cere: într-un inel, elementele nu trebuie să fie inversabile față de înmulțire. În ℤ, doar 1 și −1 au invers — și totuși ℤ este inel. Confuzia dintre „opus” (simetricul față de adunare) și „invers” (simetricul față de înmulțire) costă puncte.

Inele comutative și divizori ai lui zero

Un inel este comutativ dacă și înmulțirea este comutativă: xy = yx pentru orice x, y. ℤ, ℚ, ℝ, ℤₙ sunt comutative; inelul matricelor pătratice nu este — exemplul de serviciu pentru necomutativitate.

Într-un inel pot exista divizori ai lui zero: elemente nenule x, y cu xy = 0. În ℤ₆, de pildă, 2̂ · 3̂ = 6̂ = 0̂, deși 2̂ ≠ 0̂ și 3̂ ≠ 0̂. Consecința practică e importantă: într-un inel cu divizori ai lui zero nu poți simplifica — din ab = ac nu rezultă b = c decât dacă a nu este divizor al lui zero.

În ℤₙ, un element k̂ este inversabil dacă și numai dacă (k, n) = 1 — adică k și n sunt prime între ele; k̂ este divizor al lui zero exact când (k, n) ≠ 1 și k̂ ≠ 0̂. De aici rezultatul-cheie: ℤₙ nu are divizori ai lui zero dacă și numai dacă n este prim.

Un inel comutativ, unitar, fără divizori ai lui zero se numește domeniu de integritate — ℤ este prototipul. În domeniile de integritate simplificarea cu elemente nenule este permisă, iar o ecuație de forma produs egal cu zero implică unul dintre factori zero — exact regula pe care o folosești din gimnaziu la rezolvarea ecuațiilor prin descompunere.

Corpuri: definiție și exemple

Un corp (K, +, ·) este un inel unitar în care orice element nenul este inversabil față de înmulțire și 1 ≠ 0. Cu alte cuvinte: (K, +) grup abelian, (K \ {0}, ·) grup, plus distributivitatea. Dacă înmulțirea e și comutativă, corpul se numește comutativ.

Exemplele de la examen:

• (ℚ, +, ·), (ℝ, +, ·), (ℂ, +, ·) — corpuri comutative infinite.
• (ℤₚ, +, ·) cu p prim — corpuri comutative finite, cu exact p elemente. Dacă n nu e prim, ℤₙ are divizori ai lui zero, deci nu poate fi corp.
• (ℤ, +, ·) NU este corp: 2 nu are invers întreg. Este doar domeniu de integritate — distincția aceasta e grilă și subiect de teorie clasic.

Într-un corp nu există divizori ai lui zero: dacă xy = 0 și x ≠ 0, înmulțești cu x⁻¹ și obții y = 0. Reciproc nu e valabil: lipsa divizorilor lui zero nu garantează corpul (vezi ℤ).

La subiectele de bacalaureat, structura de corp se verifică de regulă pe mulțimi de forma K = (a, b) sau K = ℝ \ {c} cu legi de tipul x ∗ y = xy − ax − ay + a² + a. Strategia sigură: cauți un izomorfism de tipul f(x) = x − a care transportă legea dată în operația obișnuită, apoi proprietățile se moștenesc automat.

Corpul numerelor reale și subcorpuri

(ℝ, +, ·) este corpul comutativ de referință: adunarea și înmulțirea uzuale, 0 element neutru la adunare, 1 la înmulțire, orice x ≠ 0 are inversul 1/x. În plus, ℝ este total ordonat (oricare două numere se compară) și ordinea e compatibilă cu operațiile: poți aduna la ambii membri ai unei inegalități orice număr și poți înmulți cu numere pozitive fără să schimbi sensul.

O submulțime K ⊆ ℝ este subcorp dacă, împreună cu operațiile induse, este ea însăși corp. Practic verifici: 0, 1 ∈ K; x − y ∈ K pentru orice x, y ∈ K (stabilitate la scădere); xy ∈ K; și x⁻¹ ∈ K pentru x ≠ 0.

Exemplul tipic de examen: ℚ(√d) = {a + b√d | a, b ∈ ℚ} cu d întreg liber de pătrate, de pildă ℚ(√2). Suma și produsul rămân de aceeași formă, iar inversul se calculează prin raționalizare (amplificare cu conjugata): 1/(a + b√2) = (a − b√2)/(a² − 2b²). Numitorul a² − 2b² nu se anulează pentru (a, b) ≠ (0, 0) tocmai pentru că √2 este irațional — argumentul acesta trebuie scris explicit, altfel demonstrația e incompletă.

Lanțul de subcorpuri de reținut: ℚ ⊂ ℚ(√2) ⊂ ℝ. ℤ nu apare în lanț: nu e corp, deci nu poate fi subcorp.

Cum abordezi subiectele cu legi de compoziție

Subiectul clasic de bacalaureat dă o lege x ∗ y = xy + ax + ay + b pe ℝ sau pe un interval și cere pas cu pas structura. Rutina de rezolvare:

• Forma canonică: încearcă să scrii x ∗ y = (x + a)(y + a) − a. Dacă reușești, aproape totul devine imediat: legea „ascunde” înmulțirea obișnuită translatată cu a.
• Parte stabilă: arăți că pentru x, y în mulțimea dată, x ∗ y rămâne în mulțime — de regulă folosind forma canonică și semnul factorilor.
• Element neutru: rezolvi x ∗ e = x pentru orice x. Din forma canonică: (x + a)(e + a) − a = x conduce la e + a = 1, deci e = 1 − a. Verifică apoi și e ∗ x = x dacă legea nu e evident comutativă.
• Simetricul: (x + a)(x′ + a) = 1, deci x′ = 1/(x + a) − a, valabil doar când x + a ≠ 0. Elementul x = −a nu este simetrizabil — exact el se exclude din mulțime când se cere structură de grup sau corp.
• Compunerea repetată: x ∗ x ∗ … ∗ x (de n ori) devine (x + a)ⁿ − a — formula care rezolvă cerințele de tipul „calculați 2 ∗ 2 ∗ … ∗ 2”.

Greșeala de redactare frecventă: elevii verifică asociativitatea prin calcul brut de o pagină și greșesc semnele. Cu forma canonică, asociativitatea rezultă din asociativitatea înmulțirii pe ℝ în trei rânduri. Caută întotdeauna întâi forma canonică — ea este cheia întregului subiect.

Test — 6 întrebări ca la examen