Introducerea mulțimii numerelor complexe, a operațiilor și reprezentărilor acestora.
Mulțimea numerelor complexe apare din nevoia de a rezolva ecuații precum x² + 1 = 0, imposibile în ℝ. Se introduce unitatea imaginară i, cu proprietatea definitorie i² = −1, iar un număr complex se scrie în forma algebrică z = a + bi, unde a = Re(z) este partea reală și b = Im(z) este partea imaginară. Atenție la o subtilitate de vocabular: partea imaginară este numărul real b, nu produsul bi.
ℝ ⊂ ℂ: numerele reale sunt exact numerele complexe cu Im(z) = 0; cele cu Re(z) = 0 și b ≠ 0 se numesc pur imaginare.
Operațiile respectă regulile obișnuite de calcul, plus i² = −1:
Puterile lui i sunt periodice cu perioada 4: i¹ = i, i² = −1, i³ = −i, i⁴ = 1, apoi ciclul se reia. Pentru iⁿ împarți n la 4 și folosești restul: i²⁰²⁶ = i² = −1, pentru că 2026 = 4 · 506 + 2. Important: în ℂ nu există relația de ordine compatibilă cu operațiile — scrierea z₁ < z₂ pentru numere nereale nu are sens.
Conjugatul lui z = a + bi este z̄ = a − bi — schimbi doar semnul părții imaginare. Proprietăți de calcul: conjugatul sumei este suma conjugatelor, conjugatul produsului este produsul conjugatelor, iar z = z̄ dacă și numai dacă z este real.
Două identități care rezolvă multe subiecte: z + z̄ = 2Re(z) și z · z̄ = a² + b² — un număr real și pozitiv.
Modulul lui z este |z| = √(a² + b²) — distanța de la origine la punctul de afix z. Legătura fundamentală: z · z̄ = |z|². Proprietăți: |z₁z₂| = |z₁||z₂|, |z₁/z₂| = |z₁|/|z₂|, |z̄| = |z|, iar pentru sumă doar inegalitatea triunghiului: |z₁ + z₂| ≤ |z₁| + |z₂| — modulul sumei NU este suma modulelor.
Împărțirea se face prin amplificarea cu conjugatul numitorului: (a + bi)/(c + di) = (a + bi)(c − di)/(c² + d²). Numitorul devine real, iar numărătorul se calculează ca un produs obișnuit. Exemplu: (3 + i)/(1 − i) = (3 + i)(1 + i)/2 = (2 + 4i)/2 = 1 + 2i.
Geometric, ℂ se identifică cu planul: numărului z = a + bi îi corespunde punctul M(a, b), numit imaginea lui z, iar z se numește afixul lui M. Conjugarea este simetria față de axa Ox, |z₁ − z₂| este distanța dintre punctele de afixe z₁ și z₂, iar ecuația |z − z₀| = r descrie cercul de centru z₀ și rază r — traducerea geometrică este cheia problemelor de loc geometric.
Orice număr complex nenul se scrie în forma trigonometrică z = r(cos t + i sin t), unde r = |z| este modulul, iar t este argumentul — unghiul dintre semiaxa pozitivă Ox și raza vectoare a punctului. Argumentul redus arg z se ia în intervalul [0, 2π).
Trecerea de la forma algebrică: r = √(a² + b²), apoi determini t din cos t = a/r și sin t = b/r. Pasul care se greșește sistematic este cadranul: tg t = b/a nu determină singură unghiul, pentru că tangenta are perioada π. Verifică semnele lui a și b: pentru z = −1 + i, punctul (−1, 1) este în cadranul II, deci t = 3π/4, nu π/4 sau −π/4.
Forme de reținut pe de rost: 1 = cos 0 + i sin 0; i = cos(π/2) + i sin(π/2); −1 = cos π + i sin π; −i = cos(3π/2) + i sin(3π/2).
Forța formei trigonometrice stă în operații:
Geometric, înmulțirea cu un număr complex de modul 1 și argument t este o rotație de unghi t în jurul originii — de aceea înmulțirea cu i rotește cu 90°. Capcană de formă: scrierea r(cos t − i sin t) sau r(sin t + i cos t) NU este formă trigonometrică; trebuie adusă la forma standard folosind paritatea funcțiilor sau formulele de reducere, altfel citirea argumentului este greșită.
Formula lui Moivre generalizează regula înmulțirii la puteri: pentru z = r(cos t + i sin t) și n natural,
zⁿ = rⁿ(cos nt + i sin nt).
Modulul se ridică la putere, argumentul se înmulțește cu n. Formula transformă un calcul imposibil prin desfacere de paranteze — de pildă (1 + i)²⁰ — într-o operație de trei rânduri: 1 + i = √2(cos(π/4) + i sin(π/4)), deci (1 + i)²⁰ = 2¹⁰(cos 5π + i sin 5π) = −1024.
Pași obligatorii în aplicare:
Aplicație clasică la subiecte: calculul lui zⁿ + 1/zⁿ când z + 1/z = 2cos t. Dacă z = cos t + i sin t, atunci 1/z = cos t − i sin t (conjugatul, pentru că |z| = 1), deci zⁿ + 1/zⁿ = 2cos nt — identitate care rezolvă o familie întreagă de probleme cu sume trigonometrice.
Moivre funcționează și pentru exponenți întregi negativi: z⁻ⁿ = r⁻ⁿ(cos(−nt) + i sin(−nt)). Greșeala tipică este aplicarea formulei direct pe forma algebrică — „(1 + i)²⁰ = 1²⁰ + i²⁰” este un dezastru cu binomul uitat; formula lui Moivre cere OBLIGATORIU forma trigonometrică.
Ecuația zⁿ = w, cu w = r(cos t + i sin t) nenul, are exact n soluții complexe distincte, date de formula:
zₖ = ⁿ√r · (cos((t + 2kπ)/n) + i sin((t + 2kπ)/n)), pentru k = 0, 1, …, n − 1.
Structura formulei: modulul este rădăcina de ordinul n (reală, pozitivă) a modulului, iar argumentele se obțin împărțind la n argumentul t plus multiplii de 2π. Termenul 2kπ este esențial — fără el ai găsi o singură rădăcină din cele n. Geometric, cele n rădăcini sunt vârfurile unui poligon regulat cu n laturi înscris în cercul de rază ⁿ√r centrat în origine.
Cazul w = 1 dă rădăcinile de ordinul n ale unității: εₖ = cos(2kπ/n) + i sin(2kπ/n), k = 0, …, n − 1. Proprietăți cerute la examen:
Pentru n = 3, rădăcinile cubice ale unității sunt 1, ε, ε² cu ε = −1/2 + i√3/2, și identitățile 1 + ε + ε² = 0, ε³ = 1 rezolvă aproape orice subiect în care apare ε.
Capcana finală: în ℂ, scrierea √w pentru w nereal este ambiguă — există două rădăcini pătrate și niciuna nu e „cea pozitivă”, pentru că ℂ nu e ordonat. Corect este să vorbești despre rădăcinile ecuației z² = w și să le determini pe amândouă, fie trigonometric, fie algebric prin sistemul a² − b² = Re(w), 2ab = Im(w).