Matrice

Studiul matricelor, al operațiilor cu matrice și al proprietăților acestora.

Ce este o matrice și ce tipuri apar la examen

O matrice de tip (m, n) este un tablou dreptunghiular cu m linii și n coloane de numere; elementul de pe linia i și coloana j se notează aᵢⱼ — primul indice este linia, al doilea coloana. Mulțimea matricelor de tip (m, n) cu elemente reale se notează Mₘ,ₙ(ℝ); pentru m = n scriem Mₙ(ℝ) și vorbim de matrice pătratice de ordin n.

Tipurile care apar constant:

• Matricea nulă Oₙ — toate elementele 0; este elementul neutru la adunare.
• Matricea unitate Iₙ — 1 pe diagonala principală, 0 în rest; este elementul neutru la înmulțire: A · Iₙ = Iₙ · A = A.
• Diagonala principală a unei matrice pătratice: elementele a₁₁, a₂₂, …, aₙₙ; suma lor se numește urma matricei, notată Tr(A) — apare în relația Hamilton-Cayley.
• Matrice diagonală: elemente nenule doar pe diagonala principală; puterile ei se calculează ridicând la putere fiecare element diagonal — motivul pentru care multe subiecte „aranjează” matricea în formă diagonală.

Egalitatea a două matrice cere același tip și egalitatea element cu element — o egalitate de matrice 2×2 înseamnă patru ecuații numerice simultane, principiu folosit ori de câte ori se determină o matrice necunoscută.

Greșeala de start: confundarea ordinii indicilor. a₂₁ este elementul de pe linia 2, coloana 1 — citit invers, jumătate din calculele ulterioare ies oglindite.

Adunarea și înmulțirea cu scalari

Adunarea matricelor de același tip se face pe poziții: (A + B)ᵢⱼ = aᵢⱼ + bᵢⱼ. Matricele de tipuri diferite nu se pot aduna — nu există nicio convenție de completare.

Proprietățile adunării fac din (Mₘ,ₙ(ℝ), +) un grup abelian: asociativitate, comutativitate, element neutru Oₘ,ₙ și opusa −A (toate elementele cu semn schimbat).

Înmulțirea cu un scalar t ∈ ℝ înmulțește fiecare element: (tA)ᵢⱼ = t · aᵢⱼ. Aici pândește o capcană importantă la legătura cu determinanții, pe care o vei folosi în capitolul următor: pentru A pătratică de ordin n, det(tA) = tⁿ det(A), nu t · det(A) — pentru că fiecare dintre cele n linii se înmulțește cu t.

Combinate, cele două operații permit descompuneri de tipul A = aI₂ + bB, extrem de utile la calculul puterilor: dacă B² = O₂ (matrice nilpotentă), binomul lui Newton se termină după doi termeni: Aⁿ = aⁿI₂ + naⁿ⁻¹bB. Binomul se poate aplica DOAR pentru matrice care comută (I₂ comută cu orice matrice, deci aici e legitim).

Calculul acesta — descompunerea în parte scalară plus parte nilpotentă sau idempotentă — este scheletul a numeroase subiecte de bacalaureat de tip „calculați Aⁿ”. Alternativa este calculul lui A², A³, ghicirea formulei generale și demonstrarea ei prin inducție matematică — metoda care aduce punctaj complet doar dacă scrii explicit ambii pași ai inducției.

Înmulțirea matricelor

Produsul A · B există doar dacă numărul de coloane ale lui A egalează numărul de linii ale lui B: din A de tip (m, n) și B de tip (n, p) rezultă AB de tip (m, p). Elementul (AB)ᵢⱼ se obține din linia i a lui A și coloana j a lui B: înmulțești element cu element și aduni — regula „linie pe coloană”.

Proprietăți: asociativitate A(BC) = (AB)C, distributivitate față de adunare, element neutru Iₙ. Dar înmulțirea matricelor are trei anomalii față de înmulțirea numerelor, toate exploatate la grile:

• Nu este comutativă: în general AB ≠ BA; pentru matrice nepătratice, BA poate nici să nu existe sau să aibă alt tip.
• Există divizori ai lui zero: AB = O nu implică A = O sau B = O. Exemplu: matricea cu singurul element nenul a₁₂ = 1 înmulțită cu ea însăși dă O₂.
• Nu se poate simplifica: din AB = AC nu rezultă B = C decât dacă A este inversabilă.

Consecință directă asupra formulelor de calcul prescurtat: (A + B)² = A² + AB + BA + B², care devine A² + 2AB + B² numai dacă AB = BA. Scrierea automată a formulei de la numere, fără verificarea comutării, este probabil cea mai frecventă eroare de punctaj din tot capitolul.

Puterile unei matrice pătratice: Aⁿ = A · A · … · A. Strategii standard la subiecte: calculezi A² și A³, recunoști tiparul și demonstrezi prin inducție; sau folosești descompunerea A = aI + B; sau, pentru ordin 2, relația Hamilton-Cayley: A² − Tr(A) · A + det(A) · I₂ = O₂, care exprimă orice putere prin A și I₂.

Transpusa unei matrice

Transpusa matricei A, notată ᵗA (sau Aᵀ), se obține transformând liniile în coloane: elementul de pe poziția (i, j) în ᵗA este aⱼᵢ. Dintr-o matrice de tip (m, n) rezultă una de tip (n, m).

Proprietățile de calcul, dintre care ultima este singura cu adevărat capcană:

• ᵗ(ᵗA) = A — transpunerea este involutivă;
• ᵗ(A + B) = ᵗA + ᵗB;
• ᵗ(tA) = t · ᵗA pentru scalari;
• ᵗ(AB) = ᵗB · ᵗA — ordinea factorilor SE INVERSEAZĂ. Regula „șosetele și pantofii”: operațiile se desfac în ordine inversă. Scrierea ᵗ(AB) = ᵗA · ᵗB este greșită și, de regulă, produsul nici nu mai are sens dimensional.

Pentru matrice pătratice, transpusa definește două clase speciale:

• Matrice simetrică: ᵗA = A — elementele sunt oglindite față de diagonala principală (aᵢⱼ = aⱼᵢ);
• Matrice antisimetrică: ᵗA = −A — oglindirea schimbă semnul, iar pe diagonala principală stau obligatoriu zerouri (aᵢᵢ = −aᵢᵢ forțează aᵢᵢ = 0).

Rezultat frumos, cerut ca exercițiu: orice matrice pătratică se descompune unic în suma dintre o matrice simetrică și una antisimetrică: A = (A + ᵗA)/2 + (A − ᵗA)/2.

Legătura cu determinanții, folosită permanent în capitolul următor: det(ᵗA) = det(A) — de aceea orice proprietate a determinanților enunțată pe linii este valabilă și pe coloane.

Matrice inversabile

Matricea pătratică A este inversabilă dacă există o matrice A⁻¹ cu proprietatea A · A⁻¹ = A⁻¹ · A = Iₙ. Criteriul decisiv: A este inversabilă dacă și numai dacă det(A) ≠ 0 (matrice nesingulară). Dacă det(A) = 0, matricea se numește singulară și nu are inversă — nicio manevră nu o poate „repara”.

Algoritmul de calcul al inversei:

• Calculezi det(A); dacă e 0, te oprești — nu există inversă.
• Scrii transpusa ᵗA.
• Construiești adjuncta A* : înlocuiești fiecare element al transpusei cu complementul său algebric — minorul obținut prin tăierea liniei și coloanei elementului, înmulțit cu (−1)^(i+j). Tabla de semne în șah, care începe cu + în colțul din stânga sus, este de neocolit.
• A⁻¹ = (1/det A) · A*.

Pentru ordinul 2 există scurtătura care merită memorată: inversa lui A = (a, b; c, d) este (1/(ad − bc)) · (d, −b; −c, a) — elementele diagonalei principale se schimbă între ele, celelalte două își schimbă semnul.

Proprietăți: (A⁻¹)⁻¹ = A; (AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹ — din nou ordinea se inversează, exact ca la transpusă; det(A⁻¹) = 1/det(A).

Ecuațiile matriceale se rezolvă prin înmulțire cu inversa, cu grijă la parte: din AX = B rezultă X = A⁻¹B (înmulțire la stânga), iar din XA = B rezultă X = BA⁻¹ (înmulțire la dreapta). Pentru că înmulțirea nu e comutativă, A⁻¹B și BA⁻¹ sunt în general matrice diferite — alegerea părții greșite dă un rezultat care „arată bine”, dar nu verifică ecuația.

Aplicații: puteri, șiruri de matrice și modelare

Subiectul III de la bacalaureat construiește aproape întotdeauna în jurul unei matrice concrete un mic univers de cerințe legate. Tiparele de rezolvare:

• Calculul lui Aⁿ prin inducție: calculezi A², A³, formulezi ipoteza asupra formei generale și o demonstrezi. Redactarea completă cere: verificarea pentru n = 1, presupunerea pentru n = k, demonstrația pentru n = k + 1 prin Aᵏ⁺¹ = Aᵏ · A.
• Descompunerea A = aI + B: dacă B este nilpotentă (B² = O) sau idempotentă (B² = B), binomul lui Newton — legitim, căci I comută cu B — se scurtează spectaculos. Pentru B² = B: Aⁿ = aⁿI + ((a + b)ⁿ − aⁿ)/... — mai simplu, cauți Aⁿ = aⁿI + cₙB și determini șirul cₙ dintr-o recurență.
• Hamilton-Cayley pentru ordin 2: A² = Tr(A) · A − det(A) · I₂. Orice putere Aⁿ se scrie xₙA + yₙI₂, cu recurențe pentru xₙ, yₙ. Deosebit de eficientă când det(A) = 0: atunci A² = Tr(A) · A, deci Aⁿ = (Tr A)ⁿ⁻¹ · A — formulă de trei secunde.
• Matrice cu parametru și structuri: mulțimi de forma M(x) = I₂ + xB cu M(x)M(y) = M(x + y + xy) sau similare; verifici stabilitatea, cauți elementul neutru și inversul în familie — capitolul de structuri algebrice se întâlnește aici cu matricele.

Dincolo de examen, înmulțirea matricelor codifică transformări succesive: compunerea a două transformări liniare este produsul matricelor lor — de aici vine și ne-comutativitatea, pentru că ordinea transformărilor contează. Rotațiile din grafică pe calculator, sistemele de recurențe (șirul lui Fibonacci prin puterile unei matrice 2×2) și lanțurile de tranziții sunt toate puteri de matrice — exact tehnica exersată la subiecte.

Test — 6 întrebări ca la examen