Mulțimi și elemente de logică matematică

Recapitularea și aprofundarea operațiilor cu mulțimi și a raționamentului logic matematic.

Operații cu mulțimi

O mulțime este o colecție de obiecte distincte, numite elemente. La acest nivel lucrezi cu mulțimile numerice mari — ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ — și cu operațiile dintre mulțimi arbitrare.

Operațiile fundamentale, cu definițiile exacte:

• Reuniunea A ∪ B = mulțimea elementelor care aparțin lui A sau lui B (sau amândurora — „sau” este inclusiv în matematică).
• Intersecția A ∩ B = mulțimea elementelor care aparțin și lui A, și lui B.
• Diferența A \ B = elementele din A care nu sunt în B. Atenție: în general A \ B ≠ B \ A — diferența nu este comutativă.
• Complementara lui A față de o mulțime totală E: C_E(A) = E \ A.

Proprietăți cerute la examen: comutativitatea și asociativitatea reuniunii și intersecției, distributivitatea uneia față de cealaltă și legile lui De Morgan: complementara reuniunii este intersecția complementarelor, iar complementara intersecției este reuniunea complementarelor.

Pentru mulțimi finite, formula cardinalului reuniunii: card(A ∪ B) = card(A) + card(B) − card(A ∩ B). Dacă uiți să scazi intersecția, numeri elementele comune de două ori — greșeala clasică la problemele cu „câți elevi practică cel puțin un sport”.

Propoziții și cuantificatori logici

O propoziție logică este un enunț despre care se poate decide, fără ambiguitate, dacă este adevărat sau fals — niciodată ambele. „3 este număr prim” este o propoziție adevărată; „x + 1 = 5” nu este o propoziție, ci un predicat: valoarea de adevăr depinde de x.

Un predicat devine propoziție în două moduri: fie înlocuiești variabila cu o valoare concretă, fie o legi cu un cuantificator:

• Cuantificatorul universal ∀ („oricare ar fi”): propoziția (∀x)p(x) este adevărată doar dacă p(x) este adevărat pentru toate valorile lui x din domeniu.
• Cuantificatorul existențial ∃ („există”): propoziția (∃x)p(x) este adevărată dacă p(x) este adevărat pentru cel puțin o valoare a lui x.

Regula de aur a negării: negația schimbă cuantificatorul și neagă predicatul. Negația lui (∀x)p(x) este (∃x)⌐p(x), iar negația lui (∃x)p(x) este (∀x)⌐p(x).

Confuzia clasică: mulți neagă „toți elevii au promovat” prin „niciun elev nu a promovat”. Greșit — negația corectă este „există cel puțin un elev care nu a promovat”. Pentru a demonstra că o afirmație universală e falsă, ajunge un singur contraexemplu; pentru a demonstra că e adevărată, contraexemplele lipsă nu ajung — trebuie argument general.

Implicația și echivalența logică

Din propozițiile p și q construiești propoziții compuse cu conectori logici: negația ⌐p, conjuncția p ∧ q (adevărată doar când ambele sunt adevărate), disjuncția p ∨ q (falsă doar când ambele sunt false), implicația și echivalența.

Implicația p → q („dacă p, atunci q”) este falsă într-un singur caz: p adevărat și q fals. În particular, dacă p este fals, implicația este automat adevărată — oricât de ciudat sună. p se numește ipoteză (condiție suficientă), q se numește concluzie (condiție necesară).

Din p → q derivă trei implicații înrudite, iar diferența dintre ele e capcană sigură:

• Reciproca: q → p. Nu rezultă din implicația directă! Din „dacă un număr e divizibil cu 4, atunci e divizibil cu 2” nu rezultă reciproca.
• Contrara: ⌐p → ⌐q.
• Contrapusa: ⌐q → ⌐p. Aceasta este echivalentă logic cu implicația directă — pe asta se sprijină demonstrația prin reducere la absurd.

Echivalența p ↔ q este adevărată când p și q au aceeași valoare de adevăr; se citește „p dacă și numai dacă q” și înseamnă că ambele implicații, directă și reciprocă, sunt adevărate.

O formulă compusă adevărată pentru orice valori de adevăr ale componentelor se numește tautologie — se verifică prin tabelul de adevăr.

Metode de demonstrație

La bacalaureat nu ți se cere doar rezultatul, ci justificarea. Metodele standard:

• Demonstrația directă: pleci de la ipoteză și, prin pași logici valizi, ajungi la concluzie. Este drumul natural pentru identități și inegalități simple.
• Demonstrația prin contrapusă: în loc de p → q demonstrezi ⌐q → ⌐p, care e echivalentă. Utilă când negația concluziei e mai ușor de manevrat: „dacă n² e par, atunci n e par” se demonstrează comod arătând că n impar implică n² impar.
• Reducerea la absurd: presupui că concluzia e falsă, păstrezi ipoteza și deduci o contradicție. Exemplul-model este demonstrația că √2 este irațional: presupui √2 = p/q fracție ireductibilă și ajungi la concluzia contradictorie că p și q sunt amândouă pare.
• Contraexemplul: pentru a infirma o afirmație universală, exhibi o singură valoare care o încalcă. Un contraexemplu nu demonstrează niciodată o afirmație — doar o dărâmă.
• Inducția matematică: pentru afirmații P(n) despre toate numerele naturale n ≥ n₀. Are obligatoriu doi pași: verificarea lui P(n₀) (etapa de verificare) și demonstrația implicației P(k) → P(k+1) (etapa de demonstrație). Fără pasul de verificare, „demonstrația” nu valorează nimic: implicația poate fi corectă și totuși afirmația falsă pentru toate valorile.

La punctaj se pierde cel mai des din sărirea pasului inițial la inducție și din confundarea reciprocei cu contrapusa.

Aplicații: divizibilitate și probleme de numărare

Operațiile cu mulțimi și logica se combină în două tipuri de probleme frecvente.

Probleme cu cardinale. Dacă într-o clasă 18 elevi studiază engleza, 14 germana și 7 ambele limbi, câți studiază cel puțin una? Aplici formula card(A ∪ B) = 18 + 14 − 7 = 25. Pentru trei mulțimi, formula se extinde: aduni cardinalele, scazi intersecțiile două câte două, aduni intersecția tuturor trei — principiul includerii și excluderii. Desenul cu diagrame Venn te salvează de aproape orice încurcătură: completezi regiunile din interior spre exterior, începând cu intersecția tuturor.

Probleme de divizibilitate cu inducție sau cu resturi. Afirmații de tipul „5 divide 7ⁿ − 2ⁿ pentru orice n natural” se demonstrează prin inducție: pasul cheie este scrierea lui 7^(k+1) − 2^(k+1) = 7 · (7^k − 2^k) + 2^k · (7 − 2), unde ambii termeni se divid cu 5.

Sfat de redactare: când folosești cuantificatori, scrie-i explicit. „x² ≥ 0” fără context nu spune nimic; „(∀x ∈ ℝ) x² ≥ 0” este o propoziție adevărată completă. Corectorii punctează claritatea cuantificării, mai ales la subiectele unde trebuie arătat că o proprietate are loc pentru orice element, nu doar pentru cele testate de tine.

Test — 6 întrebări ca la examen