Studiul permutărilor, aranjamentelor și combinărilor cu aplicații în calcul probabilistic.
Fundamentul întregii combinatorici este regula produsului: dacă o acțiune se face în m moduri și, pentru fiecare, o a doua acțiune se face în n moduri, atunci succesiunea celor două se face în m·n moduri. Un meniu cu 3 feluri principale și 4 deserturi oferă 3·4 = 12 combinații de prânz.
Factorialul: n! = 1·2·3·...·n, cu convenția crucială 0! = 1 (nu 0!). Primele valori de știut pe de rost: 1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24, 5! = 120, 6! = 720.
Calculul cu factoriale se face prin simplificare, nu prin calcul brut: 10!/8! = 10·9 = 90, pentru că 10! = 10·9·8!. La ecuațiile cu factoriale (de exemplu n!/(n−2)! = 30, adică n(n−1) = 30, deci n = 6) nu uita condiția de existență n natural și pragurile din definiții.
Permutările: P_n = n! este numărul modurilor de a ordona n obiecte distincte — toate obiectele, fiecare exact o dată, doar ordinea contează. 5 cărți diferite se pot așeza pe raft în 5! = 120 de moduri.
De ce n!: primul loc se ocupă în n moduri, al doilea în n − 1 (un obiect s-a consumat), și așa mai departe — regula produsului dă n(n−1)·...·2·1.
Variantă frecventă de subiect: permutări cu restricții. Câte numere de 4 cifre distincte se formează cu cifrele 0, 1, 2, 3? Prima cifră nu poate fi 0 (3 opțiuni), restul se permută liber (3! = 6): total 3·6 = 18. Restricția se tratează întâi, apoi se aplică regula produsului — cine permută întâi liber și „scade după” greșește de obicei numărătoarea.
Aranjamentele A(n, k) = n!/(n − k)! numără modurile de a alege k obiecte din n, cu ordine: selecție + ordonare simultan. Podiumul (locurile 1-2-3) dintr-o cursă cu 10 alergători: A(10, 3) = 10·9·8 = 720 — medalia de aur la Ana și argintul la Bogdan este ALT rezultat decât invers.
Combinările C(n, k) = n!/(k!·(n − k)!) numără submulțimile cu k elemente ale unei mulțimi cu n elemente — alegere fără ordine. Delegația de 3 elevi din 10: C(10, 3) = 120 — echipa {Ana, Bogdan, Cristi} este aceeași echipă indiferent de ordinea strigării.
Legătura dintre ele explică împărțirea la k!: A(n, k) = C(n, k)·k! — fiecare submulțime de k elemente produce k! aranjamente prin ordonările ei interne. De aceea combinări = aranjamente/k!.
Testul practic al ordinii — întrebarea de pus la fiecare problemă: „dacă schimb între ele două obiecte alese, obțin un rezultat NOU?” Da — aranjamente (sau permutări); nu — combinări. Cuvintele-semnal: „cod”, „număr”, „clasament”, „funcție de președinte și secretar” — ordinea contează; „grup”, „echipă”, „delegație”, „submulțime”, „mână de cărți” — nu contează.
Proprietăți ale combinărilor pentru calcul rapid:
Condiția de existență 0 ≤ k ≤ n se verifică la orice ecuație cu combinări — soluțiile care o încalcă se elimină.
Triunghiul lui Pascal aranjează coeficienții C(n, k) pe linii: linia n conține C(n, 0), C(n, 1), ..., C(n, n). Fiecare element este suma celor doi vecini de deasupra — exact formula lui Pascal. Liniile de început: 1; 1 1; 1 2 1; 1 3 3 1; 1 4 6 4 1; 1 5 10 10 5 1. Triunghiul e simetric (complementaritatea), iar suma elementelor liniei n este 2ⁿ — identitatea C(n,0) + C(n,1) + ... + C(n,n) = 2ⁿ, care numără toate submulțimile unei mulțimi cu n elemente.
Binomul lui Newton:
(a + b)ⁿ = C(n,0)aⁿ + C(n,1)aⁿ⁻¹b + C(n,2)aⁿ⁻²b² + ... + C(n,n)bⁿ
Dezvoltarea are n + 1 termeni (nu n — greșeală măruntă, penalizare sigură), exponenții lui a scad de la n la 0, ai lui b cresc de la 0 la n, iar pe fiecare termen suma exponenților este n.
Termenul general — formula de lucru a capitolului:
T(k+1) = C(n, k)·aⁿ⁻ᵏ·bᵏ, pentru k = 0, 1, ..., n.
Decalajul de indice este capcana structurală: termenul al 5-lea corespunde lui k = 4, nu k = 5 — T₅ = T(4+1). Orice cerință „al câtelea termen” se traduce întâi în k = rangul − 1.
Pentru (a − b)ⁿ semnele alternează: se scrie b cu minus și minusul intră la puterea bᵏ, deci termenii cu k impar sunt negativi.
Aplicație-tip BAC: „găsiți termenul care nu conține x din dezvoltarea (x² + 1/x)⁹”. Scrii termenul general: T(k+1) = C(9, k)·(x²)⁹⁻ᵏ·(1/x)ᵏ = C(9, k)·x¹⁸⁻²ᵏ⁻ᵏ = C(9, k)·x¹⁸⁻³ᵏ; impui exponentul zero: 18 − 3k = 0, deci k = 6; termenul căutat este T₇ = C(9, 6) = 84. Tot mecanismul: termen general → ecuație pe exponent → k → termenul.
Identitățile care se obțin din binom prin alegeri particulare ale lui a și b — cerute direct la examen:
„Suma coeficienților” unei dezvoltări de tip (3x − 1)ⁿ se obține înlocuind x = 1 — truc distinct de suma coeficienților binomiali, care ar fi 2ⁿ; confuzia dintre cele două sume este penalizată frecvent.
Numărările structurate combină regulile de bază:
Regula generală de igienă: la „SAU” (cazuri care se exclud) probabilitățile/numărările se adună; la „ȘI” (etape succesive independente) se înmulțesc. Formularea enunțului dictează operația — nu invers.
Combinatorica dă exact instrumentele de numărare pentru probabilitatea clasică: P = cazuri favorabile/cazuri posibile, unde ambele numere ies din permutări, aranjamente sau combinări.
Principiul de coerență care salvează de la eroare: numărătorul și numitorul trebuie numărate cu același instrument — dacă la cazurile posibile folosești combinări (extrageri fără ordine), și cazurile favorabile se numără cu combinări; amestecul aranjamente/combinări între numărător și numitor falsifică raportul.
Exemplu-etalon: dintr-o urnă cu 5 bile albe și 3 negre se extrag simultan 2 bile. Probabilitatea ca ambele să fie albe: cazuri posibile C(8, 2) = 28, favorabile C(5, 2) = 10, deci P = 10/28 = 5/14. „Simultan” înseamnă fără ordine — combinări peste tot.
Probabilitatea de tip „cel puțin unul” trece prin complement: la 3 aruncări de monedă, P(cel puțin o stemă) = 1 − P(nicio stemă) = 1 − (1/2)³ = 7/8. Ori de câte ori enunțul spune „cel puțin”, prima opțiune de calcul este 1 minus contrariul.
Probleme cu numere: probabilitatea ca un număr de două cifre distincte format cu cifrele 1–5 să fie par. Cazuri posibile: A(5, 2) = 20 (ordinea contează — 12 și 21 sunt numere diferite!); favorabile: ultima cifră pară (2 sau 4 — 2 opțiuni), prima dintre cele 4 rămase: 2·4 = 8; P = 8/20 = 2/5. Aici combinările ar fi fost greșite: numerele sunt aranjamente.
Încheiere de verificare, valabilă la orice problemă a capitolului: rezultatul unei probabilități stă în [0, 1], iar numărările dau numere naturale — o „probabilitate” de 1,4 sau un „număr de moduri” de 17,5 înseamnă întotdeauna instrument de numărare greșit ales, de regulă ordinea luată în calcul de două ori sau deloc.