Limite de funcții

Studiul limitelor funcțiilor reale, al continuității și al cazurilor de nedeterminare.

Limita într-un punct și limitele laterale

Intuitiv, lim f(x) pentru x → x₀ este valoarea de care se apropie f(x) când x se apropie oricum de x₀, fără a fi neapărat egal cu x₀. Formal, cu vecinătăți: f are limita L în x₀ dacă pentru orice vecinătate V a lui L există o vecinătate U a lui x₀ astfel încât f(U \ {x₀}) ⊆ V. Definiția echivalentă cu șiruri (Heine), cea mai folosită în practică: pentru ORICE șir xₙ → x₀ cu xₙ ≠ x₀, avem f(xₙ) → L.

Două subtilități care fac diferența la teorie:

• limita se cere doar în puncte de acumulare ale domeniului — puncte de care te poți apropia prin alte puncte ale domeniului;
• valoarea f(x₀) nu contează pentru limită — funcția poate nici să nu fie definită în x₀, iar limita să existe perfect: (x² − 1)/(x − 1) nu e definită în 1, dar limita acolo este 2.

Limitele laterale: limita la stânga lₛ(x₀) folosește doar x < x₀, limita la dreapta l_d(x₀) doar x > x₀. Criteriul central: limita există dacă și numai dacă ambele limite laterale există și sunt egale, iar valoarea comună este limita.

Exemplul obligatoriu: f(x) = 1/x în x₀ = 0 are limita la stânga −∞ și la dreapta +∞ — laterale diferite, deci 1/x nu are limită în 0. Scrierea „1/0 = ∞” fără semn este o eroare: semnul numitorului decide, iar notațiile corecte sunt 1/0₋ = −∞ și 1/0₊ = +∞. La funcțiile definite pe ramuri, calculul celor două laterale în punctul de „sudură” este pasul standard — și exact acolo se uită de obicei una dintre ele.

Operații cu limite și cazuri de nedeterminare

Dacă f și g au limite în x₀ (finite sau infinite), atunci suma, produsul și câtul au limitele corespunzătoare, ori de câte ori operația are sens în ℝ̄: ∞ + ∞ = ∞, a · (+∞) = +∞ pentru a > 0 (și −∞ pentru a < 0), a/±∞ = 0, a/0₊ = +∞ pentru a > 0.

Cazurile exceptate (nedeterminările): ∞ − ∞, 0 · ∞, ∞/∞, 0/0, 1^∞, ∞⁰, 0⁰. Ele nu au valoare fixă — cer prelucrarea expresiei până dispare conflictul.

Arsenalul de tehnici, pe cazuri:

• 0/0 cu polinoame: dacă x₀ anulează ambele polinoame, factorul (x − x₀) se simplifică — Bezout garantează factorizarea: lim (x² − 4)/(x − 2) pentru x → 2 devine lim (x + 2) = 4.
• 0/0 cu radicali: amplificare cu conjugata, apoi simplificare.
• ∞/∞: factor comun forțat puterea dominantă sau regula gradelor.
• ∞ − ∞: aducere la numitor comun sau conjugată.
• 0 · ∞: rescriere ca raport, transformând în 0/0 sau ∞/∞.

Limitele fundamentale (remarcabile), de citat ca atare:

• lim sin x / x = 1 pentru x → 0 — și generalizarea lim sin u(x)/u(x) = 1 când u(x) → 0;
• lim tg x / x = 1; lim (1 − cos x)/x² = 1/2;
• lim (1 + 1/x)ˣ = e pentru x → ±∞ și lim (1 + x)^(1/x) = e pentru x → 0 — șablonul nedeterminării 1^∞;
• lim ln(1 + x)/x = 1 și lim (aˣ − 1)/x = ln a pentru x → 0.

Disciplina de aplicare: în sin(3x)/x forțezi argumentul la numitor — sin(3x)/(3x) · 3 → 3. Coeficientul argumentului „iese” înmulțit, nu dispare; raportul sin(3x)/x → 3, nu 1 — eroarea de execuție cea mai răspândită la limitele trigonometrice.

Limite la infinit

Comportamentul funcțiilor când x → +∞ sau x → −∞ urmează o ierarhie strictă de viteze, care rezolvă din priviri majoritatea limitelor:

ln x ≪ xᵃ (a > 0) ≪ bˣ (b > 1) — logaritmul pierde în fața oricărei puteri, orice putere pierde în fața exponențialei. Deci lim ln x / x = 0, lim x¹⁰⁰/2ˣ = 0 pentru x → +∞.

Pentru polinoame, la infinit contează doar termenul dominant: lim (−2x³ + 5x² + 7) pentru x → +∞ este −∞, dat de −2x³. La x → −∞ intervine paritatea puterii: x² → +∞, dar x³ → −∞ — semnul rezultatului cere atenție dublă.

Pentru rapoarte de polinoame, regula gradelor: grade egale → raportul coeficienților dominanți; gradul numărătorului mai mic → 0; mai mare → ±∞, cu semnul stabilit din coeficienți și din direcția lui x.

Capcana specifică lui x → −∞ este radicalul: √(x²) = |x| = −x pentru x negativ. La lim (√(x² + x) + x) pentru x → −∞, scoaterea lui x din radical dă |x|√(1 + 1/x) = −x√(1 + 1/x) — semnul minus schimbă complet natura problemei (devine nedeterminare ∞ − ∞ „deghizată” care se rezolvă cu conjugata, limita fiind −1/2). Uitarea modulului este cea mai scumpă eroare din acest capitol.

Exponențialele la −∞: pentru b > 1, bˣ → 0 când x → −∞; pentru 0 < b < 1 comportamentul se inversează. De reținut și lim eˣ · P(x) = 0 pentru x → −∞, oricât de mare ar fi gradul polinomului — exponențiala care se stinge domină.

Asimptote

Asimptotele sunt dreptele de care graficul se apropie oricât de mult — iar determinarea lor este cerință directă și frecventă la subiectul III.

• Asimptota orizontală: y = L la +∞, dacă lim f(x) = L (finit) pentru x → +∞; analog la −∞. Se caută separat pe cele două direcții — funcția poate avea orizontale diferite (arctg are y = π/2 și y = −π/2) sau doar pe o parte.
• Asimptota verticală: x = a, dacă cel puțin o limită laterală în a este infinită. Candidații: punctele care anulează numitorii, capetele finite deschise ale domeniului, punctele unde logaritmul „explodează”. Verticala se verifică pe fiecare lateral — x = 0 este verticală pentru ln x doar dinspre dreapta, singura direcție din domeniu.
• Asimptota oblică: y = mx + n la +∞, unde m = lim f(x)/x și n = lim (f(x) − mx), ambele finite și m ≠ 0. Dacă m iese 0 sau ±∞, sau n iese infinit, oblica nu există pe acea direcție.

Regula de excludere care scutește calcule: orizontala și oblica se exclud reciproc pe aceeași direcție — dacă există orizontală la +∞, nu mai cauți oblică acolo. Ordinea de lucru eficientă: calculezi lim f(x) la +∞; dacă e finită → orizontală, gata; dacă e infinită → încerci oblica prin m și n.

Exemplu complet, f(x) = (x² + 1)/x: la ±∞ limita e infinită, deci fără orizontale; m = lim (x² + 1)/x² = 1, n = lim ((x² + 1)/x − x) = lim 1/x = 0, deci y = x este asimptotă oblică pe ambele direcții; în 0, lateralele sunt −∞ și +∞, deci x = 0 verticală.

Precizări care despart nota 9 de 10: asimptotele orizontale/oblice descriu comportamentul la infinit, deci nu are sens să le cauți dacă domeniul e mărginit; graficul POATE tăia asimptota orizontală sau oblică (de exemplu sin x / x taie y = 0 de infinite ori) — „graficul nu atinge asimptota” este un mit fals.

Continuitate

Funcția f este continuă în punctul x₀ din domeniu dacă lim f(x) pentru x → x₀ există și este egală cu f(x₀). Definiția cere trei lucruri simultan: funcția definită în punct, limita existentă (laterale egale), și egalitatea dintre limită și valoare. Grafic: în x₀ graficul „nu se rupe”.

Dacă f nu e continuă în x₀, punctul e de discontinuitate:

• de speța I (prima speță): ambele limite laterale există și sunt finite, dar fie diferă între ele, fie diferă de f(x₀) — un „salt” finit;
• de speța a II-a: cel puțin o limită laterală este infinită sau nu există.

Fondul de lucru: funcțiile elementare — polinomiale, raționale, radical, exponențiale, logaritmice, trigonometrice — sunt continue pe tot domeniul lor de definiție, iar sumele, produsele, câturile (unde numitorul nu se anulează) și compunerile de funcții continue rămân continue. Practic, problema continuității se pune doar în punctele de sudură ale funcțiilor definite pe ramuri: acolo calculezi cele două laterale și valoarea, și le compari. Cerința tip „determinați a pentru care f este continuă” se rezolvă egalând lateralele cu valoarea în punctul de lipire.

Teoremele mari ale continuității pe interval:

• Proprietatea lui Darboux / a valorilor intermediare: o funcție continuă pe un interval nu poate sări peste valori — dacă f(a) și f(b) au semne contrare, există c ∈ (a, b) cu f(c) = 0. Acesta este instrumentul standard pentru a demonstra că o ecuație are soluție într-un interval: calculezi f la capete și invoci continuitatea.
• Weierstrass: o funcție continuă pe un interval închis și mărginit [a, b] este mărginită și își atinge marginile.

Nuanțele de care se agață grilele: continuitatea se discută DOAR în puncte din domeniu — 1/x nu este „discontinuă în 0”, pentru că 0 nu aparține domeniului; iar pentru semne contrare la capete concluzia cere continuitatea pe TOT intervalul — 1/x are semne contrare în −1 și 1 și totuși nu se anulează, tocmai pentru că nu e continuă (nici definită) pe tot [−1, 1].

Test — 6 întrebări ca la examen