Derivabilitatea funcțiilor

Introducerea conceptului de derivată, a regulilor de derivare și a aplicațiilor geometrice și analitice.

Ce este derivata: definiție și interpretare geometrică

Derivata măsoară viteza de variație a unei funcții: cât de repede se schimbă f(x) atunci când x se mișcă puțin. Formal, funcția f are derivată în punctul x₀ dacă există limita:

• f'(x₀) = lim, pentru x → x₀, din raportul [f(x) − f(x₀)] / (x − x₀)

Raportul [f(x) − f(x₀)] / (x − x₀) se numește raport de creștere și este panta secantei care unește punctele (x₀, f(x₀)) și (x, f(x)) de pe grafic. Când x se apropie de x₀, secanta se rotește spre o poziție limită: tangenta la grafic. De aici vine interpretarea geometrică cerută explicit la BAC: f'(x₀) este panta tangentei la graficul lui f în punctul de abscisă x₀.

Dacă limita există și este finită, spunem că f este derivabilă în x₀. Dacă limita există, dar este +∞ sau −∞, funcția are derivată în x₀, însă nu este derivabilă acolo. Este o nuanță pe care mulți elevi o pierd: „are derivată” și „este derivabilă” nu înseamnă același lucru — derivabilitatea cere limită finită.

Interpretarea fizică ajută intuiția: dacă f(t) este poziția unui mobil la momentul t, atunci f'(t) este viteza instantanee — ce arată vitezometrul în acel moment, nu viteza medie a întregii călătorii.

Derivabilitate și continuitate; puncte unghiulare și de întoarcere

O teoremă de bază, întrebare frecventă la BAC: orice funcție derivabilă într-un punct este continuă în acel punct. Reciproca este falsă, iar contraexemplul standard este f(x) = |x| în x₀ = 0: funcția este continuă peste tot, dar graficul are un „colț” în origine, deci nu există o tangentă unică acolo.

În punctele suspecte studiem derivatele laterale: derivata la stânga f'(x₀−) și derivata la dreapta f'(x₀+). Funcția este derivabilă în x₀ exact atunci când ambele există, sunt finite și egale.

După valorile derivatelor laterale, clasificăm punctele în care f este continuă dar nederivabilă:

• punct unghiular: derivatele laterale există, sunt diferite și cel puțin una este finită; graficul face un unghi (|x| în 0: derivatele laterale sunt −1 și 1);
• punct de întoarcere: ambele derivate laterale sunt infinite și de semne contrare; graficul urcă și coboară pe aceeași verticală, ca un vârf ascuțit (f(x) = √|x| în 0);
• tangentă verticală: derivatele laterale sunt infinite și de același semn — funcția are derivată (infinită), graficul traversează lin o tangentă verticală (f(x) = ∛x în 0).

Confuzia clasică este între punctul unghiular și punctul de întoarcere: la unghiular măcar o derivată laterală e finită, la întoarcere ambele sunt infinite.

Derivatele funcțiilor elementare

Tabelul derivatelor este alfabetul capitolului — fără el nu se poate rezolva niciun exercițiu. Formulele care se cer la examen:

• c' = 0 (derivata unei constante este zero, nu constanta însăși);
• x' = 1 și, general, (xⁿ)' = n·xⁿ⁻¹ — exponentul coboară în față și scade cu 1;
• (√x)' = 1/(2√x), pentru x > 0 — caz particular al puterii cu exponent 1/2;
• (1/x)' = −1/x² — atenție la semnul minus;
• (eˣ)' = eˣ — singura funcție egală cu propria derivată;
• (aˣ)' = aˣ · ln a, pentru a > 0, a ≠ 1 — mulți uită factorul ln a;
• (ln x)' = 1/x, pentru x > 0;
• (sin x)' = cos x și (cos x)' = −sin x — minusul apare la derivata cosinusului, nu a sinusului;
• (tg x)' = 1/cos²x și (ctg x)' = −1/sin²x.

Două confuzii care costă puncte: prima, aˣ nu se derivează ca xⁿ — la aˣ variabila e la exponent, deci derivata e aˣ·ln a, nu x·aˣ⁻¹; a doua, semnele la funcțiile trigonometrice — o metodă de memorare: derivata lui cos „pierde” din valoare la început de cadran, de aceea primește minus.

Fiecare formulă e valabilă pe domeniul natural al funcției: ln x doar pentru x > 0, √x derivabilă doar pentru x > 0 (în 0 are tangentă verticală).

Regulile de derivare: sumă, produs, cât, funcție compusă

Regulile de calcul transformă tabelul de derivate într-un instrument universal:

• (f + g)' = f' + g' — derivata sumei este suma derivatelor;
• (c·f)' = c·f' — constantele multiplicative „ies în față”;
• (f·g)' = f'·g + f·g' — regula produsului; derivata produsului NU este produsul derivatelor, aceasta fiind cea mai frecventă greșeală din tot capitolul;
• (f/g)' = (f'·g − f·g') / g² — regula câtului; la numărător ordinea contează: întâi derivata numărătorului înmulțită cu numitorul, apoi minus;
• (f(u(x)))' = f'(u(x)) · u'(x) — derivarea funcției compuse (regula lanțului): derivăm funcția exterioară în punctul u(x), apoi înmulțim cu derivata funcției interioare.

Exemple lucrate:

• (x² · ln x)' = 2x · ln x + x² · (1/x) = 2x·ln x + x — produs, nu se derivează fiecare factor separat;
• (sin 2x)' = cos 2x · 2 = 2·cos 2x — funcție compusă; cine scrie doar cos 2x a uitat derivata interiorului;
• (eˣ / x)' = (eˣ·x − eˣ·1) / x² = eˣ(x − 1)/x².

La funcții compuse în mai multe straturi, regula se aplică din exterior spre interior, strat cu strat: pentru ln(sin(x²)) derivăm ln, apoi sin, apoi x², și înmulțim toate rezultatele.

Derivata funcției inverse și ecuația tangentei

Derivata funcției inverse. Dacă f este bijectivă și derivabilă în x₀, cu f'(x₀) ≠ 0, atunci inversa f⁻¹ este derivabilă în punctul y₀ = f(x₀) și:

• (f⁻¹)'(y₀) = 1 / f'(x₀)

Pasul care încurcă elevii: derivata inversei se calculează în y₀ = f(x₀), nu în x₀. Algoritmul practic: dat y₀, rezolvăm ecuația f(x₀) = y₀ ca să găsim x₀, calculăm f'(x₀), apoi inversăm. Exemplu: f(x) = x³ + x este strict crescătoare (deci bijectivă pe imagine); pentru y₀ = 2 avem f(1) = 2, deci x₀ = 1, f'(x) = 3x² + 1, f'(1) = 4, deci (f⁻¹)'(2) = 1/4.

Ecuația tangentei la graficul lui f în punctul de abscisă x₀ — subiect aproape garantat la BAC:

• y − f(x₀) = f'(x₀) · (x − x₀)

Rețeta în trei pași: calculăm valoarea f(x₀), calculăm derivata f'(x) și apoi panta f'(x₀), înlocuim totul în formulă. Exemplu: pentru f(x) = x², în x₀ = 1: f(1) = 1, f'(x) = 2x, f'(1) = 2, deci tangenta este y − 1 = 2(x − 1), adică y = 2x − 1.

Greșeala tipică: se pune f(x₀) pe post de pantă sau se scrie y = f'(x₀)·x fără termenul liber. Panta este întotdeauna f'(x₀), iar dreapta trebuie să treacă prin punctul (x₀, f(x₀)) — o verificare rapidă la final previne pierderea punctelor.

Derivata de ordinul al doilea

Dacă derivata f' este la rândul ei derivabilă, derivata ei se numește derivata de ordinul al doilea și se notează f''. Cu alte cuvinte, f'' = (f')' — derivăm rezultatul primei derivări, nu funcția inițială încă o dată în alt mod.

Exemple:

• f(x) = x³ → f'(x) = 3x² → f''(x) = 6x;
• f(x) = sin x → f'(x) = cos x → f''(x) = −sin x — după două derivări, sinusul revine cu semn schimbat;
• f(x) = eˣ → f''(x) = eˣ — exponențiala rămâne neschimbată la orice ordin de derivare;
• f(x) = ln x → f'(x) = 1/x → f''(x) = −1/x².

O funcție care admite derivată a doua continuă se numește de clasă C². Procedeul se poate continua: derivata de ordinul n, notată f⁽ⁿ⁾, se obține derivând de n ori.

Interpretări utile: dacă f(t) e poziția unui mobil, f'(t) e viteza, iar f''(t) este accelerația — cât de repede se schimbă viteza însăși. Geometric, semnul lui f'' descrie cum se „îndoaie” graficul (convexitate și concavitate), aplicație dezvoltată pe larg în capitolul următor, la reprezentarea grafică a funcțiilor.

Capcană de calcul: la funcții compuse, f'' cere aplicarea regulilor de derivare asupra unui produs deja obținut la f'. De exemplu, pentru f(x) = x·eˣ avem f'(x) = eˣ(x + 1), iar f''(x) = eˣ(x + 1) + eˣ = eˣ(x + 2) — a doua derivare folosește din nou regula produsului.

Test — 6 întrebări ca la examen