Funcții - Proprietăți generale

Aprofundarea proprietăților funcțiilor reale: monotonie, mărginire, paritate, periodicitate.

Monotonia funcțiilor

Funcția f este crescătoare pe un interval I dacă pentru orice x₁ < x₂ din I avem f(x₁) ≤ f(x₂), și strict crescătoare cu inegalitate strictă; analog pentru descrescătoare. O funcție crescătoare sau descrescătoare pe I se numește monotonă pe I.

Instrumentul algebric al definiției este raportul de variație: R = (f(x₂) − f(x₁))/(x₂ − x₁) pentru x₁ ≠ x₂. Dacă R > 0 pentru orice pereche, funcția e strict crescătoare; R < 0, strict descrescătoare. Avantajul raportului: semnul lui nu depinde de ordinea alegerii punctelor.

Monotoniile funcțiilor elementare, de recitat fără ezitare: funcția de gradul 1 crește pentru panta a > 0 și scade pentru a < 0; x² scade pe (−∞, 0] și crește pe [0, +∞); 1/x scade pe fiecare dintre intervalele (−∞, 0) și (0, +∞) — dar NU pe reuniunea lor; exponențiala aˣ și logaritmul log_a x cresc pentru a > 1 și scad pentru 0 < a < 1.

Capcana cu 1/x merită subliniată: −1 < 1, dar f(−1) = −1 < 1 = f(1), deci pe reuniunea domeniului funcția nu e descrescătoare — monotonia este o proprietate pe interval, iar lipirea intervalelor o poate distruge.

De ce contează monotonia dincolo de teorie: o funcție strict monotonă este injectivă (valori diferite în puncte diferite), deci ecuația f(x) = m are cel mult o soluție — argumentul care încheie elegant multe probleme de unicitate. Reciproca e falsă: există funcții injective care nu sunt monotone.

Funcții mărginite

Funcția f este mărginită pe mulțimea D dacă există numerele m și M astfel încât m ≤ f(x) ≤ M pentru orice x ∈ D — echivalent, dacă există K > 0 cu |f(x)| ≤ K. Graficul unei funcții mărginite încape într-o bandă orizontală.

Exemple de referință:

• sin și cos sunt mărginite pe ℝ: −1 ≤ sin x ≤ 1 și −1 ≤ cos x ≤ 1 — inegalitățile cel mai des invocate din toată trigonometria;
• x² este mărginită inferior (de 0) dar nu superior;
• 1/x pe (0, 1) este nemărginită superior, deși intervalul e mărginit — mărginirea domeniului nu garantează nimic despre valori;
• f(x) = x/(x² + 1) este mărginită pe ℝ: din inegalitatea mediilor, |x| ≤ (x² + 1)/2, deci |f(x)| ≤ 1/2 — cu egalitate în x = ±1.

Vocabularul complet: marginea superioară M se atinge dacă există x₀ cu f(x₀) = M; atunci M este maximul funcției, iar x₀ punct de maxim. O funcție poate fi mărginită fără să-și atingă marginile — x/(x² + 1) pe (0, +∞) are marginea 1/2 atinsă, dar marginea inferioară 0 neatinsă.

Tehnicile de demonstrare a mărginirii care apar la subiecte: majorări directe cu inegalități clasice (media aritmetică-geometrică, |sin x| ≤ 1), completarea pătratului la expresii de gradul 2, și — metoda „grea” dar mecanică — studiul imaginii: y aparține imaginii lui f dacă ecuația f(x) = y are soluții; pentru f rațională de gradul 2 condiția devine un discriminant nenegativ, iar intervalul rezultat pentru y este exact mulțimea valorilor.

Paritate și imparitate

Definițiile cer o condiție prealabilă adesea uitată: domeniul D trebuie să fie simetric față de origine (x ∈ D implică −x ∈ D). Apoi:

• f este pară dacă f(−x) = f(x) pentru orice x ∈ D; graficul este simetric față de axa Oy;
• f este impară dacă f(−x) = −f(x); graficul este simetric față de origine, iar dacă 0 ∈ D, obligatoriu f(0) = 0.

Exemplele standard: x², x⁴, |x|, cos x sunt pare; x, x³, 1/x, sin x, tg x sunt impare. Numele vine de la puteri: puterile pare dau funcții pare, puterile impare dau funcții impare.

Erorile de logică din jurul parității, toate exploatate la itemii de teorie:

• „Nu e pară, deci e impară” — FALS: f(x) = x + 1 nu este nici pară, nici impară; cele două proprietăți nu sunt complementare, iar majoritatea funcțiilor nu au niciuna.
• O funcție poate fi simultan pară și impară — doar funcția nulă (pe un domeniu simetric).
• f(x) = x² pe [0, +∞) NU este pară: domeniul nu e simetric, deci întrebarea nici nu se pune.

Reguli de calcul cu parități, utile la studiu de funcții: par × par = par, impar × impar = par, par × impar = impar — semnul se comportă ca la înmulțirea semnelor doar în aparență: produsul a două funcții impare este PAR, pentru că cele două minusuri se anulează.

Folosul practic la examen: pentru funcții pare sau impare studiezi comportamentul doar pe [0, +∞) și reflectezi; integralele (în clasa a XII-a) și limitele beneficiază la fel. Verificarea parității este primul pas ieftin din orice studiu de funcție.

Periodicitate

Funcția f este periodică dacă există T ≠ 0 astfel încât f(x + T) = f(x) pentru orice x din domeniu (cu x + T tot în domeniu). Orice astfel de T este o perioadă; cea mai mică perioadă strict pozitivă, dacă există, se numește perioada principală T₀.

Perioadele principale ale funcțiilor trigonometrice — cunoștință obligatorie:

• sin și cos: T₀ = 2π;
• tg și ctg: T₀ = π — nu 2π! Tangenta își repetă valorile deja după π, pentru că sin și cos își schimbă amândouă semnul, iar raportul rămâne neschimbat.

Regula de transformare, cerută constant: f(x) = sin(ax + b) cu a ≠ 0 are perioada principală T₀ = 2π/|a|. Coeficientul a „comprimă” axa: sin(2x) oscilează de două ori mai repede, deci perioada se înjumătățește: T₀ = π. Termenul b (defazajul) NU influențează perioada — doar mută graficul pe orizontală.

Pentru sume de funcții periodice, perioada sumei este de regulă cel mai mic multiplu comun al perioadelor: sin(2x) + cos(3x) are perioada 2π (multiplul comun al lui π și 2π/3).

Consecințe structurale, bune de citat la itemii teoretici:

• dacă T este perioadă, orice multiplu nenul kT este perioadă — de aceea „perioada” fără atributul „principală” nu e unică;
• o funcție periodică neconstantă nu este monotonă pe ℝ și nu este injectivă — valorile se repetă prin definiție;
• ecuațiile cu funcții periodice au familii infinite de soluții, scrise cu k ∈ ℤ: sin x = 1/2 dă x = π/6 + 2kπ sau x = 5π/6 + 2kπ.

Capcana clasică de calcul: perioada lui sin²x este π, nu 2π — pentru că sin²x = (1 − cos 2x)/2 moștenește perioada lui cos 2x. Ridicarea la pătrat poate înjumătăți perioada.

Compunerea funcțiilor

Compunerea g ∘ f se definește prin (g ∘ f)(x) = g(f(x)) și cere compatibilitate: imaginea lui f trebuie inclusă în domeniul lui g. Ordinea citirii este dinspre dreapta spre stânga: întâi acționează f, apoi g — exact invers decât ordinea scrierii, iar aceasta este prima sursă de erori.

Proprietăți:

• compunerea este asociativă: (h ∘ g) ∘ f = h ∘ (g ∘ f) — parantezele nu contează;
• compunerea NU este comutativă: în general g ∘ f ≠ f ∘ g. Exemplul minimal: f(x) = x + 1, g(x) = x²; atunci (g ∘ f)(x) = (x + 1)², dar (f ∘ g)(x) = x² + 1 — funcții diferite, cu grafice diferite;
• elementul neutru este funcția identică 1_D(x) = x: f ∘ 1 = 1 ∘ f = f.

Compunerea moștenește proprietăți, iar regulile de moștenire sunt itemi de teorie frecvenți:

• compunerea a două funcții strict crescătoare este strict crescătoare; a două strict descrescătoare este strict crescătoare (dublul „descrescător” se anulează, ca semnele); crescătoare cu descrescătoare dă descrescătoare — tabla semnelor la înmulțire;
• compunerea a două funcții injective este injectivă; a două surjective, surjectivă; a două bijective, bijectivă, cu (g ∘ f)⁻¹ = f⁻¹ ∘ g⁻¹ — ordinea se inversează, ca la inversarea produsului de matrice.

La subiecte apare des cerința de a rezolva ecuații funcționale simple de tip (f ∘ f)(x) = x sau de a calcula f ∘ f ∘ … ∘ f de n ori: calculezi primele compuneri, recunoști tiparul și demonstrezi prin inducție — aceeași strategie ca la puterile de matrice. Pentru funcții de gradul 1, f(x) = ax + b, compunerea repetată produce aⁿx + b(aⁿ⁻¹ + … + a + 1) — progresie geometrică în coeficientul liber.

Injectivitate, surjectivitate, bijectivitate și inversa

Cele trei proprietăți fundamentale ale unei funcții f : A → B:

• Injectivă: elemente diferite au imagini diferite — echivalent, f(x₁) = f(x₂) implică x₁ = x₂. Grafic, orice orizontală taie graficul cel mult o dată. Metode de demonstrare: implicația algebrică directă sau monotonia strictă (care implică automat injectivitatea).
• Surjectivă: orice y ∈ B are cel puțin un corespondent x ∈ A cu f(x) = y — echivalent, Im f = B. Orizontalele prin punctele codomeniului taie graficul cel puțin o dată. Atenție: surjectivitatea depinde de codomeniul declarat — x² : ℝ → ℝ nu e surjectivă, dar x² : ℝ → [0, +∞) este; aceeași formulă, răspunsuri diferite.
• Bijectivă: injectivă și surjectivă simultan — orice orizontală prin codomeniu taie graficul exact o dată.

O funcție este inversabilă dacă și numai dacă este bijectivă. Inversa f⁻¹ : B → A întoarce corespondența: f⁻¹(y) = x exact când f(x) = y, iar compunerile dau identitățile: f⁻¹ ∘ f = 1_A și f ∘ f⁻¹ = 1_B.

Calculul practic al inversei: rezolvi ecuația y = f(x) în necunoscuta x, apoi schimbi rolurile literelor. Pentru f(x) = 2x − 3: y = 2x − 3 dă x = (y + 3)/2, deci f⁻¹(x) = (x + 3)/2.

Proprietăți grafice și de structură: graficele lui f și f⁻¹ sunt simetrice față de prima bisectoare y = x; inversa unei funcții strict crescătoare este strict crescătoare; perechile clasice de inverse — exponențiala și logaritmul în aceeași bază, x² pe [0, +∞) cu √x, x³ cu ³√x.

Capcana de notație care rupe puncte: f⁻¹(x) NU înseamnă 1/f(x). Prima este funcția inversă (față de compunere), a doua este inversul algebric al valorii. Pentru f(x) = 2x − 3: f⁻¹(5) = 4, dar 1/f(5) = 1/7 — numere complet diferite.

Test — 6 întrebări ca la examen