Utilizarea derivatelor pentru studiul variației funcțiilor, optimizare și reprezentare grafică.
Legătura dintre derivată și monotonie este cea mai folosită aplicație a derivatelor la BAC. Pe un interval I pe care f este derivabilă:
Intuiția: derivata este panta tangentei; pante pozitive înseamnă grafic care urcă, pante negative — grafic care coboară.
Algoritmul practic: calculăm f'(x), rezolvăm ecuația f'(x) = 0, stabilim semnul lui f' pe fiecare interval dintre rădăcini și trecem totul într-un tabel de variație — linia lui x, linia lui f'(x) cu semnele, linia lui f cu săgeți de urcare și coborâre.
Exemplu: f(x) = x³ − 3x are f'(x) = 3x² − 3 = 3(x − 1)(x + 1). Derivata se anulează în −1 și 1, este pozitivă în afara rădăcinilor și negativă între ele, deci f crește pe (−∞, −1], scade pe [−1, 1] și crește din nou pe [1, +∞).
Atenție la o subtilitate: concluzia de monotonie se trage pe intervale, nu pe reuniuni de intervale. Funcția f(x) = 1/x are f'(x) = −1/x² < 0 peste tot unde e definită, dar NU este descrescătoare pe tot domeniul: f(−1) = −1 < 1 = f(1). Ea este descrescătoare pe (−∞, 0) și, separat, pe (0, +∞).
Un punct x₀ este punct de maxim local dacă f(x) ≤ f(x₀) pentru toți x dintr-o vecinătate a lui x₀; analog pentru minim local. Distincție de vocabular care se punctează la examen: x₀ este punctul de extrem (o valoare de pe axa Ox), iar f(x₀) este valoarea extremă a funcției — nu se confundă între ele.
Teorema lui Fermat (condiția necesară): dacă x₀ este punct de extrem local din interiorul intervalului și f este derivabilă în x₀, atunci f'(x₀) = 0. Punctele în care derivata se anulează se numesc puncte critice (sau staționare).
Capcana majoră: reciproca teoremei lui Fermat este falsă. Din f'(x₀) = 0 NU rezultă că x₀ e punct de extrem. Contraexemplul obligatoriu: f(x) = x³ are f'(0) = 0, dar în 0 funcția nu are nici maxim, nici minim — este strict crescătoare pe tot ℝ.
Condiția suficientă vine din schimbarea semnului derivatei: dacă f' trece de la plus la minus în x₀, acolo este un maxim local (funcția urcă, apoi coboară); dacă trece de la minus la plus, este un minim local. Dacă semnul nu se schimbă, nu este extrem — exact cazul lui x³.
De reținut și situațiile de la margine: teorema lui Fermat vorbește doar de puncte interioare; capetele unui interval închis pot fi puncte de extrem fără ca derivata să se anuleze acolo, iar extremele pot apărea și în puncte unde f nu e derivabilă (|x| are minim în 0).
Două teoreme fundamentale stau în spatele întregului capitol.
Teorema lui Rolle: dacă f este continuă pe [a, b], derivabilă pe (a, b) și f(a) = f(b), atunci există cel puțin un punct c în (a, b) cu f'(c) = 0. Geometric: între două puncte de aceeași înălțime ale graficului există undeva o tangentă orizontală. Toate cele trei ipoteze sunt esențiale — dacă pică una, concluzia poate eșua.
Teorema lui Lagrange (a creșterilor finite): dacă f este continuă pe [a, b] și derivabilă pe (a, b), atunci există c în (a, b) astfel încât:
Geometric: există un punct în care tangenta este paralelă cu coarda care unește capetele graficului. Rolle este cazul particular f(a) = f(b).
Consecințele teoremei lui Lagrange sunt chiar regulile de monotonie din prima secțiune și criteriul cu care se arată că o funcție cu derivata nulă pe un interval este constantă.
Aplicație de examen — șirul lui Rolle: pentru a număra rădăcinile reale ale ecuației f(x) = 0, calculăm valorile lui f în punctele critice și la capetele domeniului; între două valori consecutive de semne contrare există exact o rădăcină, iar un zero în șir indică o rădăcină multiplă chiar în punctul critic. Greșeala aici: uitarea limitelor la ±∞ din capătul șirului, care duce la rădăcini pierdute.
Derivata a doua descrie forma graficului — cum se îndoaie, nu dacă urcă sau coboară:
Un punct de inflexiune este un punct în care funcția este continuă și își schimbă convexitatea — graficul trece de pe o parte a tangentei pe cealaltă. Practic, căutăm punctele unde f'' se anulează și își schimbă semnul. Analogia cu extremele este utilă: ce face f' pentru monotonie și extreme, face f'' pentru convexitate și inflexiuni — inclusiv capcana este aceeași: din f''(x₀) = 0 nu rezultă automat inflexiune; la f(x) = x⁴ avem f''(0) = 0, dar funcția rămâne convexă, semnul lui f'' = 12x² nu se schimbă.
Exemplu complet: f(x) = x³ − 3x are f''(x) = 6x, negativă pentru x < 0 și pozitivă pentru x > 0, deci f este concavă pe (−∞, 0], convexă pe [0, +∞), iar originea este punct de inflexiune.
Confuzia clasică este între perechile de noțiuni: monotonia se citește din semnul lui f', convexitatea din semnul lui f''. O funcție poate fi crescătoare și concavă simultan (√x pe (0, +∞)) — cele două proprietăți sunt independente.
Trasarea graficului adună tot ce știm despre funcție într-un singur desen. Etapele standard, în ordinea în care se redactează la examen:
Greșeli care se taxează: tabel de variație fără limitele la capete, extremele marcate pe grafic în alt loc decât indică tabelul, grafic care intersectează asimptota verticală (imposibil) sau ignorarea unui punct exclus din domeniu.
La BAC, cel mai frecvent apare o parte din acest algoritm — de exemplu doar monotonia și extremele, sau doar asimptotele — dar redactarea completă trebuie stăpânită ca întreg.
Problemele de optim cer valoarea maximă sau minimă a unei mărimi. Metoda: exprimăm mărimea de optimizat ca funcție de o singură variabilă (folosind legătura dată în enunț), derivăm, găsim punctul critic și verificăm cu semnul derivatei că este într-adevăr maxim sau minim.
Exemplu clasic: dintre toate dreptunghiurile cu perimetrul 20, care are aria maximă? Cu laturile x și 10 − x, aria este A(x) = x(10 − x) = 10x − x², definită pe (0, 10). A'(x) = 10 − 2x se anulează în x = 5, cu semn plus înainte și minus după, deci x = 5 este punct de maxim: dreptunghiul optim este pătratul cu latura 5 și aria 25. Nu uitați pasul final: întrebarea poate cere punctul de optim (x = 5) sau valoarea optimă (A = 25) — se răspunde exact la ce s-a cerut.
Regula lui L'Hôpital rezolvă limite cu nedeterminările 0/0 sau ∞/∞: dacă f și g sunt derivabile în jurul punctului, g' nu se anulează și limita raportului derivatelor există, atunci:
Subliniat, pentru că aici se pierd puncte: se derivează separat numărătorul și numitorul — nu se aplică regula de derivare a câtului! Iar regula se aplică doar după ce am verificat că există efectiv o nedeterminare 0/0 sau ∞/∞; aplicată pe o limită determinată, dă rezultate false.
Exemple: lim pentru x → 0 din (eˣ − 1)/x = lim eˣ/1 = 1; lim pentru x → +∞ din ln x / x = lim (1/x)/1 = 0 — logaritmul crește mai încet decât orice putere. Dacă după o aplicare nedeterminarea persistă, regula se poate aplica din nou.