Trigonometrie

Studiul funcțiilor trigonometrice, formulelor trigonometrice și aplicațiilor lor.

Cercul trigonometric și definițiile funcțiilor

Cercul trigonometric are centrul în origine, raza 1 și sensul pozitiv invers acelor de ceasornic. Un unghi t (măsurat în radiani; legătura cu gradele: 180° = π radiani) determină pe cerc un punct M, iar definițiile fundamentale sunt:

• cos t = abscisa punctului M;
• sin t = ordonata punctului M.

De aici decurg imediat: −1 ≤ sin t ≤ 1 și −1 ≤ cos t ≤ 1 — orice rezultat de tip sin x = 2 este automat imposibil; și identitatea fundamentală sin²t + cos²t = 1 (teorema lui Pitagora pe cerc).

Tangenta și cotangenta: tg t = sin t/cos t (definită unde cos t ≠ 0, adică t ≠ π/2 + kπ) și ctg t = cos t/sin t (definită unde sin t ≠ 0, adică t ≠ kπ). Spre deosebire de sinus și cosinus, tangenta ia orice valoare reală — nu este mărginită.

Semnele pe cadrane — de memorat prin poziția punctului pe cerc: cadranul I (+, + pentru sin și cos), cadranul II (sin +, cos −), cadranul III (ambele −), cadranul IV (sin −, cos +). Tangenta e pozitivă în cadranele I și III (unde sin și cos au același semn).

Valorile remarcabile, cerute fără ezitare: sin 0 = 0, sin π/6 = 1/2, sin π/4 = √2/2, sin π/3 = √3/2, sin π/2 = 1; cosinusul le parcurge în ordine inversă: cos 0 = 1, cos π/6 = √3/2, cos π/4 = √2/2, cos π/3 = 1/2, cos π/2 = 0. Mnemotehnic: ambele șiruri sunt √0/2, √1/2, √2/2, √3/2, √4/2 — sinusul crescător, cosinusul descrescător.

Proprietăți și grafice: periodicitate, paritate, monotonie

Periodicitate: sin și cos au perioada principală 2π — sin(t + 2kπ) = sin t pentru orice întreg k; tg și ctg au perioada principală π. Diferența de perioadă între sin/cos și tg este o grilă frecventă.

Paritate: cosinusul este funcție pară — cos(−t) = cos t; sinusul și tangenta sunt impare — sin(−t) = −sin t, tg(−t) = −tg t. Geometric: punctele de unghiuri t și −t sunt simetrice față de axa Ox, deci au aceeași abscisă (cos) și ordonate opuse (sin).

Graficele:

• sinusoida y = sin x: pornește din origine, urcă la maximul 1 în π/2, revine la 0 în π, coboară la −1 în 3π/2, închide perioada în 2π;
• cosinusoida y = cos x: aceeași formă, translatată — pornește din maximul (0, 1); de altfel cos x = sin(x + π/2);
• y = tg x: ramuri strict crescătoare pe fiecare interval (−π/2 + kπ, π/2 + kπ), cu asimptote verticale în punctele unde cos se anulează.

Monotonia pe [0, 2π] pentru sinus: crește pe [0, π/2], descrește pe [π/2, 3π/2], crește din nou pe [3π/2, 2π]. Cosinusul: descrește pe [0, π] și crește pe [π, 2π].

Două erori de imagine mentală care costă: sinusul NU este crescător pe tot [0, π] (după π/2 coboară), iar tangenta NU este crescătoare „pe R” — este crescătoare pe fiecare ramură, dar între ramuri sare de la +∞ la −∞, deci afirmația globală e falsă.

Formulele de adunare și consecințele lor

Formulele de adunare — nucleul întregii trigonometrii de liceu; toate celelalte formule ies din ele:

• sin(a + b) = sin a·cos b + cos a·sin b;
• sin(a − b) = sin a·cos b − cos a·sin b;
• cos(a + b) = cos a·cos b − sin a·sin b — atenție: minus la sumă!
• cos(a − b) = cos a·cos b + sin a·sin b;
• tg(a + b) = (tg a + tg b)/(1 − tg a·tg b).

Greșeala №1 a capitolului: „desfacerea” liniară sin(a + b) = sin a + sin b. Este falsă și se demontează cu un exemplu: sin(π/2) = 1, dar sin(π/4) + sin(π/4) = √2 ≈ 1,41. Sinusul nu este funcție liniară — formulele de adunare există tocmai pentru că suma „se amestecă”.

Dublul unghiului (b = a în formulele de sumă):

• sin 2a = 2 sin a·cos a;
• cos 2a = cos²a − sin²a = 2cos²a − 1 = 1 − 2sin²a — trei forme echivalente; alegerea formei potrivite scurtează calculul: dacă știi doar cos a, folosești 2cos²a − 1.

Din formele lui cos 2a se obțin formulele de coborâre a gradului: sin²a = (1 − cos 2a)/2 și cos²a = (1 + cos 2a)/2.

Aplicație-tip de examen: calculul valorilor exacte pentru unghiuri necanonice — sin 75° = sin(45° + 30°) = sin45·cos30 + cos45·sin30 = (√6 + √2)/4. Descompunerea unghiului în sumă sau diferență de unghiuri remarcabile este reflexul care se punctează.

Utile și formulele unghiurilor complementare: sin(π/2 − t) = cos t și cos(π/2 − t) = sin t — sinusul unui unghi este cosinusul complementului.

Reducerea la primul cadran

Orice funcție trigonometrică a unui unghi din cadranele II–IV se exprimă printr-o funcție a unui unghi din primul cadran. Procedura în doi pași, în această ordine:

1. Stabilești semnul rezultatului după cadranul unghiului inițial (regula semnelor pe cadrane); 2. Calculezi unghiul de referință — distanța până la axa Ox (adică până la 0 sau π): pentru cadranul II referința este π − t; pentru III, t − π; pentru IV, 2π − t.

Formulele echivalente, de citit direct de pe cerc:

• sin(π − t) = sin t și cos(π − t) = −cos t (cadranul II: sinusul supraviețuiește cu plus);
• sin(π + t) = −sin t și cos(π + t) = −cos t (cadranul III: ambele cu minus);
• sin(2π − t) = −sin t și cos(2π − t) = cos t (cadranul IV: cosinusul cu plus).

Exemple lucrate: sin 150° = sin(180° − 30°) = sin 30° = 1/2; cos 120° = cos(180° − 60°) = −cos 60° = −1/2; tg 225° = tg(180° + 45°) = tg 45° = 1 (tangenta e pozitivă în cadranul III).

Pentru unghiuri peste 360° sau negative, întâi scazi/adaugi multipli de 360° (periodicitatea), abia apoi reduci la primul cadran: cos 750° = cos(750° − 720°) = cos 30° = √3/2.

Greșeala care anulează tot: aplicarea mecanică a unghiului de referință fără pasul de semn — sin 210° „= sin 30° = 1/2” în loc de −1/2. Semnul se decide din cadran ÎNAINTE de orice calcul, iar 210° este în cadranul III, unde sinusul e negativ.

Ecuații trigonometrice elementare

Ecuațiile de bază au infinitate de soluții din cauza periodicității — o singură valoare nu este niciodată răspunsul complet, iar baremul cere familia întreagă:

• sin x = a (cu −1 ≤ a ≤ 1): x = arcsin a + 2kπ sau x = π − arcsin a + 2kπ, k ∈ Z — două familii, pentru că pe cerc există două puncte cu aceeași ordonată (simetrice față de Oy). Formă compactă: x = (−1)ᵏ·arcsin a + kπ.
• cos x = a (cu −1 ≤ a ≤ 1): x = ±arccos a + 2kπ — cele două puncte cu aceeași abscisă sunt simetrice față de Ox, de unde ±.
• tg x = a (orice a real): x = arctg a + kπ — o singură familie, cu perioada π.

Primul reflex la orice ecuație: verifică dacă |a| ≤ 1 pentru sin și cos. Ecuația sin x = 3/2 nu are soluții — iar la grile chiar aceasta e adesea „capcana” întrebării.

Exemplu complet: sin x = 1/2. Soluțiile: x = π/6 + 2kπ sau x = π − π/6 + 2kπ = 5π/6 + 2kπ, k ∈ Z. Pe intervalul [0, 2π) rămân exact două soluții: π/6 și 5π/6. Cine dă doar π/6 a pierdut jumătate de mulțime — cea mai frecventă penalizare a capitolului.

Ecuații reductibile la cele elementare:

• prin substituție: sin(2x − π/3) = 1/2 — notezi u = 2x − π/3, rezolvi în u, apoi revii la x (împărțirea finală la 2 înjumătățește și perioada);
• prin factorizare: 2sin x·cos x − sin x = 0 ⇔ sin x(2cos x − 1) = 0 ⇔ sin x = 0 sau cos x = 1/2. NU împărți prin sin x — ai pierde toate soluțiile lui sin x = 0; împărțirea printr-un factor care se poate anula este interzisă;
• de tip pătratic: 2sin²x − sin x − 1 = 0 cu substituția t = sin x, t ∈ [−1, 1], apoi fiecare valoare validă a lui t dă propria familie de soluții.

Test — 6 întrebări ca la examen