Elemente de algebră liniară — Vectori în plan

Introducerea noțiunilor de vector, operații cu vectori și aplicații în geometrie.

Ce este un vector. Vectori echipolenți

Un vector este un segment orientat, caracterizat prin trei elemente — toate trei se cer la definiție:

• direcție — dreapta-suport (sau orice paralelă la ea);
• sens — una dintre cele două orientări posibile pe acea direcție;
• modul (lungime) — lungimea segmentului, notată |AB| sau ||v||.

Vectorul cu originea A și extremitatea B se notează AB (cu săgeată deasupra). Ordinea literelor contează: BA = −AB — același segment, sens opus. Confundarea vectorului AB cu BA schimbă semnul întregului calcul.

Două segmente orientate sunt echipolente dacă au aceeași direcție, același sens și același modul. Un vector liber este clasa tuturor segmentelor orientate echipolente între ele: îl poți „muta” oriunde în plan prin translație fără să-l schimbi. De aceea în calcule alegem reprezentantul cel mai comod — cu originea unde ne convine.

Distincții pe care grilele le exploatează:

• vectori egali: aceeași direcție, același sens, același modul — toate trei;
• vectori opuși: aceeași direcție și modul, dar sens contrar;
• egalitatea modulelor NU implică egalitatea vectorilor: doi vectori pot avea aceeași lungime și direcții complet diferite.

Vectorul nul 0 are modulul zero, originea și extremitatea confundate; prin convenție este coliniar cu orice vector. Un patrulater ABCD este paralelogram exact când AB = DC (atenție la ordinea literelor: AB = DC, nu AB = CD — a doua egalitate ar face laturile antiparalele).

Adunarea vectorilor și înmulțirea cu un scalar

Adunarea vectorilor se face prin două reguli geometrice echivalente:

• regula triunghiului: așezi vectorii „cap la coadă” — originea lui v în extremitatea lui u; suma unește originea primului cu extremitatea celui de-al doilea. Algebric: AB + BC = AC (relația lui Chasles) — litera din mijloc „se simplifică”;
• regula paralelogramului: pentru vectori cu aceeași origine, suma este diagonala paralelogramului construit pe ei, pornind din originea comună.

Proprietăți: adunarea este comutativă, asociativă, are element neutru 0, iar opusul lui v este −v. Scăderea: u − v = u + (−v); util de reținut: AB − AC = CB (ambii vectori pornesc din A, diferența merge de la extremitatea scăzătorului la extremitatea descăzutului).

Capcană de modul: |u + v| ≤ |u| + |v|, cu egalitate doar pentru vectori coliniari de același sens. În general modulul sumei NU este suma modulelor: doi vectori de lungime 3 și 4 perpendiculari au suma de lungime 5, nu 7.

Înmulțirea cu un scalar t ∈ R: vectorul t·v are aceeași direcție cu v, sensul lui v dacă t > 0 și sens opus dacă t < 0, iar modulul |t|·|v|. Operația este distributivă față de ambele adunări: t(u + v) = tu + tv și (t + s)v = tv + sv.

Relația de poziție cea mai folosită la BAC — mijlocul segmentului: M este mijlocul lui [AB] dacă și numai dacă MA + MB = 0, echivalent, pentru orice punct O: OM = (OA + OB)/2.

Descompunerea după o bază. Coordonatele unui vector

Doi vectori necoliniari u și v formează o bază a planului: orice vector w se scrie în mod unic ca w = a·u + b·v, cu a, b numere reale. Existența și mai ales unicitatea descompunerii sunt esența noțiunii de bază — pe unicitate se sprijină metoda identificării coeficienților.

Baza standard este formată din versorii axelor: i (pe Ox) și j (pe Oy), amândoi de modul 1. Orice vector se scrie v = x·i + y·j, iar perechea (x, y) dă coordonatele vectorului.

Formulele de calcul, toate cerute la examen:

• vectorul determinat de punctele A(x₁, y₁) și B(x₂, y₂): AB = (x₂ − x₁)i + (y₂ − y₁)j — extremitate minus origine, în această ordine; inversarea dă vectorul opus;
• modulul: |AB| = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²) — chiar formula distanței;
• adunarea și înmulțirea cu scalar se fac pe coordonate: (x₁, y₁) + (x₂, y₂) = (x₁ + x₂, y₁ + y₂), t(x, y) = (tx, ty);
• egalitatea a doi vectori ⇔ egalitatea coordonatelor corespunzătoare — de aici se obțin sistemele de ecuații la identificare.

Exemplu-tip: descompuneți w = 7i + 4j după u = i + 2j și v = 3i − 2j. Scrii w = a·u + b·v, egalezi coordonatele: a + 3b = 7 și 2a − 2b = 4; rezolvi sistemul: a = 1... verificare: din a doua, a = b + 2; înlocuit în prima: b + 2 + 3b = 7, deci b = 5/4 și a = 13/4. Verificarea finală prin înlocuire este obligatorie — sistemele mici iartă rar erorile de semn.

Coliniaritate: condiții vectoriale și pe coordonate

Doi vectori nenuli u și v sunt coliniari (au aceeași direcție) dacă și numai dacă există un scalar t cu v = t·u. Pe coordonate, u = (x₁, y₁) și v = (x₂, y₂) sunt coliniari exact când x₁·y₂ − x₂·y₁ = 0 — anularea „determinantului” format din coordonate; echivalent, coordonatele sunt proporționale: x₂/x₁ = y₂/y₁ (când numitorii nu se anulează).

Atenție la formularea cu fracții: dacă o coordonată este 0, proporția nu se poate scrie, dar condiția cu determinantul funcționează întotdeauna — de aceea ea este forma sigură.

Aplicat la puncte: A, B, C sunt coliniare dacă și numai dacă vectorii AB și AC sunt coliniari. Acesta este testul vectorial standard de coliniaritate a trei puncte.

Paralelism de drepte prin vectori: AB paralel cu CD (ca drepte) când vectorii AB și CD sunt coliniari, iar punctele nu sunt toate pe aceeași dreaptă.

Distincția care se pierde cel mai des: coliniaritatea vectorilor nu cere același sens — v = −2u este coliniar cu u (t poate fi negativ). „Coliniari și de același sens” este o condiție strict mai tare (t > 0).

Teorema de care se leagă multe demonstrații — vectorii necoliniari au descompunere unică: dacă a·u + b·v = a'·u + b'·v cu u, v necoliniari, atunci a = a' și b = b'. Pe această identificare de coeficienți se rezolvă problemele de tip „determinați m astfel încât punctele să fie coliniare”: exprimi vectorii în funcție de baza aleasă și impui proporționalitatea coeficienților.

Aplicații: vectori de poziție, centre de greutate, demonstrații

Vectorul de poziție al unui punct A față de o origine O este r_A = OA. Toate formulele de mai jos sunt exprimate în vectori de poziție și se cer ca atare:

• mijlocul M al segmentului [AB]: r_M = (r_A + r_B)/2;
• centrul de greutate G al triunghiului ABC: r_G = (r_A + r_B + r_C)/3; echivalent, GA + GB + GC = 0 — caracterizarea care apare cel mai des la BAC;
• punctul M care împarte segmentul [AB] în raportul dat MA/MB = k are vectorul de poziție exprimabil din relația vectorială MA = −k·MB (semnul ține de sensuri, nu doar de lungimi).

Relația medianei: dacă M este mijlocul lui [BC], atunci AM = (AB + AC)/2 — se demonstrează în două rânduri cu regula triunghiului și este cheia multor subiecte.

Strategia generală în demonstrațiile vectoriale: alegi un punct de referință (o origine comodă — adesea unul dintre vârfuri), exprimi toți vectorii din problemă în funcție de doi vectori necoliniari de bază (de exemplu AB și AC), apoi compari coeficienții. Pentru a arăta că trei puncte sunt coliniare, arăți că un vector este multiplu scalar al celuilalt; pentru un paralelogram, arăți egalitatea vectorială a laturilor opuse (AB = DC).

Exemplu clasic: în triunghiul ABC, fie M mijlocul lui [AB] și N mijlocul lui [AC]. Atunci MN = AN − AM = AC/2 − AB/2 = BC/2 — am demonstrat vectorial că linia mijlocie este paralelă cu a treia latură și jumătate din ea, în două rânduri de calcul. Aceasta este forța metodei vectoriale: transformă geometria sintetică în calcul algebric scurt.

Test — 6 întrebări ca la examen