Studiul funcției exponențiale și al funcției logaritmice, proprietăților și ecuațiilor asociate.
Funcția exponențială este f : R → (0, +∞), f(x) = aˣ, cu baza a > 0 și a ≠ 1. Condițiile pe bază fac parte din definiție: pentru a = 1 funcția devine constantă, pentru a ≤ 0 puterile cu exponent real nu se pot defini coerent.
Proprietatea centrală: aˣ > 0 pentru orice x real — exponențiala nu atinge niciodată zero și nu ia valori negative. De aici, ecuația aˣ = număr negativ sau zero nu are soluții, oricât de convingător ar arăta calculul.
Monotonia depinde de bază — pivotul întregului capitol:
În ambele cazuri funcția este bijectivă de la R la (0, +∞) — de aceea din aˣ = aʸ se poate deduce x = y (injectivitate), pasul-cheie al ecuațiilor exponențiale.
Graficul trece prin (0, 1) — orice bază la puterea 0 dă 1 — și are axa Ox ca asimptotă orizontală. Graficele lui aˣ și (1/a)ˣ sunt simetrice față de axa Oy.
Regulile de calcul cu puteri, folosite permanent: aˣ·aʸ = aˣ⁺ʸ, aˣ/aʸ = aˣ⁻ʸ, (aˣ)ʸ = aˣʸ, a⁻ˣ = 1/aˣ, a⁰ = 1. Greșeala clasică: aˣ·aʸ = aˣʸ — la produs exponenții se adună, nu se înmulțesc; înmulțirea exponenților apare doar la puterea unei puteri.
Definiția logaritmului: pentru a > 0, a ≠ 1 și x > 0,
log_a x = y ⇔ aʸ = x
Logaritmul este exponentul la care trebuie ridicată baza pentru a obține numărul. Citirea în ambele sensuri a acestei echivalențe rezolvă jumătate din exercițiile capitolului: log₂ 8 = 3 pentru că 2³ = 8; log₃ (1/9) = −2 pentru că 3⁻² = 1/9.
Condițiile de existență — obsesia corectă a capitolului: argumentul strict pozitiv (x > 0), baza pozitivă și diferită de 1. Logaritmul din numere negative sau din zero nu există în R.
Proprietățile de calcul (pentru A, B > 0):
Identitățile de „anulare reciprocă” dintre exponențială și logaritm: a^(log_a x) = x și log_a(aˣ) = x — cele două funcții sunt inverse una alteia.
Capcanele de neuitat: log_a(A + B) NU se desface — nu există nicio formulă pentru logaritmul sumei; iar log_a A·log_a B ≠ log_a(A·B) — produsul logaritmilor nu e logaritmul produsului. Notații: lg = log₁₀ (logaritm zecimal), ln = log_e (logaritm natural, baza e ≈ 2,718).
Funcția logaritmică este f : (0, +∞) → R, f(x) = log_a x, cu a > 0, a ≠ 1 — inversa funcției exponențiale. Domeniul ei este imaginea exponențialei și invers: exponențiala duce R în (0, +∞), logaritmul întoarce (0, +∞) în R.
Monotonia moștenește regula exponențialei:
Graficul trece prin (1, 0) — log_a 1 = 0 în orice bază — și are axa Oy ca asimptotă verticală. Fiind inverse, graficele funcțiilor aˣ și log_a x sunt simetrice față de prima bisectoare y = x.
Funcția logaritmică este bijectivă, deci injectivă: din log_a x = log_a y (cu x, y > 0) rezultă x = y — la fel ca la exponențială, acesta e pasul de „ștergere a logaritmilor” din ecuații.
Determinarea domeniului de definiție al unei funcții cu logaritm este cerință de sine stătătoare la BAC: pentru f(x) = log₂(x² − 4) se impune x² − 4 > 0, se rezolvă inecuația de gradul al II-lea (semnul trinomului) și rezultă x ∈ (−∞, −2) ∪ (2, +∞). Condiția este strict — argumentul nu are voie să fie nici zero, pentru că log_a 0 nu există. Dacă expresia conține mai mulți logaritmi, se intersectează toate condițiile.
Comparări utile prin monotonie: în baza supraunitară, numerele mai mari au logaritmi mai mari — log₂ 5 > log₂ 3; în baza subunitară ordinea se răstoarnă. Iar semnul logaritmului: log_a x > 0 când x și baza sunt „de aceeași parte a lui 1” (ambele supraunitare sau ambele subunitare).
Ecuații exponențiale — trei tipare acoperă aproape tot:
1. Aceeași bază: aduci ambii membri la o bază comună și egalezi exponenții (injectivitatea). 2ˣ⁺¹ = 8 ⇔ 2ˣ⁺¹ = 2³ ⇔ x + 1 = 3 ⇔ x = 2. Recunoaște puterile: 8 = 2³, 27 = 3³, 1/4 = 2⁻², √2 = 2^(1/2). 2. Substituție: 4ˣ − 3·2ˣ + 2 = 0. Observi 4ˣ = (2ˣ)², notezi t = 2ˣ, cu t > 0; ecuația devine t² − 3t + 2 = 0, deci t = 1 sau t = 2, apoi revii: 2ˣ = 1 dă x = 0, 2ˣ = 2 dă x = 1. Condiția t > 0 elimină rădăcinile negative ale ecuației în t — pas de barem: dacă ai obținut t = −5, îl arunci motivat, nu îl „rezolvi”. 3. Logaritmare: când bazele nu se pot egala (3ˣ = 5), soluția se scrie x = log₃ 5.
Ecuații logaritmice — algoritmul obligatoriu:
1. Scrii condițiile de existență (toate argumentele > 0) ÎNAINTE de orice transformare; 2. Aduci ecuația la forma log_a(E₁) = log_a(E₂) folosind proprietățile, apoi egalezi argumentele; sau la forma log_a E = b, echivalentă cu E = aᵇ; 3. Confrunți soluțiile cu condițiile și le elimini pe cele care pică.
Exemplu complet: log₂(x − 1) + log₂(x + 1) = 3. Condiții: x > 1. Suma devine log₂((x−1)(x+1)) = 3, deci x² − 1 = 8, x² = 9, x = ±3. Soluția x = −3 pică pe condiție — răspuns final x = 3. Fără condițiile scrise la început, −3 pare soluție legitimă și costă punctele de rigoare.
Verificarea finală prin înlocuire rămâne cel mai ieftin control al întregului calcul.
Inecuațiile se rezolvă prin monotonie, iar totul se decide după bază — regula care desparte capitolul în două:
Uitarea inversării la baza subunitară este, de departe, cea mai scumpă greșeală a capitolului — dă exact intervalul complementar și anulează exercițiul.
La inecuațiile logaritmice, condițiile de existență se intersectează cu soluția: rezultatul final este soluția inecuației ∩ domeniul de existență. Exemplu: log₂(x − 3) ≤ 2. Condiție: x > 3. Inecuația: x − 3 ≤ 4, deci x ≤ 7. Final: x ∈ (3, 7] — capătul stâng deschis (condiția strictă), capătul drept închis (inegalitate nestrictă).
Pentru inecuații cu substituție (de exemplu 9ˣ − 4·3ˣ + 3 ≤ 0): notezi t = 3ˣ > 0, rezolvi inecuația de gradul al II-lea în t (aici t ∈ [1, 3]), apoi traduci înapoi prin monotonia exponențialei: 1 ≤ 3ˣ ≤ 3 ⇔ 0 ≤ x ≤ 1.
Strategie de verificare universală: alege un număr de probă din intervalul găsit și înlocuiește-l în inecuația inițială; dacă nu o satisface, aproape sigur ai uitat inversarea de sens sau o condiție de existență. Zece secunde de probă salvează întregul punctaj al exercițiului.