Numere reale

Studiul proprietăților numerelor reale, valoarea absolută și aproximări.

Mulțimea numerelor reale și axa numerelor

Mulțimea R a numerelor reale reunește numerele raționale (Q — fracțiile, adică zecimalele finite sau periodice) și numerele iraționale (R \ Q — zecimalele infinite neperiodice, precum √2, √3, π). Avem lanțul de incluziuni N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R, toate stricte.

Criteriul practic: un număr este rațional exact când scrierea lui zecimală este finită sau periodică. De aceea 0,(3) = 1/3 este rațional, dar 0,101001000100001... (tot mai multe zerouri) este irațional — nu există perioadă.

Capcană frecventă: suma sau produsul a două numere iraționale nu este obligatoriu irațional. Exemplu: √2 + (−√2) = 0 ∈ Q și √2 · √2 = 2 ∈ Q. În schimb, suma dintre un rațional și un irațional este întotdeauna irațională — se demonstrează prin reducere la absurd.

Axa numerelor este o dreaptă pe care fixăm o origine O, un sens și o unitate de măsură. Fiecărui punct îi corespunde exact un număr real — abscisa lui — și reciproc: corespondența este bijectivă, adică R „umple” complet dreapta, fără găuri. Iraționalele se reprezentează exact prin construcții geometrice: √2 este diagonala pătratului de latură 1, adusă cu compasul pe axă.

Ordinea pe R: a < b înseamnă geometric că punctul de abscisă a este la stânga punctului de abscisă b. Între orice două numere reale distincte există o infinitate de raționale și o infinitate de iraționale — proprietatea de densitate.

Modulul unui număr real

Modulul (valoarea absolută) a lui x este distanța de la punctul de abscisă x la origine:

• |x| = x, dacă x ≥ 0;
• |x| = −x, dacă x < 0.

Scrierea |x| = −x pentru x negativ îi sperie pe mulți, dar e corectă: dacă x = −5, atunci −x = 5, adică exact distanța. Modulul este întotdeauna pozitiv sau zero — niciodată negativ.

Proprietăți de calcul cerute la examen:

• |x| ≥ 0, cu egalitate doar pentru x = 0;
• |x·y| = |x|·|y| și |x/y| = |x|/|y| pentru y ≠ 0;
• |x + y| ≤ |x| + |y| — inegalitatea triunghiului; egalitate exact când x și y au același semn;
• √(x²) = |x|, nu x — greșeala care strică cele mai multe exerciții cu radicali;
• |x − y| = distanța dintre punctele de abscise x și y pe axă.

Ecuațiile și inecuațiile cu modul se rezolvă cu echivalențele-standard (pentru a > 0):

• |x| = a ⇔ x = a sau x = −a;
• |x| < a ⇔ −a < x < a, adică x ∈ (−a, a) — interval mărginit;
• |x| > a ⇔ x < −a sau x > a, adică reuniune de două intervale nemărginite.

Regula mnemotehnică: modul mic (mai mic decât a) — interval dintr-o bucată; modul mare — două ramuri. Cine scrie |x| > 3 ⇔ −3 > x > 3 a scris o condiție imposibilă și pierde tot exercițiul.

Intervale de numere reale

Un interval este mulțimea numerelor reale cuprinse între două capete. Notațiile trebuie stăpânite exact, pentru că o paranteză greșită schimbă mulțimea:

• [a, b] — interval închis: a ≤ x ≤ b, capetele aparțin mulțimii;
• (a, b) — interval deschis: a < x < b, capetele NU aparțin;
• [a, b) și (a, b] — semideschise: doar un capăt aparține;
• [a, +∞), (−∞, b] etc. — intervale nemărginite.

Regula fără excepții: lângă +∞ și −∞ se pune întotdeauna paranteză rotundă, pentru că infinitul nu este număr și nu poate „aparține” intervalului.

Cu intervalele se fac aceleași operații ca și cu orice mulțimi: reuniune, intersecție, diferență. Metoda sigură este desenul pe axă: reprezinți fiecare interval, apoi citești zona comună (intersecția) sau zona acoperită de cel puțin unul (reuniunea). La capete verifici separat dacă punctul aparține ambelor mulțimi.

Exemplu lucrat: A = [−1, 3), B = (1, 5]. Atunci A ∩ B = (1, 3) — capătul 1 nu intră (nu e în B), capătul 3 nu intră (nu e în A); A ∪ B = [−1, 5].

Atenție la vocabular: un interval este mărginit dacă are ambele capete finite, indiferent dacă e închis sau deschis. „Închis” și „mărginit” nu sunt sinonime: [2, +∞) este închis la stânga dar nemărginit, iar (0, 1) este mărginit dar deschis.

Intervalele apar la BAC mai ales ca mulțimi de soluții pentru inecuații — de aceea scrierea corectă a soluției sub formă de interval este pas de punctaj în barem.

Partea întreagă și partea fracționară

Partea întreagă a lui x, notată [x], este cel mai mare număr întreg mai mic sau egal cu x. Echivalent, [x] este unicul întreg cu proprietatea:

[x] ≤ x < [x] + 1

Partea fracționară este {x} = x − [x] și satisface întotdeauna 0 ≤ {x} < 1.

Pentru numere pozitive intuiția „tai zecimalele” funcționează: [3,7] = 3 și {3,7} = 0,7. Pentru numere negative intuiția te trădează — aici pică majoritatea:

• [−3,7] = −4, nu −3, pentru că −4 ≤ −3,7 < −3; partea întreagă merge mereu spre stânga pe axă;
• {−3,7} = −3,7 − (−4) = 0,3 — partea fracționară rămâne în [0, 1), nu este niciodată negativă.

Proprietăți utile în exerciții:

• [x + k] = [x] + k pentru orice întreg k — întregii „ies” din paranteza de parte întreagă;
• x = [x] + {x} — descompunerea fundamentală;
• [x] = x exact când x este întreg, adică exact când {x} = 0.

Atenție: [x + y] NU este în general [x] + [y]. Exemplu: [0,6 + 0,7] = [1,3] = 1, dar [0,6] + [0,7] = 0. Diferența provine din „transportul” părților fracționare.

Ecuațiile cu parte întreagă se rezolvă folosind definiția: dacă [expresie] = n ∈ Z, atunci n ≤ expresie < n + 1, ceea ce dă un sistem de inecuații. Se rezolvă sistemul, apoi se verifică ce valori întregi n sunt posibile.

Aproximări și aplicații de examen

Orice număr real se poate aproxima cu raționale oricât de bine. Aproximarea prin lipsă la o zecimală dată păstrează primele zecimale și taie restul; aproximarea prin adaos adaugă o unitate la ultima zecimală păstrată. Pentru √2 = 1,4142..., aproximarea prin lipsă la sutimi este 1,41, iar prin adaos 1,42; numărul real stă mereu între cele două.

Rotunjirea la o anumită zecimală alege dintre cele două aproximări pe cea mai apropiată: dacă prima cifră tăiată este 0–4 rotunjim în jos, dacă este 5–9 rotunjim în sus.

La comparări de numere reale fără calculator, tehnicile-standard sunt:

• ridicarea la pătrat a două numere pozitive: √5 + √3 față de √14 se compară prin pătratele lor 8 + 2√15 și 14, apoi 2√15 față de 6, apoi 60 față de 36;
• încadrarea între întregi consecutivi: din 4 < 7 < 9 rezultă 2 < √7 < 3, deci [√7] = 2 — exercițiu-tip pentru partea întreagă;
• raționalizarea numitorului pentru a aduce expresiile la forme comparabile.

La subiectul I de BAC apar frecvent cerințe de forma: „arătați că numărul E = (√3 − 1)² + 2√3 este natural” — se desfășoară pătratul cu formula (a − b)² = a² − 2ab + b², termenii cu radical se reduc și rămâne un întreg. Cheia acestor exerciții: nu aproxima radicalii cu zecimale — lucrează algebric exact și lasă reducerile să elimine radicalii; aproximarea numerică nu constituie demonstrație și nu primește punctaj.

Test — 6 întrebări ca la examen