Aprofundarea noțiunii de funcție, proprietăți și reprezentări grafice ale funcțiilor elementare.
O funcție f : A → B este o lege care asociază fiecărui element x din A exact un element f(x) din B. Cele două condiții din definiție se verifică separat și ambele contează:
A se numește domeniu de definiție, B codomeniu. Imaginea funcției, Im f = {f(x) | x ∈ A}, este mulțimea valorilor efectiv atinse — o submulțime a codomeniului, nu neapărat tot codomeniul. Confuzia codomeniu–imagine costă puncte la discuțiile despre surjectivitate.
Două funcții sunt egale doar dacă au același domeniu, același codomeniu și aceeași lege. f : R → R, f(x) = x² și g : [0, ∞) → R, g(x) = x² sunt funcții diferite, deși legea coincide.
Graficul funcției este mulțimea perechilor G_f = {(x, f(x)) | x ∈ A}, reprezentată în planul cartezian. Testul vizual: o curbă este grafic de funcție dacă orice dreaptă verticală o taie în cel mult un punct — altfel un x ar avea două imagini.
Un punct M(a, b) aparține graficului exact când f(a) = b — verificare cerută explicit la BAC: se calculează f(a) și se compară cu b, nu se „citește de pe desen”.
Injectivitatea: f este injectivă dacă elemente diferite au imagini diferite — echivalent, din f(x₁) = f(x₂) rezultă x₁ = x₂. Aceasta este forma cu care se lucrează în demonstrații: presupui imaginile egale și deduci egalitatea argumentelor.
Ca să arăți că f nu e injectivă ajunge un contraexemplu: pentru f(x) = x², din f(−1) = f(1) = 1 cu −1 ≠ 1 rezultă neinjectivitatea.
Test grafic: f este injectivă dacă orice dreaptă orizontală taie graficul în cel mult un punct.
Surjectivitatea: f : A → B este surjectivă dacă orice y din B are cel puțin un x din A cu f(x) = y — adică Im f = B. Demonstrația-standard: iei y arbitrar în B, rezolvi ecuația f(x) = y și arăți că soluția există și aparține domeniului. Surjectivitatea depinde esențial de codomeniu: f(x) = x² nu e surjectivă pe R → R (numerele negative nu sunt atinse), dar devine surjectivă pe R → [0, ∞).
Test grafic: orice orizontală dusă prin codomeniu taie graficul în cel puțin un punct.
Bijectivitatea = injectivitate + surjectivitate: fiecare y din B are exact un corespondent. Ambele proprietăți trebuie demonstrate — cine arată doar una a rezolvat jumătate.
Pentru mulțimi finite apar întrebări de numărare: dacă |A| = |B| = n, numărul funcțiilor bijective A → B este n!; numărul tuturor funcțiilor A → B cu |A| = m, |B| = n este nᵐ.
Dacă f : A → B și g : B → C, compusa g ∘ f : A → C este definită prin (g ∘ f)(x) = g(f(x)): se aplică întâi f, apoi g — se citește de la dreapta spre stânga, ca la îmbrăcat: întâi cămașa (f), apoi sacoul (g).
Condiția de existență: imaginea lui f trebuie să fie inclusă în domeniul lui g. La funcții numerice pe R condiția e de obicei automată, dar la domenii restrânse (radicali, logaritmi) trebuie verificată.
Proprietăți:
Greșeala tehnică frecventă la calcul: pentru (g ∘ f)(x) se înlocuiește f(x) în locul fiecărui x din expresia lui g. Dacă g(x) = 2x − 3 și f(x) = x², atunci (g ∘ f)(x) = 2x² − 3, iar (f ∘ g)(x) = (2x − 3)² — cine confundă ordinea obține exact rezultatul celuilalt.
Compunerea păstrează proprietățile bune: compusa a două funcții injective este injectivă, a două surjective este surjectivă, a două bijective — bijectivă. La monotonie: două funcții de aceeași monotonie dau compusă crescătoare; de monotonii diferite — compusă descrescătoare (regula semnelor).
O funcție f : A → B este inversabilă dacă și numai dacă este bijectivă. Inversa f⁻¹ : B → A întoarce corespondența: f⁻¹(y) = x exact când f(x) = y.
De ce e nevoie de bijectivitate: fără surjectivitate, unele y din B nu ar avea corespondent (f⁻¹ nu ar fi definită peste tot); fără injectivitate, unele y ar avea doi corespondenți (f⁻¹ nu ar mai fi funcție).
Caracterizarea prin compunere — utilă la verificări: f⁻¹ ∘ f = 1_A și f ∘ f⁻¹ = 1_B. Ca să verifici că g este inversa lui f, calculezi ambele compuneri și arăți că dau funcția identică.
Algoritmul de calcul al inversei pentru f bijectivă: scrii y = f(x), exprimi x în funcție de y, apoi schimbi rolurile literelor. Exemplu: f : R → R, f(x) = 2x − 5. Din y = 2x − 5 rezultă x = (y + 5)/2, deci f⁻¹(x) = (x + 5)/2.
Atenție maximă la notație: f⁻¹(x) NU înseamnă 1/f(x). Inversa funcției (față de compunere) și inversul numeric (față de înmulțire) folosesc același simbol, dar sunt lucruri complet diferite — pentru f(x) = 2x − 5, 1/f(x) = 1/(2x − 5), total altceva decât (x + 5)/2.
Proprietatea geometrică de reținut: graficele lui f și f⁻¹ sunt simetrice față de prima bisectoare (dreapta y = x). Punctul (a, b) e pe graficul lui f exact când (b, a) e pe graficul lui f⁻¹ — de aici se citesc rapid valori ale inversei fără a o calcula explicit.
f este crescătoare pe un interval I dacă pentru orice x₁ < x₂ din I avem f(x₁) ≤ f(x₂); strict crescătoare dacă inegalitatea imaginilor este strictă. Analog pentru descrescătoare. O funcție crescătoare păstrează ordinea argumentelor; una descrescătoare o inversează — acest fapt devine esențial la inecuațiile exponențiale și logaritmice, unde baza subunitară „întoarce” sensul inegalității.
Tehnica de demonstrație fără derivate (clasa a X-a): iei x₁ < x₂ și studiezi semnul diferenței f(x₂) − f(x₁), sau semnul raportului de variație R = (f(x₂) − f(x₁))/(x₂ − x₁): R > 0 pe interval înseamnă strict crescătoare, R < 0 strict descrescătoare.
Legătura cu injectivitatea, folosită des ca scurtătură: orice funcție strict monotonă este injectivă. Reciproca este falsă — există funcții injective care nu sunt monotone, deci nu poți înlocui una cu alta în ambele sensuri.
Paritatea cere mai întâi domeniu simetric față de origine (dacă x e în domeniu, și −x trebuie să fie):
Capcane: „impar” nu înseamnă „nu e par” — f(x) = x + 1 nu este nici pară, nici impară (f(−1) = 0, f(1) = 2: nici egale, nici opuse). Iar verificarea parității se face pe tot domeniul, nu pe câteva valori: exemplele numerice sugerează, dar nu demonstrează.