Mulțimi și elemente de logică matematică

Recapitularea și aprofundarea noțiunilor despre mulțimi, operații cu mulțimi și raționament logic.

Mulțimi: limbaj, notații și relația de incluziune

O mulțime este o colecție de obiecte distincte, numite elemente. Scriem x ∈ A („x aparține lui A”) și x ∉ A pentru contrariu. O mulțime se poate descrie prin enumerare — A = {1, 2, 3} — sau prin proprietate caracteristică — A = {x ∈ N | x < 4}.

Două relații pe care elevii le confundă constant:

• Apartenența (∈) leagă un element de o mulțime: 2 ∈ {1, 2, 3}.
• Incluziunea (⊂) leagă o mulțime de altă mulțime: {2} ⊂ {1, 2, 3}.

Scrie 2 ⊂ {1, 2, 3} și ai pierdut punctul: 2 e element, nu submulțime. Corect este 2 ∈ {1, 2, 3} sau {2} ⊂ {1, 2, 3}.

Spunem că A ⊂ B (A este inclusă în B) dacă orice element al lui A este și element al lui B. Două mulțimi sunt egale când A ⊂ B și B ⊂ A — aceasta este metoda standard de a demonstra egalitatea a două mulțimi la examen: dubla incluziune.

Mulțimea vidă ∅ nu are niciun element și este submulțime a oricărei mulțimi. Atenție: ∅ și {∅} sunt diferite — a doua are un element (chiar mulțimea vidă).

O mulțime cu n elemente are exact 2ⁿ submulțimi — rezultat cerut frecvent la subiectul I.

Operații cu mulțimi

Cele patru operații de bază, cu descrierea exactă care se cere în definiții:

• Reuniunea A ∪ B = mulțimea elementelor care aparțin lui A sau lui B (cel puțin uneia dintre ele). „Sau” este inclusiv: un element din ambele mulțimi apare o singură dată în reuniune.
• Intersecția A ∩ B = mulțimea elementelor care aparțin și lui A, și lui B. Dacă A ∩ B = ∅, mulțimile se numesc disjuncte.
• Diferența A \ B = elementele lui A care nu sunt în B. Diferența nu este comutativă: A \ B ≠ B \ A în general — capcană clasică.
• Complementara lui A față de o mulțime totală E (cu A ⊂ E): C_E(A) = E \ A.

Proprietăți utile de calcul: comutativitate și asociativitate pentru ∪ și ∩, plus distributivitatea: A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) și simetric. Legile lui De Morgan apar des în verificări: complementara reuniunii este intersecția complementarelor și invers.

Pentru numărul de elemente (cardinal) al mulțimilor finite folosim principiul includerii și excluderii: card(A ∪ B) = card(A) + card(B) − card(A ∩ B). Dacă aduni doar cardinalele, elementele comune se numără de două ori — de aici scăderea intersecției. Problemele-tip: „într-o clasă, 18 elevi fac engleză, 12 germană, 7 ambele — câți elevi fac cel puțin o limbă?” Răspuns: 18 + 12 − 7 = 23.

Propoziții matematice și cuantificatori

O propoziție (în sens logic) este un enunț care este fie adevărat, fie fals, dar nu ambele. „3 este număr prim” e propoziție adevărată; „x + 1 = 5” nu este propoziție, ci predicat — valoarea de adevăr depinde de x. Distincția propoziție/predicat este punctaj sigur la definiții.

Un predicat devine propoziție în două moduri: îi dai lui x o valoare concretă sau îl legi cu un cuantificator:

• Cuantificatorul universal ∀ („oricare ar fi”): ∀x ∈ R, x² ≥ 0 — adevărată, pentru că proprietatea are loc pentru toate valorile.
• Cuantificatorul existențial ∃ („există”): ∃x ∈ N, x² = 9 — adevărată, pentru că măcar o valoare (x = 3) o satisface.

Regula de aur a negației: negarea schimbă cuantificatorul și neagă proprietatea.

• non(∀x, P(x)) este ∃x, non P(x) — ca să contrazici „toți”, ajunge un contraexemplu;
• non(∃x, P(x)) este ∀x, non P(x).

Greșeala tipică: elevii neagă ∀x, P(x) prin ∀x, non P(x) („niciunul nu are proprietatea”), ceea ce este mult prea mult. Contrariul lui „toți elevii au promovat” nu este „niciun elev nu a promovat”, ci „există cel puțin un elev care nu a promovat”.

De reținut și conectorii logici de bază: negația (non p), conjuncția (p și q — adevărată doar când ambele sunt adevărate), disjuncția (p sau q — falsă doar când ambele sunt false).

Implicația și echivalența logică

Implicația p ⇒ q („dacă p, atunci q”) este falsă într-un singur caz: p adevărată și q falsă. Din fals poți implica orice — implicația cu ipoteză falsă e automat adevărată, oricât de ciudat sună la prima vedere.

Terminologie care se punctează: în p ⇒ q, p este condiție suficientă pentru q, iar q este condiție necesară pentru p.

Dintr-o implicație p ⇒ q derivăm:

• reciproca: q ⇒ p — NU rezultă din implicația directă; poate fi adevărată sau falsă independent;
• contrara: non p ⇒ non q;
• contrapusa: non q ⇒ non p — aceasta este echivalentă logic cu implicația directă.

Confuzia clasică, taxată la orice examen: din „dacă un număr e divizibil cu 4, atunci e divizibil cu 2” elevii deduc reciproca „dacă e divizibil cu 2, e divizibil cu 4” — falsă (contraexemplu: 6). Ce poți deduce corect este contrapusa: „dacă nu e divizibil cu 2, nu e divizibil cu 4”.

Echivalența p ⇔ q înseamnă p ⇒ q și q ⇒ p simultan; se citește „p dacă și numai dacă q”. La demonstrarea unei echivalențe trebuie arătate ambele sensuri — cine demonstrează un singur sens primește jumătate din punctaj.

Pe echivalența implicație–contrapusă se sprijină demonstrația prin reducere la absurd: presupui că cerința e falsă, deduci o contradicție cu ipoteza sau cu un adevăr cunoscut, deci presupunerea cade. Exemplul-model: demonstrația că √2 este irațional.

Mulțimi finite și infinite. Aplicații de examen

O mulțime este finită dacă are un număr natural de elemente — acest număr este cardinalul ei, notat card(A) sau |A|. Altfel, mulțimea este infinită: N, Z, Q, R sunt toate infinite.

Proprietate care le desparte esențial: o mulțime infinită poate fi pusă în corespondență element-cu-element cu o parte strictă a ei (numerele pare sunt „la fel de multe” ca toate numerele naturale, prin corespondența n → 2n), pe când la o mulțime finită acest lucru e imposibil. Nu trebuie demonstrat riguros în clasa a X-a, dar ideea apare în întrebări de tip adevărat/fals.

Tipurile de exerciții care apar la BAC din acest capitol:

• Determinarea unei mulțimi descrise printr-o proprietate: A = {x ∈ Z | |2x − 1| ≤ 5} — rezolvi inecuația (−2 ≤ x ≤ 3), apoi selectezi doar valorile din mulțimea cerută. Cea mai frecventă pierdere de punctaj: rezolvi corect în R și uiți că se cereau doar întregii.
• Operații cu mulțimi concrete: date A și B, calculează A ∪ B, A ∩ B, A \ B, B \ A.
• Cardinale: numărul submulțimilor (2ⁿ), numărul submulțimilor cu proprietăți date, principiul includerii-excluderii.
• Intervale: reuniuni și intersecții de intervale, scrise corect cu paranteze rotunde/pătrate — capătul inclus cere paranteză pătrată, iar ±∞ primește întotdeauna paranteză rotundă.

Verifică mereu rezultatul final: o intersecție nu poate avea mai multe elemente decât cea mai mică dintre mulțimi, iar reuniunea nu poate avea mai puține decât cea mai mare.

Test — 6 întrebări ca la examen