Elemente de statistică și probabilități

Se introduc noțiuni de bază privind organizarea datelor statistice și calculul probabilităților.

Organizarea datelor statistice

Statistica studiază colectarea, organizarea și interpretarea datelor. Vocabularul de bază:

• populația statistică — mulțimea tuturor elementelor studiate (elevii unui liceu);
• eșantionul — partea din populație efectiv observată;
• caracteristica (variabila) — proprietatea urmărită; poate fi cantitativă (notă, înălțime — se exprimă prin numere) sau calitativă (culoarea ochilor, materia preferată);
• frecvența absolută a unei valori — de câte ori apare valoarea în date;
• frecvența relativă — frecvența absolută împărțită la numărul total de date; se exprimă adesea procentual.

Două proprietăți de control care prind majoritatea greșelilor de calcul: suma frecvențelor absolute trebuie să dea numărul total de date, iar suma frecvențelor relative trebuie să dea 1 (adică 100%). Dacă procentele adunate dau 98% sau 105%, undeva e o eroare.

Datele organizate se prezintă în tabele de frecvență și grafic:

• diagrama cu bare — înălțimea fiecărei bare este frecvența valorii; potrivită pentru date discrete sau calitative;
• histograma — varianta pentru date grupate pe intervale (clase): barele sunt lipite, pentru că intervalele sunt continue;
• diagrama circulară — fiecare categorie primește un sector proporțional cu frecvența relativă; unghiul sectorului este frecvența relativă × 360°.

La diagrama circulară apare eroarea tipică de conversie: o categorie cu 25% NU primește un sector de 25°, ci de 0,25 × 360° = 90°. Procentul și unghiul sunt mărimi diferite, legate prin factorul 3,6.

Citirea graficelor este jumătate din subiect: din histogramă se extrag frecvențele fiecărei clase și abia apoi se calculează indicatorii ceruți.

Media, mediana și modulul

Indicatorii tendinței centrale rezumă un șir de date printr-un singur număr — fiecare cu logica lui.

Media aritmetică: suma datelor împărțită la numărul lor. Pentru date cu frecvențe, se folosește media ponderată: fiecare valoare se înmulțește cu frecvența ei, iar suma produselor se împarte la suma frecvențelor (nu la numărul valorilor distincte!). Media notelor 10, 10, 10, 4 este (3 · 10 + 4)/4 = 8,5 — nu (10 + 4)/2 = 7. Împărțirea la numărul de valori distincte în loc de numărul total de date este eroarea dominantă la mediile ponderate.

Mediana: valoarea din mijlocul șirului ORDONAT. Algoritm: ordonezi datele crescător; la număr impar de date, mediana este termenul din mijloc; la număr par, mediana este media aritmetică a celor doi termeni centrali. Ambele detalii se uită frecvent: ordonarea prealabilă (mediana unui șir neordonat nu are sens) și cazul par.

Modulul (moda): valoarea cu frecvența maximă — cea care apare cel mai des. Un set de date poate avea un modul, mai multe module (bimodal) sau niciunul (toate valorile apar la fel de des). Nu confunda modulul statistic cu modulul |x| de la numere reale — același cuvânt, concepte complet diferite.

De ce există trei indicatori: media este sensibilă la valori extreme, mediana nu. La salariile 2000, 2200, 2400, 2500, 50000, media (11820) descrie prost situația tipică, mediana (2400) o descrie corect. Alegerea indicatorului potrivit — și explicarea alegerii — este exact genul de întrebare de interpretare din subiectele moderne.

Proprietate utilă a mediei: dacă toate datele cresc cu aceeași constantă c, media crește exact cu c; dacă toate se înmulțesc cu k, media se înmulțește cu k.

Dispersia și abaterea medie pătratică

Media singură nu spune cât de împrăștiate sunt datele: șirurile 9, 10, 11 și 0, 10, 20 au aceeași medie 10, dar variabilitate complet diferită. Indicatorii de împrăștiere măsoară exact această diferență.

Abaterea unei valori de la medie este diferența x − m. Suma tuturor abaterilor de la medie este întotdeauna zero — abaterile pozitive și negative se compensează exact — motiv pentru care media abaterilor simple este inutilizabilă ca indicator. De aceea abaterile se ridică la pătrat.

Dispersia (varianța) este media pătratelor abaterilor de la medie:

D = [(x₁ − m)² + (x₂ − m)² + ... + (xₙ − m)²] / n.

Abaterea medie pătratică (abaterea standard) este radicalul dispersiei: σ = √D. Ea readuce indicatorul în unitatea de măsură a datelor (dispersia este în unități la pătrat — „centimetri pătrați” pentru date în centimetri — deci greu de interpretat direct).

Exemplu complet pentru datele 2, 4, 6, 8: media m = 5; abaterile: −3, −1, 1, 3; pătratele: 9, 1, 1, 9; dispersia D = 20/4 = 5; abaterea standard σ = √5 ≈ 2,24.

Interpretarea — partea cerută la subiectele de raționament: dispersie mică înseamnă date strânse în jurul mediei (rezultate omogene, constante); dispersie mare înseamnă date împrăștiate (rezultate neomogene). Doi elevi cu aceeași medie dar abateri standard diferite au profiluri diferite: cel cu σ mic este constant, cel cu σ mare alternează note foarte bune cu foarte slabe.

Greșelile de calcul recurente: uitarea ridicării la pătrat (rezultatul iese 0 și ar trebui să alarmeze), împărțirea înainte de însumarea tuturor pătratelor și confuzia dispersie–abatere standard (una este pătratul celeilalte — la răspuns se citește atent ce se cere).

Experiment aleator, evenimente și probabilitate

Un experiment aleator este un experiment al cărui rezultat nu poate fi prezis cu certitudine: aruncarea unui zar, extragerea unei bile dintr-o urnă. Vocabularul standard:

• proba (cazul, rezultatul elementar) — un rezultat individual posibil; la zar: apariția feței 3;
• mulțimea cazurilor posibile — toate rezultatele elementare; la zar: {1, 2, 3, 4, 5, 6};
• evenimentul — o submulțime a cazurilor posibile; „apare număr par” este evenimentul {2, 4, 6};
• un eveniment se realizează când rezultatul experimentului aparține submulțimii lui.

Evenimente speciale:

• evenimentul sigur — se realizează la orice probă (întreaga mulțime a cazurilor); „apare un număr cel mult egal cu 6” la zar;
• evenimentul imposibil — nu se realizează niciodată (mulțimea vidă); „apare 7” la zar;
• evenimentul contrar al lui A, notat non A — se realizează exact când A nu se realizează; contrarul lui „apare număr par” este „apare număr impar”.

Probabilitatea măsoară șansa de realizare a unui eveniment printr-un număr din intervalul [0, 1]: evenimentul imposibil are probabilitatea 0, evenimentul sigur are probabilitatea 1, iar orice alt eveniment se află între ele. Probabilitățile se pot exprima și procentual (0,25 = 25%) sau fracționar (1/4) — aceeași valoare în trei haine.

Două teste de sănătate a rezultatului, care elimină răspunsuri greșite fără recalculare: o probabilitate negativă sau supraunitară (7/6, 1,3, 120%) este imposibilă — indică o eroare sigură de numărare sau de formulă.

Intuiția frecvenței: la repetarea experimentului de un număr mare de ori, frecvența relativă de apariție a evenimentului se apropie de probabilitatea lui — legătura dintre statistica primelor secțiuni și probabilitățile care urmează.

Probabilitatea clasică

Definiția clasică a probabilității (Laplace): dacă toate cazurile posibile sunt egal probabile, atunci

P(A) = numărul cazurilor favorabile / numărul cazurilor posibile.

Condiția de aplicare — cazuri egal probabile — face parte din definiție: zarul trebuie să fie corect, moneda nemăsluită, extragerea „la întâmplare”. Formula nu se aplică unde rezultatele nu au aceeași șansă.

Exemple de bază:

• zar: P(număr par) = 3/6 = 1/2; P(număr prim) = 3/6 = 1/2 (cazurile favorabile: 2, 3, 5);
• urnă cu 3 bile albe și 7 negre: P(albă) = 3/10;
• „un număr natural de două cifre ales la întâmplare este divizibil cu 5”: cazuri posibile 90 (de la 10 la 99), favorabile 18 (10, 15, ..., 95), deci P = 18/90 = 1/5.

Toată dificultatea practică este numărarea corectă a celor două mulțimi:

• cazurile posibile se numără la nivelul întregului experiment, nu al unei părți: la aruncarea a două monede, cazurile sunt 4 — (S,S), (S,B), (B,S), (B,B) — nu 3; „un cap și o pajură” are probabilitatea 2/4, nu 1/3, pentru că ordinea distinge cazurile;
• cazurile favorabile trebuie să fie submulțime a celor posibile, numărate în același mod;
• la numărarea în intervale, formula capăt − capăt + 1: numerele de la 10 la 99 sunt 99 − 10 + 1 = 90, nu 89 — eroarea „off by one” clasică.

Greșeala conceptuală des întâlnită: raportarea favorabilelor la nefavorabile în loc de posibile („3 șanse din 7” în loc de 3/10 la urna de mai sus). Probabilitatea se raportează întotdeauna la totalul cazurilor posibile.

Verificare recomandată: probabilitățile tuturor cazurilor elementare trebuie să însumeze 1 — dacă evenimentele analizate acoperă tot experimentul fără suprapuneri, suma probabilităților lor trebuie să dea exact 1.

Operații cu evenimente și proprietăți ale probabilității

Evenimentele fiind mulțimi, operațiile cu mulțimi devin operații cu evenimente:

• A ∪ B (reuniunea) — se realizează cel puțin unul dintre evenimente; corespunde lui „sau”;
• A ∩ B (intersecția) — se realizează ambele simultan; corespunde lui „și”;
• evenimentele incompatibile — nu se pot realiza simultan: A ∩ B = ∅; la o singură aruncare de zar, „apare 2” și „apare 5” sunt incompatibile.

Proprietățile probabilității:

• 0 ≤ P(A) ≤ 1; P(∅) = 0; P(eveniment sigur) = 1;
• regula evenimentului contrar: P(non A) = 1 − P(A) — adesea drumul scurt: probabilitatea „cel puțin unei” realizări se calculează cel mai ușor ca 1 minus probabilitatea lui „niciuna”;
• regula adunării, forma generală: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) — același principiu al includerii-excluderii de la cardinale; cazurile din intersecție ar fi numărate de două ori;
• doar pentru evenimente incompatibile formula se simplifică: P(A ∪ B) = P(A) + P(B).

Adunarea probabilităților fără scăderea intersecției este eroarea centrală a capitolului. Exemplu la zar: P(par) + P(mai mic decât 4) = 1/2 + 1/2 = 1 ar însemna eveniment sigur — dar 5 nu e nici par, nici mai mic decât 4. Corect: P(par ∪ mai mic decât 4) = 1/2 + 1/2 − 1/6 = 5/6 (intersecția este {2}).

Semnal de alarmă automat: dacă din adunare rezultă o probabilitate peste 1, evenimentele sigur nu erau incompatibile și intersecția a fost omisă.

Capcană de limbaj matematic: „cel puțin unul” ≠ „exact unul”. La două monede, „cel puțin o stemă” cuprinde și cazul cu două steme (P = 3/4), pe când „exact o stemă” îl exclude (P = 2/4). Citirea precisă a enunțului decide care eveniment se numără — iar trecerea prin evenimentul contrar („nicio stemă”, P = 1/4) este de regulă calea cea mai rapidă pentru „cel puțin”.

Test — 6 întrebări ca la examen