Geometrie analitică în plan

Studiul dreptei și al cercului în plan prin metode analitice, folosind coordonate carteziene.

Repere carteziene: distanță, mijloc, coliniaritate

În reperul cartezian xOy, fiecare punct este o pereche de coordonate: A(x_A, y_A). Formulele de bază, folosite în aproape orice subiect de geometrie analitică:

• distanța dintre două puncte: AB = √((x_B − x_A)² + (y_B − y_A)²) — teorema lui Pitagora aplicată pe diferențele de coordonate; nu uita radicalul la final;
• mijlocul segmentului [AB]: M((x_A + x_B)/2, (y_A + y_B)/2) — media aritmetică pe fiecare coordonată;
• centrul de greutate al triunghiului ABC: G((x_A + x_B + x_C)/3, (y_A + y_B + y_C)/3).

Cu distanța se demonstrează natura triunghiurilor: isoscel — două laturi egale; echilateral — trei; dreptunghic — reciproca teoremei lui Pitagora: cea mai mare latură la pătrat egală cu suma pătratelor celorlalte două. Compararea se face pe pătratele distanțelor, ca să eviți radicalii.

Coliniaritatea a trei puncte se verifică cel mai sigur cu ariile: punctele A, B, C sunt coliniare exact când aria „triunghiului” ABC este zero. Formula ariei prin coordonate: Aria = |Δ|/2, unde Δ = x_A(y_B − y_C) + x_B(y_C − y_A) + x_C(y_A − y_B). Modulul din formulă este obligatoriu — o arie nu poate fi negativă, iar semnul lui Δ ține doar de ordinea de parcurgere a vârfurilor.

Greșeală des întâlnită: verificarea coliniarității „din desen” — desenul orientează, dar nu demonstrează; baremul cere calculul (Δ = 0 sau pantele egale), nu impresia grafică.

Ecuațiile dreptei și panta

O dreaptă în plan se descrie prin mai multe forme de ecuație — trebuie să treci lejer dintr-una în alta:

• ecuația generală (carteziană): ax + by + c = 0, cu a și b nu simultan nule;
• ecuația explicită: y = mx + n, unde m este panta iar n ordonata la origine; se obține din forma generală izolând y (posibil doar dacă b ≠ 0);
• dreapta prin două puncte A(x_A, y_A), B(x_B, y_B): panta m = (y_B − y_A)/(x_B − x_A), apoi y − y_A = m(x − x_A);
• dreapta printr-un punct cu pantă dată: y − y₀ = m(x − x₀) — forma cea mai rapidă în aplicații.

Panta măsoară înclinarea: m = tangenta unghiului făcut de dreaptă cu sensul pozitiv al axei Ox. Panta pozitivă — dreapta „urcă”; negativă — „coboară”; zero — dreaptă orizontală (y = constant). Dreptele verticale (x = constant) nu au pantă — numitorul x_B − x_A se anulează; ele se tratează separat în orice raționament cu pante, iar uitarea acestui caz special este o sursă clasică de soluții incomplete.

Atenție la ordinea diferențelor în formula pantei: (y_B − y_A)/(x_B − x_A) — ambele diferențe în aceeași ordine; inversarea uneia singure schimbă semnul pantei.

Un punct aparține dreptei dacă și numai dacă coordonatele lui verifică ecuația — testul universal: înlocuiești și compari. Intersecția a două drepte se află rezolvând sistemul format din cele două ecuații: soluția unică = punct de intersecție; sistem incompatibil = drepte paralele; nedeterminat = drepte confundate.

Paralelism, perpendicularitate, distanța la o dreaptă

Condițiile pe pante — perechea de criterii care decide majoritatea subiectelor:

• paralelism: d₁ paralelă cu d₂ ⇔ m₁ = m₂ (și n₁ ≠ n₂, altfel dreptele coincid);
• perpendicularitate: d₁ perpendiculară pe d₂ ⇔ m₁·m₂ = −1.

Pentru perpendicularitate, panta noii drepte este opusul inversului: dacă m₁ = 2/3, atunci m₂ = −3/2. Greșelile tipice iau doar opusul (−2/3) sau doar inversul (3/2) — ambele pică testul m₁·m₂ = −1. Cazurile speciale merg logic: orizontală ⊥ verticală, fără formulă.

Problemă-tip rezolvată: dreapta prin P(1, 2) perpendiculară pe d: y = 2x − 3. Panta lui d este 2, deci panta perpendicularei este −1/2; ecuația: y − 2 = −1/2·(x − 1), adică x + 2y − 5 = 0.

Distanța de la punctul M(x₀, y₀) la dreapta de ecuație generală ax + by + c = 0:

d(M, h) = |ax₀ + by₀ + c|/√(a² + b²)

Trei condiții de aplicare corectă: ecuația trebuie adusă la forma generală (toți termenii într-un membru, egal cu 0); la numărător stă modulul (distanța nu e negativă); la numitor intră coeficienții lui x și y, nu și termenul liber. Cine aplică formula pe forma y = mx + n fără să o rearanjeze obține sistematic rezultate greșite.

Aplicație frecventă: aria unui triunghi calculată ca (baza × înălțimea)/2, unde înălțimea este distanța de la vârf la dreapta-suport a bazei — combinația formulei distanței cu ecuația dreptei prin două puncte.

Cercul: ecuația, centrul și raza

Cercul de centru C(a, b) și rază r > 0 este mulțimea punctelor aflate la distanța r de C; ecuația provine direct din formula distanței:

(x − a)² + (y − b)² = r²

Citirea centrelor din ecuație cere atenție la semne: (x − 3)² + (y + 2)² = 25 are centrul C(3, −2) — coordonata se ia cu semn schimbat față de cum apare în paranteză, pentru că forma-standard conține minusuri. Iar raza este √25 = 5, nu 25: membrul drept este r², nu r — cele două confuzii de mai sus sunt cele mai frecvente erori ale capitolului.

Ecuația generală a cercului: x² + y² + mx + ny + p = 0. Aducerea la forma-standard se face prin restrângerea pătratelor (completarea pătratului): x² + y² − 6x + 4y − 3 = 0 devine (x² − 6x + 9) + (y² + 4y + 4) = 3 + 9 + 4, adică (x − 3)² + (y + 2)² = 16 — centru (3, −2), rază 4. Termenii adăugați în stânga se adaugă obligatoriu și în dreapta.

Condiția ca ecuația generală să reprezinte un cerc real: expresia rezultată în membrul drept (viitorul r²) trebuie să fie strict pozitivă; dacă iese zero, „cercul” e un punct, dacă iese negativă, mulțimea e vidă. Observație de recunoaștere: ecuația generală a unui cerc are coeficienți egali la x² și y² și nu conține termen xy.

Verificarea apartenenței unui punct la cerc: înlocuiești coordonatele în ecuație. Rezultat egal cu r² — punct pe cerc; mai mic — interior; mai mare — exterior. Comparația cu r², nu cu r, este din nou pasul sensibil.

Poziția dreptei față de cerc și probleme de sinteză

Poziția unei drepte h față de cercul de centru C și rază r se decide comparând distanța de la centru la dreaptă cu raza:

• d(C, h) < r: dreapta este secantă — taie cercul în două puncte;
• d(C, h) = r: dreapta este tangentă — un singur punct comun;
• d(C, h) > r: dreapta este exterioară — niciun punct comun.

Metoda echivalentă, algebrică: rezolvi sistemul dreaptă–cerc (înlocuiești y din ecuația dreptei în ecuația cercului) și obții o ecuație de gradul al II-lea; numărul soluțiilor reale — adică semnul discriminantului — dă numărul punctelor comune. Metoda distanței e de obicei mai scurtă; metoda sistemului dă în plus coordonatele punctelor de intersecție, când acestea se cer explicit.

Proprietatea geometrică a tangentei: raza dusă în punctul de tangență este perpendiculară pe tangentă. De aici, tangenta la cerc într-un punct T de pe cerc: calculezi panta razei CT, iei panta perpendiculară (produs −1) și scrii dreapta prin T cu acea pantă.

Probleme de sinteză tipice pentru BAC:

• cercul cu diametrul [AB]: centrul este mijlocul lui [AB], raza este AB/2 — două formule de la începutul capitolului, înlănțuite;
• cercul prin trei puncte necoliniare: scrii ecuația generală x² + y² + mx + ny + p = 0, înlocuiești cele trei puncte și rezolvi sistemul liniar în m, n, p;
• intersecția a două cercuri: se scad ecuațiile generale (dispar termenii pătratici) și rămâne ecuația unei drepte — axa radicală — care se intersectează apoi cu unul dintre cercuri.

În toate, verificarea finală prin înlocuirea punctelor găsite în ecuațiile inițiale prinde erorile de semn înainte să coste.

Test — 6 întrebări ca la examen