Noțiuni introductive de statistică descriptivă și calcul al probabilităților.
Statistica descriptivă organizează și rezumă date. Vocabularul de bază: populația statistică este mulțimea tuturor unităților studiate (elevii unei școli), eșantionul este partea efectiv observată, iar caracteristica (variabila) este însușirea măsurată — cantitativă (notă, înălțime) sau calitativă (culoarea ochilor, oraș natal).
Pentru o valoare x a caracteristicii:
Două verificări care prind majoritatea erorilor: suma frecvențelor absolute trebuie să dea exact N, iar suma frecvențelor relative trebuie să dea 1 (adică 100%). Dacă procentele tale însumează 98% sau 105%, undeva e o greșeală de calcul — nu un „efect de rotunjire” de 5 puncte.
Datele se prezintă în tabele de frecvență și grafic: diagrama cu bare (categorii pe orizontală, frecvențe pe verticală), diagrama circulară (fiecare categorie primește un sector proporțional cu frecvența relativă: unghiul sectorului = f_x·360°) și histograma pentru date grupate pe intervale.
Capcană de citire a diagramelor circulare: sectorul de 90° NU înseamnă „90 de unități”, ci un sfert din total (90/360 = 25%). Conversia unghi–procent–număr de unități trece obligatoriu prin frecvența relativă; săritul acestui pas produce răspunsuri de zece ori greșite.
Media aritmetică a datelor x₁, x₂, ..., x_N este suma lor împărțită la numărul lor. Când datele vin în tabel de frecvențe, media este ponderată: fiecare valoare se înmulțește cu frecvența ei, iar suma se împarte la totalul frecvențelor — NU media valorilor distincte. Exemplu: notele 10, 10, 10, 4 au media (30 + 4)/4 = 8,5, nu (10 + 4)/2 = 7.
Mediana este valoarea „din mijloc” după ordonarea crescătoare a datelor:
Pasul de ordonare nu este opțional: mediana datelor 7, 2, 9 nu este 2, ci 7 (după ordonare: 2, 7, 9). Omiterea ordonării este cea mai frecventă eroare la mediană.
Modulul (moda) este valoarea cu frecvența cea mai mare. O serie poate avea un modul, două (bimodală) sau niciunul (toate frecvențele egale). Atenție la confuzia de limbaj: modulul statistic nu are nicio legătură cu modulul |x| al unui număr real — același cuvânt, concepte diferite.
Când care indicator? Media folosește toate valorile, dar este sensibilă la valori extreme: un singur salariu uriaș „trage” media în sus. Mediana rezistă la extreme — de aceea veniturile se raportează median, nu mediu. Exemplu edificator: datele 2, 3, 3, 4, 38 au media 10, dar mediana 3 — media nu descrie aici „centrul” real al datelor, iar întrebările de interpretare exact asta testează.
Doi elevi pot avea aceeași medie cu evoluții complet diferite: 7, 7, 7 față de 4, 7, 10. Indicatorii de împrăștiere măsoară cât de „departe” stau datele de medie.
Amplitudinea = valoarea maximă − valoarea minimă: cel mai simplu indicator, dar folosește doar două date.
Dispersia (varianța) este media pătratelor abaterilor de la medie:
σ² = [(x₁ − m)² + (x₂ − m)² + ... + (x_N − m)²]/N, unde m este media.
De ce pătratele? Suma abaterilor simple (x_i − m) dă întotdeauna zero — abaterile pozitive și negative se anulează reciproc, deci media lor nu măsoară nimic. Ridicarea la pătrat face toate abaterile pozitive și pedepsește abaterile mari.
Abaterea standard (abaterea medie pătratică) este σ = √dispersie — revenirea la unitatea de măsură inițială: dacă datele sunt în puncte, dispersia e în „puncte la pătrat”, dar abaterea standard e din nou în puncte, deci comparabilă direct cu media.
Exemplu complet pentru datele 4, 7, 10: media m = 7; abaterile −3, 0, 3; pătratele 9, 0, 9; dispersia σ² = 18/3 = 6; abaterea standard σ = √6 ≈ 2,45. Pentru 7, 7, 7: dispersie 0 — împrăștiere nulă, toate datele coincid cu media.
Interpretare: σ mic = date strânse în jurul mediei (elev constant); σ mare = date împrăștiate (elev oscilant). Ordinea operațiilor este fixă: întâi media, apoi abaterile, apoi pătratele, apoi media pătratelor, la final radicalul — inversarea pașilor (de exemplu radical înainte de mediere) dă alt indicator.
Un experiment aleator are rezultate imposibil de prezis individual (aruncarea zarului), dar cu comportament descriptibil. Fiecare rezultat posibil este un caz elementar; mulțimea tuturor formează spațiul evenimentelor Ω. Un eveniment este o submulțime a lui Ω.
Evenimente speciale: evenimentul sigur Ω (se produce mereu), evenimentul imposibil ∅, evenimentul contrar al lui A — notat non-A — care se produce exact când A nu se produce.
Definiția clasică a probabilității (pentru cazuri elementare egal posibile):
P(A) = numărul cazurilor favorabile / numărul cazurilor posibile
Condiția de echiprobabilitate face parte din definiție: la un zar măsluit formula nu se aplică. Consecințe imediate: 0 ≤ P(A) ≤ 1, P(Ω) = 1, P(∅) = 0 — o probabilitate de 1,2 sau de −0,3 este semnal de eroare de numărare, nu un rezultat.
Regula contrarului: P(non-A) = 1 − P(A) — adesea drumul scurt: probabilitatea să obții „cel puțin un 6” din două aruncări se calculează cel mai ușor prin contrariul „niciun 6”: 1 − 25/36 = 11/36.
Disciplina numărării cazurilor este totul. Exemplu-capcană celebru: la aruncarea a două monede, rezultatele nu sunt 3 („două steme”, „două valori”, „una și una”), ci 4 cazuri egal posibile: SS, SV, VS, VV — perechea „una și una” apare pe două căi, deci are probabilitatea 2/4, nu 1/3. Când numeri cazuri, distinge obiectele între ele (moneda 1 și moneda 2), chiar dacă arată identic.
La extrageri din urnă: „număr par SAU divizibil cu 3” cere reuniunea mulțimilor favorabile, numărată fără dubluri — 6 este și par, și divizibil cu 3, dar se numără o singură dată.
Operațiile cu evenimente copiază operațiile cu mulțimi: A ∪ B = se produce cel puțin unul; A ∩ B = se produc amândouă; evenimentele sunt incompatibile dacă A ∩ B = ∅ (nu se pot produce simultan).
Formula reuniunii — versiunea probabilistă a includerii-excluderii:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Adunarea simplă P(A) + P(B) este corectă numai pentru evenimente incompatibile; altfel intersecția se numără de două ori. Test rapid: dacă suma probabilităților depășește 1, evenimentele sigur nu erau incompatibile.
Independența: A și B sunt independente dacă producerea unuia nu influențează probabilitatea celuilalt; matematic, P(A ∩ B) = P(A)·P(B). Aruncările succesive ale unui zar sunt independente; extragerile fără revenire dintr-o urnă NU sunt — prima extragere schimbă compoziția urnei pentru a doua.
Distincția-cheie, sursa celor mai multe confuzii: incompatibil ≠ independent. Incompatibilitatea spune că evenimentele nu pot coexista (P(A ∩ B) = 0); independența spune că nu se influențează (P(A ∩ B) = P(A)·P(B)). Două evenimente incompatibile cu probabilități nenule sunt automat dependente: dacă s-a produs A, știi sigur că B nu s-a produs — influență maximă.
Exemplu cu și fără revenire: urnă cu 3 bile albe și 2 negre; probabilitatea a două bile albe consecutive. Cu revenire: (3/5)·(3/5) = 9/25. Fără revenire: (3/5)·(2/4) = 3/10 — la a doua extragere au rămas 2 albe din 4 bile. Recitirea enunțului pentru a decide „cu sau fără revenire” este primul pas al oricărei probleme de acest tip; aplicarea formulei de independență la extrageri fără revenire este greșeala standard.