Funcții putere, funcții radical și funcții cu modul

Studiul funcțiilor de tip putere, radical și al funcțiilor care implică valoarea absolută.

Funcția putere cu exponent natural

Funcția putere este f : R → R, f(x) = xⁿ, cu n număr natural nenul. Comportamentul ei se desparte radical după paritatea exponentului — aceasta este ideea centrală a întregii lecții:

n par (x², x⁴, ...):

• funcția este pară: f(−x) = (−x)ⁿ = xⁿ = f(x); graficul e simetric față de axa Oy, cu alură de parabolă;
• valorile sunt mereu ≥ 0, deci Im f = [0, +∞);
• descrește pe (−∞, 0] și crește pe [0, +∞) — nu este monotonă pe R;
• nu este injectivă pe R: f(−1) = f(1).

n impar (x³, x⁵, ...):

• funcția este impară: f(−x) = −f(x); graficul e simetric față de origine;
• este strict crescătoare pe tot R și ia toate valorile reale: Im f = R;
• este bijectivă de la R la R, deci inversabilă — inversa este radicalul de ordin impar.

Consecința algebrică pe care se sprijină rezolvarea ecuațiilor: ecuația xⁿ = a are, în R:

• pentru n impar: exact o soluție, oricare ar fi a real (inclusiv negativ);
• pentru n par: două soluții ±ⁿ√a dacă a > 0, o soluție (x = 0) dacă a = 0 și niciuna dacă a < 0.

Greșeala tipică: la x² = 9 se dă doar soluția x = 3 și se pierde x = −3; corect x = ±3. Invers, la x³ = −8 unii declară „nu are soluție”, deși x = −2 este soluție legitimă — cuburile numerelor negative sunt negative.

Funcția radical: domeniu și proprietăți

Radicalul de ordin n se comportă complet diferit după paritatea lui n — oglinda situației de la puteri:

Radical de ordin par (√x, ⁴√x): definit doar pentru x ≥ 0, cu valori ≥ 0. Funcția f : [0, +∞) → [0, +∞), f(x) = √x este strict crescătoare și bijectivă între aceste mulțimi. Este inversa funcției x² restrânsă la [0, +∞) — restricția e obligatorie, pentru că pe tot R pătratul nu e injectiv.

Radical de ordin impar (³√x, ⁵√x): definit pe tot R, cu valori în R: ³√(−8) = −2 există fără probleme. Funcția f : R → R, f(x) = ³√x este strict crescătoare și bijectivă, inversa lui x³.

Domeniul de definiție — primul pas obligatoriu în orice exercițiu cu radicali: pentru √(expresie), condiția este expresie ≥ 0 (inecuație pe care o rezolvi cu tabel de semn dacă expresia e de gradul al II-lea). Pentru radicali de ordin impar nu se pune nicio condiție. Cine sare peste stabilirea domeniului poate „găsi” soluții care nu există.

Identitatea-capcană, reluată din capitolul numerelor reale: √(x²) = |x|, nu x. General: la ordin par, ²ᵏ√(x²ᵏ) = |x|; la ordin impar, ³√(x³) = x fără modul.

Monotonia radicalului dă o unealtă puternică de comparare: din 0 ≤ a < b rezultă √a < √b — inegalitățile se păstrează sub radical. De exemplu √50 > √49 = 7, deci √50 > 7, fără nicio aproximare zecimală.

Ecuații iraționale elementare

O ecuație irațională conține necunoscuta sub radical. Schema de rezolvare pentru tipul de bază √(f(x)) = g(x):

1. Condiții de existență: f(x) ≥ 0 (radicandul nenegativ); 2. Condiție de compatibilitate: g(x) ≥ 0 — un radical de ordin par nu poate fi egal cu ceva negativ; fără această condiție apar soluții străine; 3. Ridicarea la pătrat: f(x) = g(x)², apoi rezolvarea ecuației obținute; 4. Verificarea soluțiilor în ecuația inițială — pas de barem, nu formalitate.

De ce apar soluții străine: ridicarea la pătrat nu este o transformare echivalentă — din a = b rezultă a² = b², dar din a² = b² rezultă doar a = ±b. Pătratul „uită” semnul, iar ecuația derivată poate avea soluții pe care originalul nu le are.

Exemplu lucrat: √(x + 7) = x + 1. Condiții: x ≥ −7 și x ≥ −1, deci x ≥ −1. Ridicăm la pătrat: x + 7 = x² + 2x + 1, adică x² + x − 6 = 0, cu soluțiile x = 2 și x = −3. Dar x = −3 nu satisface condiția x ≥ −1 (verificare directă: membrul stâng √4 = 2, membrul drept −2 — nu coincid). Soluția finală: x = 2. Cine raportează ambele valori pierde punctele de verificare.

Pentru radicali de ordin impar ridicarea la cub este echivalentă (cubul păstrează semnul), deci nu apar soluții străine și nu e nevoie de condiții de semn.

La ecuațiile cu doi radicali, de tip √A = √B, se impun ambele condiții de existență și se egalează radicanzii: A = B, cu A, B ≥ 0.

Funcții cu modul: definiție pe ramuri și grafic

Funcția modul de bază, f(x) = |x|, se scrie pe ramuri: f(x) = x pentru x ≥ 0 și f(x) = −x pentru x < 0. Graficul este un unghi în formă de V cu vârful în origine: bisectoarea a doua pentru x < 0 și prima bisectoare pentru x ≥ 0. Funcția e pară, descrește pe (−∞, 0], crește pe [0, +∞) și are minimul 0 în x = 0.

Pentru o funcție compusă cu modulul, |f(x)|, regula grafică de aur: porțiunile graficului lui f aflate deasupra axei Ox rămân pe loc, iar porțiunile de sub axă se oglindesc simetric deasupra ei. De aceea |f(x)| ≥ 0 peste tot, iar zerourile lui f devin „colțuri” ale graficului lui |f|.

Exemplu: g(x) = |x − 2| are graficul lui x − 2 cu partea de sub axă (x < 2) răsturnată în sus — un V cu vârful în (2, 0). General: |x − a| are vârful în (a, 0), iar |x − a| + b în (a, b) — translațiile pe orizontală se citesc în interiorul modulului (cu semn schimbat), cele pe verticală în afara lui.

Scrierea pe ramuri a unei expresii cu modul se face după semnul expresiei din interior, nu după semnul lui x — greșeala cea mai des întâlnită: |x − 2| = x − 2 pentru x ≥ 2 (nu pentru x ≥ 0!) și |x − 2| = 2 − x pentru x < 2.

Pentru expresii cu mai multe module, se face tabelul cu zerourile fiecărui modul, care împart axa în intervale; pe fiecare interval fiecare modul se explicitează cu semnul corespunzător, iar la final se reunesc soluțiile obținute pe fiecare interval — doar cele care chiar aparțin intervalului respectiv.

Monotonie, comparări și tipuri de subiecte

Tabloul monotoniilor de reținut pentru comparări rapide:

• xⁿ cu n impar și ⁿ√x cu n impar: strict crescătoare pe R;
• xⁿ cu n par: descrește pe (−∞, 0], crește pe [0, +∞);
• √x, ⁴√x: strict crescătoare pe [0, +∞);
• |x|: descrește pe (−∞, 0], crește pe [0, +∞).

Strict crescător înseamnă că ordinea se păstrează: din a < b rezultă a³ < b³ și ³√a < ³√b, fără condiții de semn. La puteri pare, în schimb, din a < b NU rezultă a² < b² decât dacă ambele numere sunt nenegative: −3 < 2, dar 9 > 4. Aplicarea pătratului pe o inegalitate cu membri de semne necunoscute este una dintre cele mai scumpe greșeli la inecuațiile iraționale.

Comparări-tip fără calculator:

• aducerea la același ordin de radical: √2 față de ³√3 — se ridică ambele la puterea 6: (√2)⁶ = 8 și (³√3)⁶ = 9, deci ³√3 > √2;
• încadrarea între întregi: 2 < √5 < 3 pentru că 4 < 5 < 9;
• conjugata pentru diferențe de radicali: √(n+1) − √n = 1/(√(n+1) + √n), care scade când n crește.

La BAC, capitolul apare tipic prin: stabilirea domeniului de definiție al unei funcții cu radical (inecuație de gradul al II-lea), ecuații iraționale scurte cu verificarea soluțiilor, ecuații cu modul de tip |f(x)| = a (care se desface în f(x) = a sau f(x) = −a, doar pentru a ≥ 0), interpretarea grafică a funcțiilor în V și calculul minimului unei expresii de forma |x − a| + |x − b| — minimul este |a − b|, atins pentru x între a și b.

Test — 6 întrebări ca la examen