Funcții de gradul I și al II-lea

Studiul funcțiilor liniare și pătratice, proprietățile și graficele acestora.

Funcția de gradul I: grafic, monotonie, semn

Funcția de gradul I are forma f : R → R, f(x) = ax + b, cu a ≠ 0 (dacă a = 0 rămâne funcția constantă f(x) = b, care NU este de gradul I — precizare cerută la definiții). Graficul este o dreaptă.

Rolul coeficienților:

• a este panta dreptei: măsoară înclinarea. Pentru a > 0 funcția este strict crescătoare, pentru a < 0 strict descrescătoare — monotonia se citește direct din semnul lui a, iar demonstrația riguroasă folosește raportul de variație (f(x₂) − f(x₁))/(x₂ − x₁) = a.
• b = f(0) este ordonata punctului în care dreapta taie axa Oy: punctul (0, b).

Intersecția cu axa Ox se obține din f(x) = 0, adică x = −b/a: punctul (−b/a, 0). Cele două intersecții cu axele sunt suficiente pentru trasarea graficului — o dreaptă e determinată de două puncte.

Semnul funcției de gradul I — tabelul care fundamentează toate inecuațiile: f are semn contrar lui a înainte de rădăcina −b/a și semnul lui a după rădăcină. Mnemotehnic: „înainte de rădăcină, semn contrar lui a; după, semnul lui a”.

Două drepte de ecuații y = a₁x + b₁ și y = a₂x + b₂ sunt paralele exact când a₁ = a₂ și b₁ ≠ b₂; se intersectează într-un singur punct când a₁ ≠ a₂, iar punctul comun se află rezolvând sistemul format din cele două ecuații — adică egalând expresiile: a₁x + b₁ = a₂x + b₂.

Funcția de gradul al II-lea și forma canonică

Funcția de gradul al II-lea (trinomul) are forma f : R → R, f(x) = ax² + bx + c, cu a ≠ 0. Graficul este o parabolă: cu ramurile în sus dacă a > 0, în jos dacă a < 0 — semnul lui a decide orientarea, prima informație de citit în orice exercițiu.

Forma canonică se obține prin restrângerea pătratului:

f(x) = a(x + b/2a)² − Δ/4a, unde Δ = b² − 4ac este discriminantul.

Din forma canonică se citește vârful parabolei: V(−b/2a, −Δ/4a). Vârful este punctul de minim al funcției dacă a > 0 (valoarea minimă −Δ/4a, atinsă în x = −b/2a) și punctul de maxim dacă a < 0. Confuzia clasică: candidatul dă ca „minim” abscisa −b/2a în loc de valoarea −Δ/4a — abscisa spune UNDE se atinge minimul, valoarea spune CÂT este.

Dreapta verticală x = −b/2a este axă de simetrie a parabolei: puncte cu abscise simetrice față de ea au aceeași imagine. De aici și monotonia pe ramuri, pentru a > 0: f descrește pe (−∞, −b/2a] și crește pe [−b/2a, +∞); pentru a < 0, invers.

Imaginea funcției: Im f = [−Δ/4a, +∞) pentru a > 0, respectiv (−∞, −Δ/4a] pentru a < 0 — funcția de gradul al II-lea nu este niciodată surjectivă pe R → R și nici injectivă (simetria față de axă produce perechi cu aceeași imagine).

Intersecția cu Oy: punctul (0, c). Intersecțiile cu Ox: rădăcinile ecuației ax² + bx + c = 0, dacă există.

Ecuația de gradul al II-lea și relațiile lui Viète

Ecuația ax² + bx + c = 0, a ≠ 0, se discută după semnul discriminantului Δ = b² − 4ac:

• Δ > 0: două rădăcini reale distincte, x₁,₂ = (−b ± √Δ)/2a; parabola taie Ox în două puncte;
• Δ = 0: o rădăcină reală dublă, x₁ = x₂ = −b/2a; parabola este tangentă la Ox;
• Δ < 0: nicio rădăcină reală; parabola nu atinge Ox.

Relațiile lui Viète leagă rădăcinile de coeficienți fără a rezolva ecuația:

• S = x₁ + x₂ = −b/a (atenție la semnul minus — cea mai banală și cea mai frecventă greșeală);
• P = x₁·x₂ = c/a.

Cu ele se calculează expresii simetrice: x₁² + x₂² = S² − 2P; 1/x₁ + 1/x₂ = S/P; x₁³ + x₂³ = S³ − 3SP. La cerința „calculați x₁² + x₂² fără a rezolva ecuația”, baremul punctează exact folosirea lui S² − 2P — rezolvarea explicită consumă timp și riscă erori cu radicali.

Reciproc, două numere cu suma S și produsul P sunt rădăcinile ecuației x² − Sx + P = 0 — util la formarea ecuațiilor noi cu rădăcini transformate.

Descompunerea trinomului în factori, când Δ ≥ 0: ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂). Nu uita factorul a din față — omiterea lui la a ≠ 1 este greșeală de punctaj: 2x² − 2x − 4 = 2(x − 2)(x + 1), nu (x − 2)(x + 1).

Condițiile pe semnele rădăcinilor se citesc din S și P: rădăcini de semne contrare ⇔ P < 0; ambele pozitive ⇔ Δ ≥ 0, P > 0, S > 0; ambele negative ⇔ Δ ≥ 0, P > 0, S < 0.

Semnul trinomului și inecuații de gradul al II-lea

Regula de aur a semnului trinomului f(x) = ax² + bx + c:

• Δ > 0 (rădăcini x₁ < x₂): f are semnul lui a în afara rădăcinilor și semn contrar lui a între rădăcini;
• Δ = 0: f are semnul lui a peste tot, cu excepția rădăcinii duble, unde se anulează;
• Δ < 0: f are semnul lui a pe tot R — nu se anulează niciodată.

Mnemotehnic: „semnul lui a la extremități, semn contrar între rădăcini”. Geometric totul e transparent: pentru a > 0 parabola stă cu ramurile în sus, deci coboară sub Ox doar între rădăcini.

Algoritmul pentru inecuații de gradul al II-lea: aduci totul într-un membru (dreapta rămâne 0), calculezi Δ și rădăcinile, faci tabelul de semn, citești intervalul cerut. Două capcane care taie punctaj:

• la înmulțirea sau împărțirea inecuației cu un număr negativ, sensul inegalității se inversează;
• capetele intervalului se includ (paranteze pătrate) doar la inegalități nestricte (≤, ≥) și doar în punctele unde trinomul se anulează.

Exemplu lucrat: −x² + 4x − 3 ≥ 0. Înmulțim cu −1 și inversăm: x² − 4x + 3 ≤ 0; rădăcinile 1 și 3; a = 1 > 0, deci trinomul e negativ între rădăcini: soluția x ∈ [1, 3].

Aplicație de examen: „determinați m pentru care ax² + bx + c > 0 pentru orice x ∈ R”. Condițiile sunt a > 0 și Δ < 0 (parabolă cu ramuri în sus, complet deasupra axei). Cine uită condiția pe a sau pune Δ ≤ 0 în loc de Δ < 0 pierde exact punctele-cheie; la Δ = 0 trinomul se anulează în rădăcina dublă, deci inegalitatea strictă pică acolo.

Intersecția parabolei cu dreapta. Poziții relative

Poziția relativă a parabolei y = ax² + bx + c față de dreapta y = mx + n se decide prin egalarea expresiilor: ax² + bx + c = mx + n, adică

ax² + (b − m)x + (c − n) = 0.

Numărul de puncte comune este numărul de rădăcini reale ale acestei ecuații, deci totul se reduce la semnul discriminantului ei:

• Δ > 0: dreapta este secantă — taie parabola în două puncte distincte;
• Δ = 0: dreapta este tangentă — un singur punct comun;
• Δ < 0: dreapta este exterioară — niciun punct comun.

Atenție: discriminantul care decide poziția este al ecuației diferență, nu al trinomului inițial — înlocuirea unuia cu celălalt este o greșeală des întâlnită.

Problemele-tip de BAC:

• Coordonatele punctelor de intersecție: rezolvi ecuația, obții abscisele x₁, x₂, apoi calculezi ordonatele înlocuind în oricare dintre ecuații (dreapta e de obicei mai comodă). Un punct de intersecție are nevoie de AMBELE coordonate — cine dă doar abscisele primește punctaj parțial.
• Condiția de tangență: „determinați m astfel încât dreapta y = mx + 1 să fie tangentă parabolei” — impui Δ = 0 pentru ecuația diferență și rezolvi ecuația în m.
• Intersecția a două parabole merge identic: egalezi expresiile; termenii de gradul al II-lea se pot reduce, caz în care rămâne o ecuație de gradul I cu cel mult o soluție.

Verificare finală recomandată: punctul găsit trebuie să satisfacă ambele ecuații — o înlocuire de 10 secunde care prinde majoritatea erorilor de calcul.

Test — 6 întrebări ca la examen