Elemente introductive de statistică descriptivă și calcul de probabilități pentru evenimente simple.
Când culegi date (notele unei clase, temperaturile unei săptămâni), primul pas este organizarea lor. Frecvența absolută a unei valori este de câte ori apare acea valoare în șirul de date; suma tuturor frecvențelor absolute este numărul total de date — o verificare obligatorie a tabelului.
Frecvența relativă este raportul dintre frecvența absolută și numărul total de date; exprimată procentual, arată „ce parte din întreg” reprezintă valoarea. Suma frecvențelor relative este întotdeauna 1 (adică 100%).
Exemplu: notele {7, 8, 8, 9, 8, 7, 10, 8} au tabelul: nota 7 → frecvența 2; nota 8 → frecvența 4; nota 9 → 1; nota 10 → 1. Total: 8 date. Frecvența relativă a notei 8 este 4/8 = 50%.
Reprezentările grafice cerute la examen:
Citirea graficelor este o cerință în sine la Evaluarea Națională: „câți elevi au obținut cel puțin nota 8?” cere adunarea frecvențelor pentru 8, 9 și 10. Capcana obișnuită este confuzia dintre cel puțin (≥, include valoarea) și cel mult (≤), sau dintre „peste 8” (strict) și „cel puțin 8” (include 8).
Media aritmetică a n numere este suma lor împărțită la n:
m = (x₁ + x₂ + ... + xₙ) / n
Exemplu: media notelor 6, 8 și 10 este (6 + 8 + 10)/3 = 8.
Când valorile se repetă, calculul se scurtează cu media ponderată: fiecare valoare se înmulțește cu frecvența ei, se adună produsele și se împarte la suma frecvențelor (numărul total de date):
Exemplu: 2 elevi au nota 7, 4 elevi nota 8, 1 elev nota 9, 1 elev nota 10. Media clasei = (7·2 + 8·4 + 9·1 + 10·1) / (2 + 4 + 1 + 1) = (14 + 32 + 9 + 10)/8 = 65/8 = 8,125.
Greșeala tipică: împărțirea la numărul de valori distincte (aici 4) în loc de numărul total de date (8). Numitorul este întotdeauna suma frecvențelor.
Probleme inverse, frecvente la examen: „media a două numere este 12; unul este 9, cât este celălalt?” Din (9 + x)/2 = 12 rezultă x = 15. Sau: „un elev are mediile 8, 9 și 7; ce medie îi trebuie la a patra materie pentru media generală 8,5?” — din (8 + 9 + 7 + x)/4 = 8,5 rezultă x = 10.
Proprietate utilă de verificare: media este întotdeauna cuprinsă între cea mai mică și cea mai mare valoare din șir. Dacă îți iese în afara acestui interval, calculul e sigur greșit.
Mediana este valoarea „din mijloc” a unui șir de date ordonat crescător:
Exemplu impar: {3, 5, 7, 9, 11} → mediana este 7. Exemplu par: {4, 6, 8, 10} → mediana este (6 + 8)/2 = 7 — observă că mediana poate să nu fie una dintre datele șirului.
Pasul care se uită cel mai des: ordonarea prealabilă. Pentru șirul {9, 2, 7}, mediana NU este 2 (termenul scris la mijloc), ci 7 — după ordonare {2, 7, 9}.
Modulul (valoarea modală) este valoarea cu frecvența cea mai mare — cea care apare cel mai des. Șirul {2, 3, 3, 5, 7} are modulul 3. Un șir poate avea două module (bimodal) sau niciunul (când toate valorile apar la fel de des).
Atenție la coliziunea de termeni: acest „modul” statistic nu are nicio legătură cu modulul unui număr (valoarea absolută |x|) — contextul decide sensul.
De ce există trei indicatori? Fiecare rezumă altfel datele: media folosește toate valorile, dar este trasă în sus sau în jos de valorile extreme; mediana rezistă la extreme (mediana salariilor descrie „omul din mijloc” chiar dacă un salariu uriaș ridică media); modulul arată ce este cel mai răspândit. La examen se cere frecvent calculul tuturor celor trei pentru același șir.
Un experiment aleator este o acțiune al cărei rezultat nu poate fi prezis cu certitudine: aruncarea unui zar, extragerea unei bile. Un eveniment este o situație care se poate realiza sau nu în urma experimentului.
Probabilitatea clasică (pentru rezultate la fel de posibile — echiprobabile):
P(eveniment) = numărul cazurilor favorabile / numărul cazurilor posibile
Exemplu: la aruncarea unui zar, probabilitatea de a obține un număr par este 3/6 = 1/2 (favorabile: 2, 4, 6; posibile: 1–6).
Probabilitatea este întotdeauna un număr între 0 și 1: 0 pentru evenimentul imposibil (nu se poate realiza niciodată — „obțin 7 la un zar obișnuit”), 1 pentru evenimentul sigur (se realizează garantat — „obțin cel mult 6”). Un rezultat de tipul P = 7/6 sau P = −0,2 semnalizează imediat o greșeală: probabil ai inversat fracția sau ai numărat greșit cazurile.
Evenimentul contrar al lui A (notat non A) se realizează exact când A nu se realizează, iar probabilitățile lor se completează:
P(non A) = 1 − P(A)
Adesea contrariul se calculează mai ușor: probabilitatea de a obține „cel puțin un 6” se află mai repede prin 1 minus probabilitatea de a nu obține niciun 6.
Numărarea corectă a cazurilor este tot secretul: citește dacă se cere „par”, „cel puțin 3”, „divizibil cu 3”, și listează explicit cazurile favorabile înainte de a scrie fracția.
Tipurile de probleme care apar constant la Evaluarea Națională:
Bile în urnă: o urnă are 3 bile albe, 5 roșii și 2 negre. Probabilitatea extragerii unei bile roșii = 5/10 = 1/2. Numitorul este totalul bilelor (3 + 5 + 2 = 10) — nu uita nicio culoare la adunare.
Zar: cazurile posibile sunt 6. „Număr prim” → favorabile {2, 3, 5}, deci P = 3/6 = 1/2 (atenție: 1 NU este prim). „Cel puțin 5” → {5, 6}, P = 2/6 = 1/3.
Bilete sau numere: se alege la întâmplare un număr din {1, 2, ..., 20}. Probabilitatea să fie divizibil cu 4: favorabile {4, 8, 12, 16, 20}, adică 5 cazuri, P = 5/20 = 1/4. Metodă: listezi sau numeri multiplii, nu „aproximezi”.
Extragere de litere: din cuvântul MATEMATICA se alege o literă la întâmplare. Cuvântul are 10 litere; litera A apare de 3 ori, deci P(A) = 3/10. Se numără aparițiile, nu literele distincte.
Recomandări de redactare care aduc punctaj întreg: definește evenimentul, scrie explicit numărul cazurilor posibile și al celor favorabile, apoi fracția și simplific-o. Rezultatul se poate cere ca fracție, zecimal sau procent: 1/4 = 0,25 = 25%.
Greșeli recurente: uitarea simplificării nu se punctează de obicei, dar inversarea fracției (posibile/favorabile) da; numărarea dublă a unui caz care satisface două condiții („par SAU divizibil cu 3” pentru 6 — se numără o singură dată); și includerea lui 1 printre numerele prime.