Vectori în plan

Introducerea noțiunii de vector și a operațiilor cu vectori în plan.

Ce este un vector. Vectori egali, vectori opuși, vectorul nul

Un vector este un segment orientat: are un punct de plecare (origine) și un punct de sosire (extremitate), notat de exemplu AB cu săgeată deasupra — de la A spre B. Spre deosebire de un segment obișnuit, vectorul poartă trei informații:

• direcția — dreapta pe care „stă” vectorul (sau orice paralelă la ea);
• sensul — încotro arată săgeata, dintre cele două sensuri posibile pe acea direcție;
• modulul (lungimea) — lungimea segmentului AB, notată |AB|.

Doi vectori sunt egali dacă au aceeași direcție, același sens și același modul. Important și neintuitiv la început: vectorii egali NU trebuie să pornească din același punct — un vector poate fi „mutat” oriunde în plan prin paralelism, rămânând același vector. De aceea în paralelogramul ABCD avem vectorul AB egal cu vectorul DC (nu CD!).

Vectorii opuși au aceeași direcție și același modul, dar sensuri contrare: opusul lui AB este BA, scris și −AB.

Vectorul nul are originea și extremitatea în același punct (AA); modulul lui este 0 și este singurul vector fără direcție și sens determinate.

Greșeala de start: a trata AB și BA ca fiind același vector. Ca segmente au aceeași lungime, dar ca vectori sunt opuși — sensul face parte din identitatea vectorului.

Adunarea vectorilor — regula triunghiului și regula paralelogramului

Suma a doi vectori se construiește geometric, prin două reguli echivalente:

• Regula triunghiului: așezi al doilea vector cu originea în extremitatea primului; suma unește originea primului cu extremitatea celui de-al doilea. Scrisă pe puncte, este relația lui Chasles: AB + BC = AC — „mergi de la A la B, apoi de la B la C: per total ai mers de la A la C”. Condiția de aplicare directă: litera din mijloc trebuie să se repete (extremitatea primului = originea celui de-al doilea).
• Regula paralelogramului: pentru doi vectori cu aceeași origine, AB + AD = AC, unde ABCD este paralelogramul construit pe cei doi vectori, iar AC este diagonala din originea comună.

Pentru mai mulți vectori se aplică regula poligonului: îi așezi în lanț, fiecare cu originea în extremitatea precedentului; suma unește originea primului cu extremitatea ultimului. Consecință elegantă: dacă lanțul se închide (poligon complet), suma este vectorul nul: AB + BC + CA = 0.

Scăderea se reduce la adunarea opusului: AB − AC = AB + CA = CA + AB = CB (după rearanjare cu relația lui Chasles).

Atenție la modul: |u + v| NU este în general |u| + |v| — egalitatea are loc doar pentru vectori cu aceeași direcție și același sens. Pentru vectori perpendiculari de module 3 și 4, modulul sumei este √(9+16) = 5 (Pitagora pe diagonala dreptunghiului), nu 7.

Înmulțirea unui vector cu un scalar

Produsul dintre un număr real k (numit scalar) și un vector v este un vector nou, k·v, cu proprietățile:

• modulul: |k·v| = |k| · |v| — lungimea se înmulțește cu |k|;
• direcția: aceeași cu a lui v (k·v este paralel cu v);
• sensul: același cu v dacă k > 0, contrar dacă k < 0; pentru k = 0 se obține vectorul nul.

Exemple: 2v este de două ori mai lung decât v, în același sens; −3v este de trei ori mai lung, în sens opus; v/2 este jumătatea lui v.

Proprietățile de calcul le imită pe cele ale numerelor: k(u + v) = ku + kv; (k + m)v = kv + mv; k(mv) = (km)v. Practic, cu vectorii se calculează „algebric” aproape ca și cu literele obișnuite, cu grija de a nu înmulți vectori între ei (la clasa a VIII-a nu se definește produsul a doi vectori).

Instrumentul-cheie pe care îl generează înmulțirea cu scalar este condiția de coliniaritate: doi vectori nenuli u și v sunt coliniari (au aceeași direcție) dacă și numai dacă există un scalar k cu u = k·v.

Aplicație clasică: vectorul de poziție al mijlocului. Dacă M este mijlocul segmentului BC, atunci AM = (AB + AC)/2 pentru orice punct A — relație folosită constant la demonstrarea proprietăților cu mediane. Greșeală de evitat: uitarea împărțirii la 2 sau scrierea AM = (AB + AC) doar pentru că M este „între” B și C.

Descompunerea unui vector după două direcții necoliniare

Fie u și v doi vectori necoliniari (cu direcții diferite). Atunci orice vector w din plan se poate scrie în mod unic sub forma:

w = a·u + b·v, cu a și b numere reale.

Aceasta este descompunerea lui w după direcțiile lui u și v, iar perechea (a, b) este unică — dacă găsești două scrieri, coeficienții trebuie să coincidă, ceea ce dă metoda de identificare a coeficienților.

Geometric: prin extremitatea lui w duci paralele la cele două direcții și obții un paralelogram; laturile lui sunt a·u și b·v.

Exemplu tipic pe paralelogramul ABCD, cu u = AB și v = AD:

• AC = AB + AD = u + v (diagonala din A, regula paralelogramului);
• BD = BA + AD = −u + v (diagonala cealaltă, pornind din B);
• dacă M este mijlocul lui CD, atunci AM = AD + DM = v + u/2, pentru că DM este jumătate din DC = AB = u.

Cerințele de examen sună exact așa: „exprimați vectorul AM în funcție de u și v”. Strategia sigură: construiești un drum de la originea vectorului cerut la extremitatea lui, mergând numai pe segmente pe care le știi exprimate în u și v, și aduni vectorii drumului cu relația lui Chasles.

Greșeala frecventă: semnul la parcurgerea „înapoi” — dacă drumul trece de la B la A, vectorul este BA = −u, nu u. Fiecare pas al drumului se scrie cu sensul lui real.

Aplicații: coliniaritate, paralelism, puncte fixe

Vectorii transformă probleme de geometrie în calcule scurte. Schemele de demonstrație:

Paralelism: segmentele AB și CD sunt paralele dacă vectorii AB și CD sunt coliniari, adică AB = k·CD pentru un scalar k. Găsești k exprimând ambii vectori în aceeași pereche de vectori necoliniari (u, v) și comparând coeficienții.

Coliniaritatea a trei puncte: punctele A, B, C sunt coliniare dacă vectorii AB și AC sunt coliniari: AB = k·AC. Aici este diferența subtilă față de paralelism: cei doi vectori au un punct comun (A), deci direcția comună îi așază pe aceeași dreaptă.

Mijloace și fracțiuni de segment: M este mijlocul lui AB ⇔ AM = AB/2 ⇔ pentru orice punct O, OM = (OA + OB)/2. Dacă punctul P împarte segmentul AB astfel încât AP = 2/3·AB, poziția lui P e complet determinată.

Exemplu lucrat — linia mijlocie: în triunghiul ABC, fie M mijlocul lui AB și N mijlocul lui AC. Atunci MN = MA + AN = −AB/2 + AC/2 = (AC − AB)/2 = BC/2 (pentru că AC − AB = AB + BC − AB... mai direct: BC = BA + AC = −AB + AC). Concluzia: MN = BC/2, deci MN este paralel cu BC și jumătate din el — teorema liniei mijlocii, demonstrată în două rânduri de calcul.

Disciplina care previne erorile: alege de la început perechea de vectori necoliniari (de obicei două laturi din același vârf), exprimă totul în ei și nu amesteca notațiile pe parcurs.

Test — 6 întrebări ca la examen