Mulțimi și elemente de logică matematică

Elevii învață operații cu mulțimi, relații între mulțimi și noțiuni de bază ale raționamentului logic.

Mulțimi, apartenență și incluziune

O mulțime este o colecție de obiecte distincte, numite elemente. Notăm mulțimile cu litere mari (A, B, M) și elementele cu litere mici. Relația fundamentală este apartenența: scriem x ∈ A dacă x este element al lui A și x ∉ A dacă nu este.

O mulțime se poate descrie în două moduri:

• prin enumerare: A = {1, 2, 3} — ordinea nu contează și elementele nu se repetă;
• prin proprietate caracteristică: A = {x ∈ N | x ≤ 3} — mulțimea elementelor care îndeplinesc o condiție.

Spunem că A este submulțime a lui B, notat A ⊂ B (sau A ⊆ B), dacă orice element al lui A aparține și lui B. Două mulțimi sunt egale când A ⊂ B și B ⊂ A simultan — aceasta este metoda standard de a demonstra egalitatea a două mulțimi.

Mulțimea vidă, notată ∅, nu are niciun element și este submulțime a oricărei mulțimi. Confuzia clasică: ∅ și {∅} NU sunt același lucru — a doua este o mulțime cu un element (elementul fiind mulțimea vidă). La fel, nu confunda ∈ cu ⊂: 1 ∈ {1, 2}, dar {1} ⊂ {1, 2}.

O mulțime cu n elemente are exact 2ⁿ submulțimi — rezultat cerut frecvent la subiectul I de BAC.

Operații cu mulțimi

Cele patru operații de bază, cu definițiile exacte cerute la examen:

• Reuniunea A ∪ B = {x | x ∈ A sau x ∈ B} — elementele care sunt în cel puțin una dintre mulțimi;
• Intersecția A ∩ B = {x | x ∈ A și x ∈ B} — elementele comune; dacă A ∩ B = ∅, mulțimile se numesc disjuncte;
• Diferența A \ B = {x | x ∈ A și x ∉ B} — atenție, diferența nu este comutativă: A \ B ≠ B \ A în general;
• Complementara lui A față de o mulțime totală E (cu A ⊂ E): C(A) = E \ A.

Proprietăți utile în calcule: comutativitate și asociativitate pentru ∪ și ∩, plus distributivitatea uneia față de cealaltă. Legile lui De Morgan sunt punct sigur de examen: complementara reuniunii este intersecția complementarelor, iar complementara intersecției este reuniunea complementarelor.

Pentru mulțimi finite, cardinalul (numărul de elemente) respectă principiul includerii și excluderii: card(A ∪ B) = card(A) + card(B) − card(A ∩ B). Greșeala tipică la problemele de tip „câți elevi practică cel puțin un sport” este să aduni cardinalele fără să scazi intersecția — elementele comune ar fi numărate de două ori.

Produsul cartezian

Produsul cartezian al mulțimilor A și B este mulțimea tuturor perechilor ordonate (a, b) cu a ∈ A și b ∈ B:

A × B = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B}.

Cuvântul-cheie este ordonate: perechea (1, 2) este diferită de perechea (2, 1). De aceea produsul cartezian nu este comutativ — A × B ≠ B × A de îndată ce A ≠ B. Aceasta este o capcană frecventă: mulțimile {1, 2} și {2, 1} sunt egale, dar perechile (1, 2) și (2, 1) nu sunt.

Dacă A are m elemente și B are n elemente, atunci A × B are exact m · n elemente — formulă cerută direct la subiecte.

Exemplu: A = {1, 2}, B = {a, b, c}. Atunci A × B = {(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c)}, deci 2 · 3 = 6 perechi.

Interpretarea geometrică leagă acest capitol de geometria analitică: R × R = R² este planul cartezian, în care fiecare punct este o pereche ordonată (x, y) — x este abscisa, y este ordonata. Produsul cartezian [1, 3] × [0, 2] reprezintă un dreptunghi plin în plan. Această legătură între algebră și geometrie va fi baza capitolului de geometrie analitică.

Propoziții logice și valori de adevăr

O propoziție logică este un enunț despre care se poate decide, fără ambiguitate, dacă este adevărat (A / 1) sau fals (F / 0) — dar niciodată ambele. „3 este număr prim” este o propoziție adevărată; „x + 1 = 5” NU este propoziție, ci predicat (enunț cu variabilă), pentru că valoarea de adevăr depinde de x. Distincția propoziție–predicat este o întrebare clasică.

Din propoziții simple construim propoziții compuse cu conectori logici:

• negația non p (¬p): adevărată exact când p este falsă;
• conjuncția p ∧ q („și”): adevărată doar când ambele sunt adevărate;
• disjuncția p ∨ q („sau”): falsă doar când ambele sunt false — atenție, în matematică „sau” este inclusiv: p ∨ q este adevărată și când ambele propoziții sunt adevărate, spre deosebire de „sau” din limbajul curent („ceai sau cafea”), care de obicei exclude varianta „ambele”.

Valoarea de adevăr a unei propoziții compuse se determină cu tabelul de adevăr, parcurgând toate combinațiile posibile. Pentru două propoziții există 4 linii în tabel, pentru trei propoziții 8 linii — în general 2ⁿ combinații pentru n propoziții simple.

Cuantificatori logici

Predicatele devin propoziții atunci când legăm variabila cu un cuantificator:

• cuantificatorul universal ∀ („oricare ar fi”): propoziția (∀x ∈ M) p(x) este adevărată dacă p(x) e adevărată pentru toate elementele lui M;
• cuantificatorul existențial ∃ („există”): propoziția (∃x ∈ M) p(x) este adevărată dacă p(x) e adevărată pentru cel puțin un element din M.

Regula de aur la negare — punct sigur de examen: negarea schimbă cuantificatorul și neagă predicatul:

• non[(∀x) p(x)] este (∃x) non p(x) — ca să contrazici „toți elevii au promovat” ajunge un singur elev nepromovat (un contraexemplu);
• non[(∃x) p(x)] este (∀x) non p(x) — ca să contrazici „există un număr real cu pătratul negativ” trebuie să arăți că toate numerele reale au pătratul nenegativ.

Greșeala frecventă este negarea doar a predicatului, cu păstrarea cuantificatorului: negarea lui „toate numerele sunt pare” NU este „toate numerele sunt impare”, ci „există un număr impar”.

Consecință practică importantă: o afirmație cu „oricare ar fi” se demonstrează pentru caz general, dar se infirmă cu un singur contraexemplu. Verificarea pe două-trei exemple nu demonstrează niciodată o propoziție universală.

Implicație, echivalență și metode de raționament

Implicația p → q („dacă p, atunci q”) este falsă într-un singur caz: p adevărată și q falsă. În rest este adevărată — inclusiv atunci când p este falsă, ceea ce pare contraintuitiv dar este convenția logicii. În implicația p → q, p se numește ipoteză (condiție suficientă), iar q concluzie (condiție necesară).

Dintr-o implicație directă p → q derivăm:

• reciproca q → p — NU rezultă din implicația directă; „dacă un patrulater e pătrat, atunci are laturile egale” este adevărată, dar reciproca este falsă (rombul e contraexemplu);
• contrara reciprocei non q → non p — are aceeași valoare de adevăr cu implicația directă; pe acest fapt se bazează demonstrația prin reducere la absurd: presupunem concluzia falsă și deducem o contradicție.

Echivalența p ↔ q („p dacă și numai dacă q”) este adevărată când p și q au aceeași valoare de adevăr. O echivalență se demonstrează în două sensuri: directa și reciproca — demonstrarea unui singur sens este una dintre cele mai frecvente pierderi de punctaj la demonstrațiile de tip „dacă și numai dacă”.

Legătura cu mulțimile: A ⊂ B înseamnă exact implicația x ∈ A → x ∈ B, iar A = B înseamnă echivalența x ∈ A ↔ x ∈ B. Logica și teoria mulțimilor sunt două limbaje pentru aceleași idei.

Test — 6 întrebări ca la examen