Mulțimi și elemente de logică matematică

Recapitularea și aprofundarea operațiilor cu mulțimi și a noțiunilor de logică matematică introduse anterior.

Mulțimi, elemente, apartenență

O mulțime este o colecție de obiecte bine determinate și distincte, numite elemente. Mulțimile se notează cu litere mari (A, B, M), iar elementele cu litere mici. Scriem x ∈ A („x aparține lui A”) și x ∉ A („x nu aparține lui A”).

O mulțime poate fi descrisă în două moduri:

• prin enumerare: A = {1, 2, 3, 4} — elementele se scriu o singură dată, ordinea nu contează;
• printr-o proprietate: A = {x ∈ N | x ≤ 4, x ≠ 0} — citim „mulțimea numerelor naturale x cu proprietatea că x este cel mult 4 și diferit de zero”.

Mulțimea vidă, notată ∅, este mulțimea fără niciun element. Atenție la o confuzie clasică: {∅} NU este mulțimea vidă — este o mulțime cu un element (acel element fiind mulțimea vidă).

Cardinalul unei mulțimi finite A, notat card A, este numărul de elemente ale mulțimii. De exemplu, card {2, 4, 6} = 3, iar card ∅ = 0. La Evaluarea Națională apar frecvent cerințe de tipul „determinați cardinalul mulțimii A” după ce ai rezolvat o condiție asupra elementelor.

Incluziune și egalitate. Submulțimi

Spunem că A este inclusă în B, scris A ⊂ B, dacă orice element al lui A este și element al lui B. În acest caz A se numește submulțime a lui B.

Proprietăți de reținut:

• ∅ ⊂ A pentru orice mulțime A (mulțimea vidă este submulțime a oricărei mulțimi);
• A ⊂ A (orice mulțime este submulțime a ei însăși);
• dacă A ⊂ B și B ⊂ C, atunci A ⊂ C (tranzitivitate).

Egalitatea mulțimilor: A = B dacă și numai dacă A ⊂ B și B ⊂ A, adică au exact aceleași elemente. Aceasta este și metoda standard de a demonstra că două mulțimi sunt egale: arăți dubla incluziune.

Nu confunda simbolurile ∈ și ⊂: apartenența leagă un element de o mulțime, incluziunea leagă două mulțimi. Scriem 2 ∈ {1, 2, 3}, dar {2} ⊂ {1, 2, 3}. Scrierea 2 ⊂ {1, 2, 3} este greșită și se depunctează.

O mulțime cu n elemente are exact 2ⁿ submulțimi. De exemplu, {a, b} are 4 submulțimi: ∅, {a}, {b} și {a, b}.

Operații cu mulțimi

Cele patru operații cerute la examen:

• Reuniunea A ∪ B = mulțimea elementelor care aparțin cel puțin uneia dintre mulțimi (lui A sau lui B). Elementele comune se scriu o singură dată.
• Intersecția A ∩ B = mulțimea elementelor care aparțin și lui A, și lui B. Dacă A ∩ B = ∅, mulțimile se numesc disjuncte.
• Diferența A \ B = mulțimea elementelor care aparțin lui A, dar nu aparțin lui B. Atenție: diferența NU este comutativă — A \ B și B \ A sunt în general mulțimi diferite.
• Complementara lui A față de o mulțime totală E (cu A ⊂ E) este C_E A = E \ A, adică tot ce este în E dar nu în A.

Exemplu complet: A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5}. Atunci A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}, A ∩ B = {3, 4}, A \ B = {1, 2}, B \ A = {5}.

Formula cardinalului reuniunii, utilă în probleme cu procente sau elevi înscriși la mai multe cercuri: card(A ∪ B) = card A + card B − card(A ∩ B). Dacă aduni doar cardinalele, elementele comune se numără de două ori — de aceea se scade intersecția.

Mulțimile de numere N, Z, Q, R

Mulțimile numerice se construiesc una din alta, prin extindere:

• N = {0, 1, 2, 3, ...} — numerele naturale; N* = N \ {0}.
• Z = {..., −2, −1, 0, 1, 2, ...} — numerele întregi: naturalele împreună cu opusele lor.
• Q — numerele raționale: numerele care se pot scrie ca fracție a/b cu a, b ∈ Z și b ≠ 0. Aici intră toate fracțiile zecimale finite și cele periodice, de exemplu 0,25 sau 0,(3).
• R — numerele reale: raționalele împreună cu numerele iraționale (numere cu scriere zecimală infinită și neperiodică, precum √2, √3, π).

Lanțul de incluziuni de știut pe de rost: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.

Mulțimea numerelor iraționale se scrie R \ Q. Grila clasică: „cărei mulțimi îi aparține √9?” — capcana e să răspunzi R \ Q pentru că vezi radical. Dar √9 = 3, deci √9 ∈ N. Verifică întotdeauna dacă radicalul „se extrage exact” înainte să declari numărul irațional.

La fel, −4 ∈ Z dar −4 ∉ N, iar 7/2 = 3,5 ∈ Q dar 7/2 ∉ Z.

Propoziții logice și cuantificatori

O propoziție logică este un enunț despre care se poate decide fără ambiguitate dacă este adevărat (A) sau fals (F) — dar nu ambele simultan. „3 + 4 = 7” este o propoziție adevărată; „5 este număr par” este o propoziție falsă; „x + 1 = 3” NU este propoziție (valoarea de adevăr depinde de x), ci predicat (propoziție cu variabilă); „Ce oră este?” nu este propoziție deloc.

Negația unei propoziții p, notată non p, are valoarea de adevăr opusă: dacă p este adevărată, non p este falsă, și invers.

Cuantificatorii transformă predicatele în propoziții:

• ∀ — cuantificatorul universal: „oricare ar fi”. Propoziția (∀ x ∈ N) x + 1 > x este adevărată.
• ∃ — cuantificatorul existențial: „există (cel puțin un)”. Propoziția (∃ x ∈ Z) x + 3 = 1 este adevărată, pentru că x = −2 convine.

Regula de negare, punct sensibil la examen: negația lui „toți elevii au promovat” NU este „niciun elev nu a promovat”, ci „există cel puțin un elev care nu a promovat”. La negare, ∀ se transformă în ∃ și invers, iar proprietatea se neagă.

Ca să arăți că o propoziție cu „oricare ar fi” este falsă, este suficient un singur contraexemplu. Ca să arăți că este adevărată, trebuie o justificare pentru toate valorile — un exemplu nu ajunge.

Test — 6 întrebări ca la examen