Organizarea datelor și statistică elementară

Elevii colectează, organizează și interpretează date statistice, calculând indicatori simpli.

Colectarea datelor și tabelele de frecvență

Statistica organizează și interpretează date culese din realitate: notele unei clase, temperaturile unei săptămâni, sporturile preferate ale elevilor. Valorile culese formează un șir de date, iar numărul lor total se numește efectivul (volumul) șirului.

Frecvența absolută a unei valori este de câte ori apare acea valoare în șir. Frecvența relativă este raportul dintre frecvența absolută și efectivul total — se exprimă ca fracție, număr zecimal sau procent.

Exemplu: notele 7, 8, 8, 9, 7, 10, 8, 7, 9, 7 (efectiv 10). Nota 7 are frecvența absolută 4 și frecvența relativă 4/10 = 40%.

Tabelul de frecvență pune totul în ordine: pe o coloană valorile distincte, pe alta frecvențele lor. Două verificări obligatorii, care prind majoritatea greșelilor:

• suma frecvențelor absolute = efectivul total;
• suma frecvențelor relative = 1 (adică 100%).

Dacă suma procentelor din tabelul tău dă 90% sau 110%, ai pierdut sau numărat dublu o valoare.

Confuzia de bază a capitolului: frecvența absolută (un număr de apariții, de exemplu 4) și frecvența relativă (o proporție, 40%). Enunțurile alternează între ele intenționat — citește exact ce se cere, mai ales când tabelul dă una și întrebarea o cere pe cealaltă.

Diagrame cu bare, histograme și diagrame circulare

Aceleași date pot fi arătate în mai multe feluri:

• diagrama cu bare: fiecare valoare primește o bară verticală (sau orizontală) cu înălțimea egală cu frecvența. Barele sunt separate și compararea categoriilor se face dintr-o privire;
• histograma: rudă a diagramei cu bare folosită pentru date grupate pe intervale (de exemplu înălțimi între 150-160 cm, 160-170 cm); barele sunt lipite, pentru că intervalele se continuă unul pe altul;
• diagrama circulară: un disc împărțit în sectoare, fiecare sector proporțional cu frecvența relativă. Întregul cerc de 360° reprezintă 100%, deci un procent p corespunde unui unghi de p · 3,6°. Un sector de 25% are 90°; unul de 50% este un semicerc.

Citirea diagramelor este cerință directă în subiecte: din diagrama cu bare afli valoarea cea mai frecventă (bara cea mai înaltă), efectivul total (suma înălțimilor barelor), diferențe între categorii.

La diagrama circulară, calculul invers apare des: sectorul sporturilor de echipă are 144°; ce procent reprezintă? 144/360 = 0,4 = 40%.

Greșeli tipice: uitarea conversiei grade–procente (procentul NU este direct măsura unghiului: 90° nu înseamnă 90%!) și citirea neatentă a scării pe axa verticală a diagramei cu bare — dacă gradația merge din 2 în 2, o bară de 3 gradații înseamnă 6, nu 3.

Media aritmetică

Media aritmetică a unui șir de date este suma valorilor împărțită la numărul lor: media notelor 6, 8 și 10 este 24/3 = 8. Este indicatorul care rezumă șirul într-un singur număr — „nivelul general”.

Când valorile se repetă, folosești media ponderată cu frecvențele: dacă 4 elevi au nota 7, 3 au nota 8 și 3 au nota 9, media clasei este (4 · 7 + 3 · 8 + 3 · 9)/10 = (28 + 24 + 27)/10 = 7,9. Împarți la numărul de elevi (10), nu la numărul de note distincte (3).

Proprietăți utile în probleme:

• media este mereu cuprinsă între valoarea minimă și cea maximă a șirului — un rezultat în afara acestui interval este sigur greșit;
• suma valorilor = media × efectivul — trucul care rezolvă problemele inverse.

Problema-tip inversă: media a 5 numere este 12; care este suma lor? 5 · 12 = 60. Sau: media notelor lui Andrei după 4 teze este 8; ce notă îi trebuie la a cincea ca media să devină 8,4? Suma necesară: 5 · 8,4 = 42; suma actuală: 32; nota necesară: 10.

Greșeala dominantă la media ponderată: împărțirea la numărul valorilor distincte în loc de efectivul total. A doua: la medii combinate (media fetelor 8, a băieților 9), media clasei NU este automat 8,5 — depinde de câte fete și câți băieți sunt; fără efective egale, mediile nu se combină prin simpla înjumătățire a sumei.

Mediana și modul unui șir de date

Pe lângă medie, două repere descriu un șir de date:

• Mediana este valoarea din mijlocul șirului ordonat crescător. Algoritm: ordonezi datele, apoi — la efectiv impar iei valoarea din mijloc; la efectiv par iei media aritmetică a celor două valori din mijloc. Pentru 3, 5, 7, 9, 11 mediana este 7; pentru 3, 5, 7, 9 mediana este (5 + 7)/2 = 6;
• Modul (valoarea modală) este valoarea cu frecvența cea mai mare — cea care apare cel mai des. În șirul 2, 4, 4, 4, 7, 9 modul este 4. Un șir poate avea două module (bimodal) sau niciunul, dacă toate valorile apar la fel de des.

De ce nu ajunge media? Pentru că e sensibilă la valori extreme. Salariile 2000, 2200, 2400, 2600, 20 000 au media 5840 — dar patru din cinci angajați câștigă sub 3000. Mediana, 2400, descrie mult mai cinstit situația tipică. Acest tip de comparație-interpretare este exact ce cer itemii de raționament.

Greșelile care se repetă:

• calcularea medianei fără ordonarea prealabilă a șirului — mijlocul șirului neordonat nu înseamnă nimic;
• la efectiv par, alegerea uneia dintre cele două valori centrale în loc de media lor;
• confuzia mod–frecvență: modul este valoarea care apare cel mai des (4), nu de câte ori apare (3). Întrebarea „care este modul” are ca răspuns o valoare din șir, nu un număr de apariții.

Interpretarea datelor și probleme practice

Partea aplicată leagă toate noțiunile: primești un tabel sau o diagramă și răspunzi la întrebări în lanț. Strategia sigură, pas cu pas:

• inventariază ce primești: ce reprezintă fiecare coloană/bară/sector, care e efectivul total;
• calculează indicatorii ceruți: frecvențe, procente, medie, mediană, mod;
• interpretează: compară categorii, comentează tendința, verifică plauzibilitatea.

Exemplu integrat: temperaturile la prânz într-o săptămână: 18°, 21°, 19°, 22°, 21°, 24°, 21°. Media: 146/7 ≈ 20,9°; șirul ordonat: 18, 19, 21, 21, 21, 22, 24 — mediana 21°; modul 21° (apare de trei ori). Interpretare: temperaturile au fost stabile în jurul valorii de 21°.

Întrebările cu procente combină statistica și procentele clasei a VI-a: dintr-o clasă de 30 de elevi, 40% preferă fotbalul — câți elevi? 40/100 · 30 = 12 elevi. Rezultatul trebuie să fie număr natural: dacă obții 12,5 elevi, ai greșit undeva sau datele sunt imposibile.

Capcanele problemelor practice: amestecarea procentelor cu efectivele (nu aduna 40% cu 12 elevi!), folosirea efectivului greșit la numitor și ignorarea contextului — o medie de 25 de goluri pe meci sau o mediană de nota 14 sunt semnale de calcul greșit. Verificarea finală de bun-simț face parte din rezolvare, nu e opțională.

Test — 6 întrebări ca la examen