Calcul algebric

Operații cu expresii algebrice, produse notabile și factorizarea polinoamelor.

Produsele notabile — formulele care apar în orice subiect

Cele trei formule de calcul prescurtat de știut perfect, în ambele sensuri:

• Pătratul sumei: (a + b)² = a² + 2ab + b²
• Pătratul diferenței: (a − b)² = a² − 2ab + b²
• Diferența pătratelor: (a − b)(a + b) = a² − b²

Greșeala care costă cele mai multe puncte la Evaluarea Națională: scrierea (a + b)² = a² + b², adică uitarea termenului dublu produs 2ab. Verifică pe un exemplu numeric: (2 + 3)² = 25, dar 2² + 3² = 13 — nu sunt egale.

Exemple lucrate:

• (x + 5)² = x² + 10x + 25
• (2x − 3)² = 4x² − 12x + 9 (atenție: se ridică la pătrat ȘI coeficientul: (2x)² = 4x²)
• (x − 7)(x + 7) = x² − 49

Formulele funcționează și „de la dreapta la stânga”: când vezi x² + 6x + 9, recunoști pătratul sumei (x + 3)². Testul rapid: primul și ultimul termen sunt pătrate perfecte, iar termenul din mijloc este dublul produsului bazelor. Această recunoaștere este pasul-cheie în factorizare și în simplificarea fracțiilor algebrice.

Factorizarea — descompunerea în factori

A factoriza înseamnă a scrie o expresie ca produs de factori. Metodele, în ordinea în care le încerci:

• Factorul comun: scoți în față ce se repetă în toți termenii. Exemplu: 3x² + 6x = 3x(x + 2). Întotdeauna primul pas — verifică factorul comun înainte de orice altceva.
• Formulele de calcul prescurtat aplicate invers: x² − 25 = (x − 5)(x + 5); x² + 8x + 16 = (x + 4)².
• Gruparea termenilor: la patru termeni, îi grupezi doi câte doi. Exemplu: x³ + 2x² + x + 2 = x²(x + 2) + (x + 2) = (x + 2)(x² + 1).

Adesea metodele se combină: 2x² − 8 = 2(x² − 4) = 2(x − 2)(x + 2). Dacă te oprești la 2(x² − 4), factorizarea NU este completă și se depunctează.

O capcană frecventă: suma de pătrate x² + 25 NU se descompune în factori cu numere reale — nu există o formulă „(a + b)(a + b)” pentru ea. Doar diferența de pătrate se descompune.

De ce contează factorizarea: pentru simplificarea fracțiilor algebrice și pentru rezolvarea ecuațiilor de forma produs egal cu zero — un produs este nul dacă și numai dacă cel puțin un factor este nul.

Fracții algebrice — condiții de existență și operații

O fracție algebrică (raport de expresii) are sens doar când numitorul este diferit de zero. Primul pas obligatoriu în orice exercițiu: scrii condițiile de existență. Pentru fracția (x + 3)/(x − 2), condiția este x ≠ 2. Omiterea condițiilor se depunctează la examen chiar dacă restul calculului e corect.

Simplificarea: factorizezi numărătorul și numitorul, apoi tai factorii comuni.

Exemplu: (x² − 9)/(x² + 3x) = (x − 3)(x + 3) / [x(x + 3)] = (x − 3)/x, pentru x ≠ 0 și x ≠ −3.

Atenție la greșeala clasică: în (x² + 9)/x² NU ai voie să „tai” x² de sus și de jos, pentru că sus x² este termen într-o sumă, nu factor. Se simplifică doar factori, niciodată termeni dintr-o sumă.

Adunarea și scăderea: aduci fracțiile la același numitor (cel mai mic numitor comun se găsește factorizat), apoi aduni numărătorii.

Înmulțirea: se înmulțesc numărătorii între ei și numitorii între ei — dar e mult mai eficient să factorizezi și să simplifici înainte de a înmulți.

Împărțirea: prima fracție se înmulțește cu inversa celei de-a doua.

Radicali — proprietăți și operații

Radicalul de ordin 2 (rădăcina pătrată) a unui număr a ≥ 0 este numărul nenegativ x cu proprietatea x² = a. Important: √a există (în R) doar pentru a ≥ 0 și rezultatul este întotdeauna nenegativ.

Proprietăți pentru a, b ≥ 0:

• √(a·b) = √a · √b
• √(a/b) = √a / √b, pentru b > 0
• (√a)² = a

Atenție: √(a + b) NU este √a + √b. Verificare: √(9 + 16) = √25 = 5, dar √9 + √16 = 3 + 4 = 7.

Scoaterea factorilor de sub radical: descompui numărul în factori și extragi pătratele perfecte. Exemplu: √72 = √(36·2) = 6√2. Invers, introducerea sub radical: 3√5 = √(9·5) = √45.

Adunarea radicalilor: se pot aduna doar radicalii asemenea (cu aceeași expresie sub radical): 2√3 + 5√3 = 7√3, dar 2√3 + 5√2 rămâne așa — nu se combină.

Formula de reținut pentru orice x real: √(x²) = |x|, nu x. De exemplu √((−5)²) = √25 = 5 = |−5|. Confuzia √(x²) = x duce la rezultate greșite când x este negativ.

Raționalizarea numitorului

A raționaliza înseamnă a elimina radicalul de la numitor, aducând fracția la o formă cu numitor rațional. Există două situații la Evaluarea Națională:

Cazul 1 — numitor de forma √a: amplifici fracția cu √a.

Exemplu: 5/√3 = 5√3/(√3 · √3) = 5√3/3.

Cazul 2 — numitor de forma a + √b sau √a − √b: amplifici cu conjugata numitorului (aceeași expresie cu semnul din mijloc schimbat) și folosești diferența pătratelor.

Exemplu: 2/(√5 − √3). Conjugata lui √5 − √3 este √5 + √3. Amplificăm:

2(√5 + √3) / [(√5 − √3)(√5 + √3)] = 2(√5 + √3)/(5 − 3) = 2(√5 + √3)/2 = √5 + √3.

De ce funcționează: produsul unei expresii cu conjugata ei dă (√a)² − (√b)² = a − b, adică un număr fără radicali.

Greșeli tipice: amplificarea doar a numitorului (fracția își schimbă valoarea — trebuie amplificat ȘI numărătorul), și alegerea greșită a conjugatei — conjugata lui 3 + √2 este 3 − √2, nu −3 + √2 și nu √2 − 3 (aceasta din urmă schimbă semnul rezultatului). După raționalizare, verifică dacă fracția se mai poate simplifica.

Test — 6 întrebări ca la examen