Inecuații

Rezolvarea inecuațiilor de gradul I cu o necunoscută și reprezentarea soluțiilor pe dreapta numerelor reale.

Intervale de numere reale

Un interval este mulțimea numerelor reale cuprinse între două capete. Notațiile trebuie stăpânite perfect, pentru că soluțiile inecuațiilor se scriu ca intervale:

• [a, b] — interval închis: a ≤ x ≤ b; capetele aparțin intervalului;
• (a, b) — interval deschis: a < x < b; capetele nu aparțin;
• [a, b) și (a, b] — intervale semideschise: un capăt intră, celălalt nu;
• intervale nemărginite: [a, +∞) înseamnă x ≥ a, iar (−∞, a) înseamnă x < a.

Regula de aur: la +∞ și −∞ paranteza este întotdeauna rotundă, pentru că infinitul nu este un număr și nu poate „aparține” intervalului.

Pe axa numerelor, capătul inclus se marchează cu punct plin, capătul exclus cu punct gol, iar mulțimea soluțiilor se hașurează.

Corespondența dintre inegalități și paranteze este exact ce se punctează: x ≥ 2 se scrie [2, +∞) — paranteză pătrată la 2 pentru că ≥ include egalitatea; x > 2 se scrie (2, +∞) — paranteză rotundă. Cu intervalele se pot face operațiile de la mulțimi: [1, 5] ∩ [3, 8] = [3, 5], iar [1, 5] ∪ [3, 8] = [1, 8].

Proprietățile inegalităților

O inecuație este o inegalitate cu necunoscută; rezolvarea ei folosește transformări care păstrează mulțimea soluțiilor:

• Adunarea sau scăderea aceluiași număr în ambii membri păstrează sensul inegalității: din x + 3 < 7 rezultă x < 4;
• Înmulțirea sau împărțirea cu un număr pozitiv păstrează sensul: din 2x < 8 rezultă x < 4;
• Înmulțirea sau împărțirea cu un număr negativ SCHIMBĂ sensul inegalității: din −2x < 8 rezultă x > −4.

Ultima regulă este esența capitolului și principala sursă de punctaj pierdut. De ce se schimbă sensul? Pe axa numerelor, înmulțirea cu −1 oglindește numerele față de origine: din 2 < 3 rezultă −2 > −3 — ordinea se inversează.

Verificare rapidă după rezolvare: alege un număr comod din intervalul găsit și înlocuiește-l în inecuația inițială. Pentru −2x < 8 cu soluția x > −4, testăm x = 0: −2·0 = 0 < 8, adevărat. Dacă am fi păstrat greșit sensul (x < −4), testul cu x = −5 ar da −2·(−5) = 10 < 8, fals — semn că soluția era greșită.

Atenție și la împărțirea prin necunoscută: nu împărți niciodată prin x, pentru că nu îi cunoști semnul.

Rezolvarea inecuațiilor de gradul I

Algoritmul este identic cu al ecuației de gradul I, cu vigilență la sensul inegalității:

1. desfaci parantezele; 2. aduci necunoscutele într-un membru, termenii liberi în celălalt (cu semn schimbat la mutare); 3. reduci termenii asemenea; 4. împarți prin coeficientul necunoscutei — dacă e negativ, întorci sensul; 5. scrii soluția ca interval și, dacă se cere, o reprezinți pe axă.

Exemplu complet: 3(x − 1) ≤ 5x + 7.

Desfacem: 3x − 3 ≤ 5x + 7. Grupăm: 3x − 5x ≤ 7 + 3, deci −2x ≤ 10. Împărțim la −2 și întoarcem sensul: x ≥ −5. Soluția: x ∈ [−5, +∞) — paranteză pătrată la −5, pentru că inegalitatea este nestrictă (≤ a devenit ≥, egalitatea se păstrează).

Cerință frecventă la Evaluarea Națională: „determinați numerele naturale care verifică inecuația”. Atunci intersectezi intervalul cu N. Pentru x ≤ 3,7 și x ∈ N, soluțiile sunt {0, 1, 2, 3} — nu uita de 0, care este număr natural! Pentru intervale de forma [−5, +∞) intersectate cu N, rezultatul este tot N, pentru că toate numerele naturale sunt mai mari decât −5.

Sisteme de inecuații și inecuații duble

Un sistem de inecuații cere valorile care verifică simultan toate inecuațiile. Metoda: rezolvi fiecare inecuație separat, apoi intersectezi mulțimile de soluții.

Exemplu: x + 2 > 1 și 2x − 3 ≤ 5.

Prima dă x > −1, adică x ∈ (−1, +∞). A doua dă 2x ≤ 8, deci x ≤ 4, adică x ∈ (−∞, 4]. Intersecția: x ∈ (−1, 4] — paranteza rotundă la −1 (strict) și pătrată la 4 (nestrict) trebuie păstrate fiecare de la inecuația ei.

Cel mai sigur mod de a găsi intersecția este desenul: reprezinți ambele intervale pe aceeași axă și citești porțiunea acoperită de amândouă.

Inecuația dublă de forma −3 < 2x + 1 ≤ 7 este de fapt un sistem scris compact. O poți rezolva direct, operând simultan pe toate cele trei părți: scădem 1 peste tot: −4 < 2x ≤ 6; împărțim la 2 (pozitiv, sensurile rămân): −2 < x ≤ 3, deci x ∈ (−2, 3].

Greșeala tipică la sisteme: a face reuniunea soluțiilor în loc de intersecție. Cuvântul „și” din sistem cere intersecție; reuniunea ar corespunde lui „sau”. Dacă intersecția este vidă (de exemplu x > 5 și x < 2), sistemul nu are soluții — iar acesta este un răspuns valid, care se scrie S = ∅.

Test — 6 întrebări ca la examen