Funcții

Introducerea noțiunii de funcție, studiul funcției liniare și al funcției de gradul al doilea.

Ce este o funcție. Domeniu, codomeniu, grafic

O funcție f : A → B este o lege care asociază fiecărui element x din mulțimea A exact un element f(x) din mulțimea B. Cele trei componente ale definiției:

• A — domeniul de definiție (mulțimea de plecare, valorile pe care le poate lua x);
• B — codomeniul (mulțimea de sosire);
• legea de corespondență — formula, de exemplu f(x) = 2x + 1.

Două condiții trebuie îndeplinite ca o corespondență să fie funcție: fiecare element din A are o imagine și acea imagine este unică. O corespondență în care unui x îi corespund două valori diferite NU este funcție.

Valoarea funcției într-un punct se calculează prin înlocuire: dacă f(x) = 2x + 1, atunci f(3) = 2·3 + 1 = 7. Atenție la valori negative: f(−3) = 2·(−3) + 1 = −5 — paranteza la înlocuire este obligatorie.

Graficul funcției este mulțimea perechilor (x, f(x)) reprezentate în sistemul de axe xOy. Un punct M(a, b) aparține graficului dacă și numai dacă f(a) = b — aceasta este cea mai frecventă cerință de examen la funcții: verifici prin calcul direct dacă valoarea funcției în abscisa punctului coincide cu ordonata lui.

Funcția liniară f(x) = ax + b și graficul ei

Funcția f : R → R, f(x) = ax + b se numește funcție liniară (afină). Graficul ei este o dreaptă.

Rolul coeficienților:

• a este panta dreptei: dacă a > 0 dreapta „urcă”, dacă a < 0 dreapta „coboară”, dacă a = 0 funcția este constantă și graficul este o dreaptă orizontală;
• b este ordonata punctului în care dreapta taie axa Oy: graficul trece prin punctul (0, b).

Trasarea graficului: fiind dreaptă, sunt suficiente două puncte. Alegi două valori comode pentru x, calculezi f(x) și unești punctele. Pentru f(x) = 2x − 4: f(0) = −4 dă punctul (0, −4), iar f(2) = 0 dă punctul (2, 0).

Determinarea funcției din condiții — cerință tipică: „graficul lui f(x) = ax + b trece prin punctele A(1, 5) și B(2, 7)”. Traduci fiecare punct printr-o ecuație: f(1) = 5 dă a + b = 5; f(2) = 7 dă 2a + b = 7. Rezolvi sistemul (prin reducere: a = 2, apoi b = 3) și obții f(x) = 2x + 3.

Confuzia de evitat: punctul A(1, 5) înseamnă x = 1 și y = 5, deci f(1) = 5, NU f(5) = 1. Prima coordonată este întotdeauna abscisa (valoarea lui x).

Intersecția graficului cu axele de coordonate

Intersecțiile cu axele sunt punctele „speciale” ale graficului și se determină printr-un raționament pe care trebuie să-l poți reda și în scris:

• Intersecția cu axa Oy: pe axa Oy abscisa este zero, deci calculezi f(0). Punctul este (0, f(0)). Pentru f(x) = ax + b, acesta este (0, b). Există întotdeauna exact un astfel de punct, pentru că 0 aparține domeniului R.
• Intersecția cu axa Ox: pe axa Ox ordonata este zero, deci rezolvi ecuația f(x) = 0. Pentru funcția liniară ax + b = 0 rezultă x = −b/a, iar punctul este (−b/a, 0).

Exemplu: f(x) = 3x − 6. Cu Oy: f(0) = −6, punctul (0, −6). Cu Ox: 3x − 6 = 0, deci x = 2, punctul (2, 0).

Greșeala clasică este inversarea celor două proceduri: la intersecția cu Ox se calculează f(0), la Oy se rezolvă f(x) = 0 — exact pe dos. Reține logic: axa Ox este mulțimea punctelor cu y = 0, axa Oy este mulțimea punctelor cu x = 0; scrie condiția axei, apoi apliceaz-o funcției.

O verificare vizuală bună: după ce trasezi graficul, punctele de intersecție calculate trebuie să coincidă cu locurile unde dreapta taie efectiv axele pe desen.

Funcția de gradul al doilea și parabola

Funcția f : R → R, f(x) = ax² + bx + c, cu a ≠ 0, este funcția de gradul al doilea. Graficul ei este o curbă numită parabolă.

Forma parabolei depinde de semnul lui a:

• a > 0: ramurile parabolei sunt orientate în sus (forma unui vas care ține apa); funcția are un punct de minim;
• a < 0: ramurile sunt orientate în jos; funcția are un punct de maxim.

Punctul de întoarcere al parabolei se numește vârf și are coordonatele V(−b/(2a), −Δ/(4a)), unde Δ = b² − 4ac. Parabola este simetrică față de dreapta verticală care trece prin vârf (axa de simetrie x = −b/(2a)).

Intersecția cu axa Ox înseamnă rezolvarea ecuației ax² + bx + c = 0, deci numărul punctelor de intersecție este dat de discriminant: Δ > 0 — două puncte; Δ = 0 — un punct (parabola este tangentă axei); Δ < 0 — niciun punct.

Intersecția cu axa Oy este mereu punctul (0, c), pentru că f(0) = c.

Exemplu: f(x) = x² − 4x + 3. Avem Δ = 16 − 12 = 4, rădăcinile 1 și 3, deci parabola taie Ox în (1, 0) și (3, 0); taie Oy în (0, 3); vârful este V(2, −1) — minim, pentru că a = 1 > 0. Pentru trasare se face un tabel de valori în jurul vârfului.

Monotonia funcțiilor

O funcție este crescătoare pe un interval dacă, pe acel interval, la valori mai mari ale lui x corespund valori mai mari ale lui f(x) (x₁ < x₂ implică f(x₁) ≤ f(x₂)). Este descrescătoare dacă la valori mai mari ale lui x corespund valori mai mici ale funcției. Studiul creșterii și descreșterii se numește monotonie.

Funcția liniară f(x) = ax + b are monotonia dată complet de semnul lui a:

• a > 0 → strict crescătoare pe R;
• a < 0 → strict descrescătoare pe R;
• a = 0 → constantă.

De exemplu, f(x) = −3x + 1 este descrescătoare: când x crește cu 1, valoarea funcției scade cu 3.

Funcția de gradul al doilea NU este monotonă pe tot R — își schimbă comportamentul în vârf:

• pentru a > 0: descrescătoare pe (−∞, −b/(2a)], apoi crescătoare pe [−b/(2a), +∞); în vârf atinge valoarea minimă;
• pentru a < 0: crescătoare până în vârf, apoi descrescătoare; în vârf atinge valoarea maximă.

Aplicație tipică: „aflați valoarea minimă a funcției f(x) = x² − 6x + 10”. Vârful are abscisa −b/(2a) = 3 și f(3) = 9 − 18 + 10 = 1, deci minimul este 1, atins pentru x = 3. Greșeala frecventă: a răspunde „minimul este 3” — 3 este punctul în care se atinge minimul, iar minimul (valoarea) este f(3) = 1. Citește exact ce se cere: valoarea sau punctul.

Test — 6 întrebări ca la examen