Ecuații și sisteme de ecuații

Rezolvarea ecuațiilor de gradul I și II și a sistemelor de ecuații cu două necunoscute.

Ecuația de gradul I cu o necunoscută

O ecuație este o egalitate care conține o necunoscută; a o rezolva înseamnă a găsi toate valorile necunoscutei pentru care egalitatea este adevărată — acestea formează mulțimea soluțiilor.

Forma generală a ecuației de gradul I: ax + b = 0, cu a ≠ 0. Soluția este x = −b/a.

Regulile de lucru (transformări echivalente):

• poți aduna sau scădea același număr în ambii membri;
• poți înmulți sau împărți ambii membri cu același număr nenul;
• practic: termenii se „mută” dintr-un membru în altul cu semn schimbat.

Exemplu: 3(x − 2) = x + 8. Desfacem paranteza: 3x − 6 = x + 8. Trecem necunoscutele în stânga și numerele în dreapta: 3x − x = 8 + 6, deci 2x = 14, adică x = 7.

Verificarea soluției prin înlocuire în ecuația inițială este un obicei care prinde greșelile de semn: 3(7 − 2) = 15 și 7 + 8 = 15. Corect.

Cazuri speciale de discutat: dacă după reduceri obții 0·x = 5 (imposibil), ecuația nu are soluții; dacă obții 0·x = 0, orice număr real este soluție. Aceste cazuri apar la ecuațiile cu parametru și derutează dacă nu le-ai văzut înainte.

Ecuația de gradul al II-lea și discriminantul

Forma generală: ax² + bx + c = 0, cu a ≠ 0. Instrumentul central este discriminantul:

Δ = b² − 4ac

Discuția după semnul lui Δ — cerință directă de examen:

• Δ > 0: ecuația are două soluții reale diferite, x₁ = (−b + √Δ)/(2a) și x₂ = (−b − √Δ)/(2a);
• Δ = 0: ecuația are o singură soluție reală (două soluții egale), x = −b/(2a);
• Δ < 0: ecuația nu are soluții reale.

Exemplu: x² − 5x + 6 = 0. Aici a = 1, b = −5, c = 6, deci Δ = 25 − 24 = 1 > 0. Soluțiile: x₁ = (5 + 1)/2 = 3 și x₂ = (5 − 1)/2 = 2.

Atenție la identificarea coeficienților: în x² − 5x + 6, coeficientul b este −5, nu 5. Semnul greșit al lui b este sursa numărul unu de erori — în formulă apare −b, care devine +5.

Cazuri particulare mai rapide decât formula: x² − 9 = 0 se rezolvă direct: x² = 9, deci x = 3 sau x = −3 (nu uita soluția negativă!); x² − 4x = 0 se factorizează: x(x − 4) = 0, deci x = 0 sau x = 4. Un produs este zero când cel puțin un factor este zero.

Sisteme de două ecuații liniare — metoda substituției

Un sistem de două ecuații liniare cu două necunoscute cere găsirea perechilor (x, y) care verifică simultan ambele ecuații. Soluția se scrie ca pereche ordonată — de exemplu (2, 3) înseamnă x = 2 și y = 3, iar ordinea contează.

Metoda substituției: exprimi o necunoscută dintr-o ecuație și o înlocuiești în cealaltă.

Exemplu: x + y = 7 și 2x − y = 2.

Din prima ecuație: y = 7 − x. Înlocuim în a doua: 2x − (7 − x) = 2. Atenție la paranteze: minusul din față schimbă semnul ambilor termeni: 2x − 7 + x = 2, deci 3x = 9, adică x = 3. Apoi y = 7 − 3 = 4. Soluția: (x, y) = (3, 4).

Substituția e cea mai comodă atunci când o necunoscută are deja coeficientul 1 sau −1 într-una dintre ecuații.

Greșeala tipică: după ce afli x, uiți să calculezi și y, sau înlocuiești fără paranteză — 2x − 7 − x în loc de 2x − (7 − x) — și pierzi schimbarea de semn. Verificarea finală în ambele ecuații inițiale te asigură de rezultat: 3 + 4 = 7 și 2·3 − 4 = 2. Corect.

Metoda reducerii și interpretarea grafică

Metoda reducerii: înmulțești una sau ambele ecuații cu numere alese astfel încât o necunoscută să aibă coeficienți opuși, apoi aduni ecuațiile membru cu membru și acea necunoscută dispare.

Exemplu: 2x + 3y = 12 și x − y = 1.

Înmulțim a doua ecuație cu 3: 3x − 3y = 3. Adunăm cu prima: (2x + 3y) + (3x − 3y) = 12 + 3, deci 5x = 15, adică x = 3, apoi din x − y = 1 rezultă y = 2.

Atenție: când înmulțești o ecuație cu un număr, se înmulțesc toți termenii, inclusiv membrul drept — a uita termenul liber este greșeala clasică a metodei.

Interpretarea grafică: fiecare ecuație liniară reprezintă o dreaptă în plan. Rezolvarea sistemului înseamnă găsirea punctului comun al dreptelor:

• drepte concurente → o soluție unică (cazul obișnuit);
• drepte paralele distincte → nicio soluție (sistem incompatibil);
• drepte identice → o infinitate de soluții.

De exemplu, sistemul x + y = 3 și x + y = 5 nu are soluții: aceeași sumă nu poate fi simultan 3 și 5, iar geometric dreptele sunt paralele.

Probleme care se rezolvă prin ecuații și sisteme

Traducerea unei probleme în limbaj algebric urmează pași ficși:

1. Notezi necunoscutele clar, cu unitățile lor: „fie x prețul unui caiet, în lei”; 2. Scrii ecuațiile traducând fiecare informație din enunț; 3. Rezolvi ecuația sau sistemul; 4. Interpretezi rezultatul: verifici că are sens în context și răspunzi la întrebarea problemei, nu doar la ecuație.

Exemplu: suma a două numere este 25, iar diferența lor este 7. Notăm numerele cu x și y: x + y = 25 și x − y = 7. Prin reducere (adunăm ecuațiile): 2x = 32, deci x = 16 și y = 9.

Traduceri de care să te ferești:

• „cu 5 mai mare decât x” înseamnă x + 5; „de 5 ori mai mare” înseamnă 5x — cele două formulări se confundă frecvent;
• „mama este de 3 ori mai în vârstă decât fiul” se scrie m = 3f, nu f = 3m — verifică cine e mai mare;
• „peste 4 ani” adaugă 4 la ambele vârste implicate.

Pasul de interpretare elimină soluțiile fără sens: o lungime nu poate fi negativă, un număr de elevi trebuie să fie natural. Dacă ecuația de gradul II dă x₁ = 12 și x₂ = −3 pentru o dimensiune, rezultatul problemei este doar 12, iar respingerea lui −3 trebuie menționată în redactare.

Test — 6 întrebări ca la examen