Elemente de geometrie plană – corpuri geometrice (recapitulare și sinteză)

Sintetizarea proprietăților figurilor geometrice plane studiate în clasele anterioare în vederea Evaluării Naționale.

Triunghiuri — clasificare, congruență, asemănare

Clasificarea triunghiurilor: după laturi — scalen (laturi diferite), isoscel (două laturi congruente), echilateral (toate laturile congruente); după unghiuri — ascuțitunghic, dreptunghic (un unghi de 90°), obtuzunghic.

Proprietăți de bază, mereu folosite în probleme: suma unghiurilor unui triunghi este 180°; în triunghiul isoscel unghiurile de la bază sunt congruente; în cel echilateral toate unghiurile au 60°.

Congruența (triunghiuri identice ca formă și dimensiuni) se demonstrează prin cazurile: LLL (laturile respectiv congruente), LUL (două laturi și unghiul cuprins între ele), ULU (două unghiuri și latura dintre ele). Atenție la LUL: unghiul trebuie să fie cel dintre cele două laturi, altfel cazul nu se aplică.

Asemănarea (aceeași formă, dimensiuni proporționale): triunghiurile ABC și DEF sunt asemenea dacă unghiurile sunt respectiv congruente și laturile proporționale: AB/DE = BC/EF = AC/DF = k (raportul de asemănare).

Teorema fundamentală a asemănării: o paralelă la o latură a triunghiului formează cu celelalte două laturi un triunghi asemenea cu cel inițial. De reținut pentru arii: dacă raportul de asemănare este k, raportul ariilor este k² — nu k, greșeală des întâlnită.

Patrulaterele particulare și proprietățile lor

Paralelogramul: patrulaterul cu laturile opuse paralele. Proprietăți: laturile opuse congruente, unghiurile opuse congruente, unghiurile alăturate suplementare (suma 180°), diagonalele se înjumătățesc (au același mijloc).

Cazurile particulare adaugă proprietăți:

• Dreptunghiul = paralelogram cu un unghi drept. În plus: diagonalele sunt congruente.
• Rombul = paralelogram cu două laturi consecutive congruente (deci toate laturile congruente). În plus: diagonalele sunt perpendiculare și sunt bisectoarele unghiurilor.
• Pătratul = dreptunghi și romb în același timp: are toate proprietățile ambelor — diagonale congruente, perpendiculare, care se înjumătățesc.

Capcana de examen: „diagonalele perpendiculare” aparțin rombului, „diagonalele congruente” aparțin dreptunghiului — nu invers. La paralelogramul oarecare diagonalele doar se înjumătățesc, nefiind nici congruente, nici perpendiculare.

Trapezul: patrulaterul cu exact o pereche de laturi paralele (bazele). Trapezul isoscel are laturile neparalele congruente, unghiurile de la aceeași bază congruente și diagonalele congruente. Linia mijlocie a trapezului unește mijloacele laturilor neparalele, este paralelă cu bazele și egală cu semisuma bazelor: (B + b)/2.

Cercul — unghi la centru și unghi înscris

Cercul de centru O și rază r este mulțimea punctelor din plan aflate la distanța r de O. Elemente: raza (r), diametrul (d = 2r, cea mai lungă coardă), coarda (segment cu capetele pe cerc), arcul (porțiune de cerc).

Lungimea cercului: L = 2πr. Aria discului: A = πr².

Două tipuri de unghiuri, cu relația-cheie între ele:

• Unghiul la centru are vârful în centrul cercului; măsura lui este egală cu măsura arcului cuprins între laturi.
• Unghiul înscris are vârful pe cerc și laturile coarde; măsura lui este jumătate din măsura arcului cuprins.

Consecințe care apar constant în subiecte:

• unghiurile înscrise care subîntind același arc sunt congruente;
• unghiul înscris într-un semicerc este drept (90°): dacă AB este diametru și C un punct pe cerc, triunghiul ABC este dreptunghic în C. Această proprietate transformă multe probleme de cerc în probleme cu teorema lui Pitagora.

Greșeala tipică: egalarea unghiului înscris cu arcul (uitarea împărțirii la 2) sau invers, înjumătățirea unghiului la centru. Reține perechea: centru — întreg arcul; înscris — jumătate de arc. Triunghiul echilateral, pătratul și hexagonul regulat înscrise în cerc au formule de latură cerute la examen: l₃ = r√3, l₄ = r√2, l₆ = r.

Arii și perimetre — formulele obligatorii

Perimetrul oricărei figuri este suma lungimilor laturilor. Ariile de știut fără ezitare:

• Triunghi: A = (baza × înălțimea)/2. Pentru triunghiul dreptunghic: A = (cateta₁ × cateta₂)/2, pentru că o catetă este înălțime pe cealaltă. Pentru triunghiul echilateral de latură l: A = l²√3/4.
• Pătrat: A = l². Dreptunghi: A = L × l.
• Paralelogram: A = baza × înălțimea (fără împărțirea la 2!).
• Romb: A = (d₁ × d₂)/2 (semiprodusul diagonalelor) sau bază × înălțime.
• Trapez: A = (B + b) × h / 2 — semisuma bazelor înmulțită cu înălțimea.
• Disc: A = πr².

Greșelile de formulă care se repetă an de an: împărțirea la 2 la paralelogram (nu se împarte) și uitarea împărțirii la 2 la triunghi și trapez; folosirea laturii în loc de diagonale la romb.

Atenție la unități: dacă laturile sunt în metri, aria iese în metri pătrați; la transformări, 1 m² = 100 dm² = 10 000 cm² — factorul se ridică la pătrat, nu se ia o dată. Multe probleme dau dimensiunile în unități diferite (o latură în metri, alta în centimetri): înainte de orice formulă, aduci totul la aceeași unitate.

Pentru figuri compuse, descompune suprafața în dreptunghiuri și triunghiuri, calculează ariile separat și adună-le — sau scade „golurile” dintr-o arie mare.

Teorema lui Pitagora — instrumentul universal

Teorema lui Pitagora: într-un triunghi dreptunghic, pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor:

ip² = c₁² + c₂²

Ipotenuza este latura opusă unghiului drept — întotdeauna cea mai lungă. Din formulă se poate afla oricare latură: ipotenuza = √(c₁² + c₂²), iar o catetă = √(ip² − c₂²) — la catetă se scade, nu se adună; folosirea adunării când se caută o catetă este greșeala standard.

Exemplu: catete 6 și 8 → ipotenuza = √(36 + 64) = √100 = 10. Tripletele care merită memorate: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13).

Reciproca teoremei: dacă într-un triunghi pătratul laturii celei mai mari este egal cu suma pătratelor celorlalte două, triunghiul este dreptunghic. Așa se verifică dacă un triunghi cu laturile date are unghi drept.

Aplicații recurente la Evaluarea Națională:

• diagonala dreptunghiului: d = √(L² + l²); diagonala pătratului: d = l√2;
• înălțimea triunghiului echilateral: h = l√3/2 (Pitagora în jumătatea de triunghi);
• înălțimea trapezului isoscel sau distanțe în figuri compuse: cauți (sau construiești, ducând o perpendiculară) triunghiul dreptunghic potrivit.

Reflexul corect în orice problemă de geometrie plană în care apar lungimi necunoscute: caută triunghiul dreptunghic — dacă nu se vede, probabil trebuie construit printr-o înălțime.

Test — 6 întrebări ca la examen