Studiul teoremelor metrice și al relațiilor dintre elementele unui triunghi.
Două triunghiuri sunt asemenea când au aceeași formă: unghiurile respectiv congruente și laturile proporționale. Scrierea ABC ~ DEF nu e decorativă — ordinea literelor spune care vârf corespunde căruia, iar proporția laturilor se citește direct din ea: AB/DE = BC/EF = AC/DF.
Criteriile de asemănare:
În practică, UU este criteriul folosit în majoritatea problemelor: cauți două perechi de unghiuri egale (unghiuri opuse la vârf, unghiuri formate de paralele cu o secantă, unghiul comun a două triunghiuri suprapuse).
Teorema lui Thales: o paralelă la o latură a unui triunghi determină pe celelalte două laturi segmente proporționale. Teorema fundamentală a asemănării merge mai departe: paralela formează un triunghi asemenea cu cel dat.
Greșeala frecventă la scrierea proporțiilor: amestecarea corespondenței, de tipul AB/DE = BC/DF. Disciplina literelor previne eroarea — sub fiecare latură din primul triunghi stă latura formată din literele corespunzătoare din al doilea. Nu uita: raportul ariilor a două triunghiuri asemenea este pătratul raportului de asemănare.
Fie triunghiul ABC dreptunghic în A și AD ⊥ BC înălțimea din vârful unghiului drept, cu D pe ipotenuză. Punctul D împarte ipotenuza în două segmente: BD este proiecția catetei AB pe ipotenuză, iar DC este proiecția catetei AC.
Înălțimea AD desparte triunghiul în două triunghiuri mai mici, ambele asemenea cu triunghiul inițial — din aceste asemănări se nasc toate relațiile metrice.
Teorema catetei: pătratul unei catete este egal cu produsul dintre ipotenuză și proiecția acelei catete pe ipotenuză:
AB² = BD · BC și AC² = DC · BC
Esențial: fiecare catetă se leagă de propria proiecție — cea care are un capăt comun cu ea. AB pleacă din B, deci se asociază cu BD (segmentul dinspre B); folosirea proiecției celeilalte catete este eroarea tipică.
Exemplu: BD = 4 cm, DC = 9 cm. Atunci BC = 13 cm și AB² = 4 · 13 = 52, deci AB = 2√13 cm, iar AC² = 9 · 13 = 117, deci AC = 3√13 cm.
Verificare cu Pitagora: AB² + AC² = 52 + 117 = 169 = 13² = BC². Relațiile metrice sunt coerente între ele — verificarea încrucișată prinde orice greșeală de asociere.
În același triunghi ABC dreptunghic în A, cu înălțimea AD dusă pe ipotenuză:
Teorema înălțimii: pătratul înălțimii este egal cu produsul proiecțiilor catetelor pe ipotenuză:
AD² = BD · DC
Exemplu: dacă BD = 4 cm și DC = 9 cm, atunci AD² = 36, deci AD = 6 cm.
A doua formulă pentru înălțime, dedusă din scrierea ariei în două moduri (aria = cateta × cateta / 2 = ipotenuza × înălțimea / 2):
AD = (AB · AC) / BC
adică înălțimea este produsul catetelor împărțit la ipotenuză. Ambele forme apar la Evaluarea Națională; o alegi pe cea pentru care ai datele: proiecțiile → prima formulă; catetele și ipotenuza → a doua.
Exemplu cu a doua formulă: catetele 6 și 8, ipotenuza 10 → înălțimea = 6 · 8 / 10 = 4,8 cm.
Greșeli de evitat: confundarea teoremei înălțimii cu teorema catetei (înălțimea se leagă de ambele proiecții, cateta de una singură plus ipotenuza) și aplicarea acestor teoreme în triunghiuri care nu sunt dreptunghice sau pentru înălțimi care nu cad pe ipotenuză. Toate relațiile metrice din această lecție funcționează doar în triunghiul dreptunghic, cu înălțimea dusă din vârful unghiului drept pe ipotenuză.
Enunț: în orice triunghi dreptunghic, pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor: BC² = AB² + AC² (unghiul drept în A).
Demonstrația prin teorema catetei — cea cerută în programa de clasa a VIII-a: adunăm cele două relații ale teoremei catetei:
AB² + AC² = BD · BC + DC · BC = BC · (BD + DC) = BC · BC = BC²
pentru că BD + DC = BC (D este între B și C, pe ipotenuză). Demonstrația arată de ce teoremele „se leagă”: Pitagora este consecința directă a teoremei catetei.
Reciproca teoremei lui Pitagora: dacă într-un triunghi pătratul celei mai mari laturi egalează suma pătratelor celorlalte două, triunghiul este dreptunghic, cu unghiul drept opus laturii mari. Cu ea verifici natura unui triunghi din laturi: 7, 24, 25 → 625 = 49 + 576, deci dreptunghic.
Aplicații standard: diagonala dreptunghiului d = √(L² + l²), diagonala pătratului d = l√2, înălțimea triunghiului echilateral h = l√3/2, apotema și raza în poligoane regulate.
Două reflexe la aplicare: identifică întâi care latură este ipotenuza (cea opusă unghiului drept, cea mai lungă) și, când cauți o catetă, scade pătratele în loc să le aduni. Rezultatul unei laturi nu poate depăși ipotenuza — dacă îți iese, semnul de la scădere a fost greșit.
Mediana unește un vârf cu mijlocul laturii opuse. În triunghiul cu laturile a, b, c, mediana dusă din vârful A pe latura a are lungimea dată de formula medianei:
mₐ² = (2b² + 2c² − a²) / 4
Cazul special cel mai important la examen: în triunghiul dreptunghic, mediana din vârful unghiului drept este jumătate din ipotenuză. Consecință utilă și invers: dacă într-un triunghi mediana este jumătate din latura pe care cade, triunghiul este dreptunghic. Exemplu: ipotenuza de 10 cm → mediana corespunzătoare are 5 cm, iar vârful unghiului drept se află pe cercul cu diametrul ipotenuza.
Bisectoarea împarte unghiul în două unghiuri congruente. Teorema bisectoarei: bisectoarea dusă dintr-un vârf împarte latura opusă în segmente proporționale cu laturile alăturate. Pentru bisectoarea din A care taie BC în D:
BD/DC = AB/AC
Exemplu: AB = 6 cm, AC = 9 cm, BC = 10 cm. Atunci BD/DC = 6/9 = 2/3, iar BD + DC = 10; împărțim 10 în raport 2 : 3 → BD = 4 cm, DC = 6 cm.
Confuzia de sancționat: mediana împarte latura în două segmente egale (mijlocul!), bisectoarea o împarte proporțional cu laturile — segmentele egale apar la bisectoare doar dacă triunghiul e isoscel cu AB = AC. Iar bisectoarea împarte în două egale unghiul, nu latura.