Triunghiul – proprietăți și drepte remarcabile

Elevii aprofundează proprietățile triunghiului, liniile importante și cazurile de congruență.

Liniile importante în triunghi

Patru tipuri de segmente sau drepte se numesc linii importante (drepte remarcabile) ale triunghiului, iar definițiile lor exacte se cer la examen:

• Mediana – segmentul care unește un vârf cu mijlocul laturii opuse. Împarte triunghiul în două triunghiuri cu arii egale;
• Bisectoarea – semidreapta care pornește din vârf și împarte unghiul în două unghiuri congruente;
• Înălțimea – segmentul dus dintr-un vârf, perpendicular pe latura opusă (sau pe prelungirea ei);
• Mediatoarea – dreapta perpendiculară pe o latură, dusă prin mijlocul ei. Atenție: mediatoarea NU pornește din vârf — este singura dintre cele patru care nu trece, în general, prin vreun vârf.

Fiecare triunghi are câte trei linii de fiecare fel — trei mediane, trei bisectoare, trei înălțimi, trei mediatoare.

Confuziile clasice de definiție, care apar direct în itemii teoretici: mediana se confundă cu mediatoarea (numele seamănă, dar mediana pleacă din vârf, mediatoarea din mijlocul laturii) și înălțimea se confundă cu mediana (înălțimea cade perpendicular, dar nu neapărat în mijlocul laturii). Doar în triunghiuri speciale aceste linii coincid, cum vei vedea la triunghiul isoscel.

Punctele remarcabile ale triunghiului

Cele trei linii de același fel se intersectează într-un punct remarcabil — patru puncte de memorat, cu proprietățile lor:

• Centrul de greutate G – intersecția medianelor. Se află mereu în interiorul triunghiului și are proprietatea de aur: se găsește pe fiecare mediană la 2/3 de vârf și 1/3 de mijlocul laturii. Dacă mediana are 12 cm, atunci distanța de la vârf la G este 8 cm;
• Ortocentrul H – intersecția înălțimilor. La triunghiul ascuțitunghic e în interior, la cel obtuzunghic în exterior, iar la cel dreptunghic este chiar vârful unghiului drept;
• Centrul cercului circumscris O – intersecția mediatoarelor. Este egal depărtat de vârfuri, deci prin el trece cercul care conține toate cele trei vârfuri. La triunghiul dreptunghic, O este mijlocul ipotenuzei;
• Centrul cercului înscris I – intersecția bisectoarelor. Este egal depărtat de laturi și este centrul cercului tangent la toate laturile; stă întotdeauna în interior.

Perechile care se încurcă la examen: mediatoare → cerc circumscris (prin vârfuri), bisectoare → cerc înscris (tangent la laturi). Reține logica: mediatoarea e legată de egalitatea distanțelor la capetele segmentului (vârfuri), bisectoarea de egalitatea distanțelor la laturile unghiului.

Congruența triunghiurilor

Două triunghiuri sunt congruente dacă au toate laturile și toate unghiurile respectiv congruente — adică pot fi suprapuse perfect. Nu e nevoie să verifici toate șase elementele: ajung trei, alese potrivit. Cazurile de congruență:

• L.U.L. (latură–unghi–latură): două laturi și unghiul cuprins între ele;
• U.L.U. (unghi–latură–unghi): două unghiuri și latura cuprinsă între ele;
• L.L.L. (latură–latură–latură): toate cele trei laturi.

Pentru triunghiurile dreptunghice există cazurile particulare: C.C. (cele două catete), I.C. (ipotenuza și o catetă), C.U. și I.U. (o catetă sau ipotenuza și un unghi ascuțit).

Detaliul care face diferența la punctaj: la L.U.L., unghiul trebuie să fie cel cuprins între laturile respective. Două laturi și un unghi necuprins NU garantează congruența. La fel, ordinea vârfurilor în scrierea ΔABC ≡ ΔDEF nu e decorativă: A corespunde lui D, B lui E, C lui F, iar din ea citești direct perechile de laturi și unghiuri congruente.

Metoda de redactare cerută la examen: identifici cele trei perechi de elemente congruente, le enumeri cu justificare (ipoteză, latură comună, unghiuri opuse la vârf etc.), numești cazul, apoi tragi concluzia — inclusiv congruența elementelor rămase, dacă asta cere problema.

Triunghiul isoscel și triunghiul echilateral

Triunghiul isoscel are două laturi congruente. Latura a treia se numește bază, iar proprietatea fundamentală este: unghiurile de la bază sunt congruente. Reciproca e la fel de utilă: dacă un triunghi are două unghiuri congruente, atunci este isoscel.

Proprietatea care rezolvă zeci de probleme: în triunghiul isoscel, mediana, înălțimea, bisectoarea duse din vârf (spre bază) și mediatoarea bazei coincid — sunt una și aceeași dreaptă, axa de simetrie a triunghiului. De aici: piciorul înălțimii din vârf este mijlocul bazei.

Triunghiul echilateral are toate laturile congruente și toate unghiurile de 60°. La el, toate cele patru puncte remarcabile (G, H, O, I) coincid într-un singur punct, iar liniile importante din fiecare vârf se suprapun.

Calculele tip de unghiuri, nelipsite din subiecte: într-un triunghi isoscel cu unghiul din vârf de 40°, unghiurile de la bază sunt (180° - 40°) : 2 = 70° fiecare. Invers, cu unghiul de la bază de 70°, unghiul din vârf este 180° - 2 · 70° = 40°.

Capcană de citire a enunțului: „triunghiul isoscel cu un unghi de 100°” — unghiul de 100° nu poate fi la bază (ar da suma 200° > 180°), deci este obligatoriu unghiul din vârf, iar cele de la bază au câte 40°. Când enunțul nu precizează poziția unghiului, verifică ambele cazuri și elimină-l pe cel imposibil.

Triunghiul dreptunghic – proprietăți speciale

Triunghiul dreptunghic are un unghi de 90°. Laturile care formează unghiul drept se numesc catete, iar latura opusă unghiului drept — cea mai lungă — este ipotenuza. Cum suma unghiurilor este 180°, unghiurile ascuțite ale triunghiului dreptunghic sunt complementare: suma lor este 90°.

Două teoreme specifice, cerute frecvent la Evaluarea Națională:

• Teorema medianei: mediana dusă din vârful unghiului drept are lungimea jumătate din ipotenuză. Consecință: mijlocul ipotenuzei este egal depărtat de toate vârfurile, deci este centrul cercului circumscris;
• Teorema unghiului de 30°: cateta opusă unghiului de 30° este jumătate din ipotenuză. Dacă ipotenuza are 10 cm și un unghi este de 30°, cateta opusă lui măsoară 5 cm.

Ambele funcționează și în sens reciproc: dacă o catetă este jumătate din ipotenuză, unghiul opus ei are 30°; dacă mediana este jumătate din latura pe care cade, triunghiul este dreptunghic cu unghiul drept în vârful din care pleacă mediana.

Greșeala tipică la teorema unghiului de 30°: elevii înjumătățesc ipotenuza pentru cateta alăturată unghiului de 30°, nu pentru cea opusă. Desenează mereu figura și marchează unghiul: cateta care „se vede” din unghiul de 30° (cea din fața lui) este cea scurtă.

Inegalitatea triunghiului și relația laturi–unghiuri

Inegalitatea triunghiului: în orice triunghi, fiecare latură este strict mai mică decât suma celorlalte două (și strict mai mare decât diferența lor). Trei lungimi pot forma un triunghi doar dacă această condiție e îndeplinită pentru toate laturile — practic e suficient să verifici că cea mai mare latură e mai mică decât suma celorlalte două.

Exemple: 3, 4, 5 formează triunghi (5 < 3 + 4); 2, 3, 7 NU formează (7 > 2 + 3); 2, 5, 7 NU formează nici ele, pentru că 7 = 2 + 5 — egalitatea nu e permisă, punctele ar fi coliniare.

Relația dintre laturi și unghiuri: într-un triunghi, laturii mai mari i se opune unghiul mai mare și reciproc. Consecințe imediate:

• în triunghiul dreptunghic, ipotenuza este cea mai lungă latură (se opune unghiului de 90°, cel mai mare);
• dacă unghiurile unui triunghi sunt 50°, 60°, 70°, cea mai lungă latură este cea opusă unghiului de 70°;
• într-un triunghi obtuzunghic, latura opusă unghiului obtuz este cea mai mare.

Nu uita nici suma unghiurilor: în orice triunghi, unghiurile însumează 180°, iar unghiul exterior este egal cu suma celor două unghiuri interioare neadiacente lui.

Capcana la itemii cu variante: se dau lungimi precum 4, 4, 8 — par în regulă la prima vedere, dar 8 = 4 + 4, deci triunghiul nu există. Verifică mereu cu semnul strict, nu cu mai mic sau egal.

Test — 6 întrebări ca la examen