Funcții

Elevii sunt introduși în noțiunea de funcție, corespondență și reprezentare grafică a funcției de gradul I.

Ce este o funcție

O funcție f : A → B este o regulă care asociază fiecărui element din mulțimea A exact un element din mulțimea B. Mulțimea A se numește domeniu de definiție, mulțimea B se numește codomeniu, iar regula se scrie de obicei printr-o formulă: f(x) = 2x + 1.

Cele două condiții din definiție sunt esențiale și se verifică la itemii teoretici:

• fiecărui element din A trebuie să îi corespundă ceva — niciun element din domeniu nu rămâne fără pereche;
• corespondentul este unic — un element din A nu poate avea două imagini diferite.

O corespondență care trimite același x spre două valori diferite NU este funcție. În schimb, este perfect permis ca două elemente diferite din A să aibă aceeași imagine — de exemplu f(x) = 0 pentru orice x este o funcție corectă (funcția constantă).

Notația f(x) se citește „f de x” și înseamnă valoarea funcției în x (imaginea lui x prin f). Ca să calculezi f(3) pentru f(x) = 2x + 1, înlocuiești x cu 3: f(3) = 2 · 3 + 1 = 7.

Confuzia de început: elevii cred că f(x) este o înmulțire între f și x. Nu este — f e numele funcției, iar parantezele arată în ce punct o evaluezi. De aici greșeli precum f(3) + f(2) = f(5), care în general este falsă.

Funcția de gradul I și proprietățile ei

Funcția f : R → R, f(x) = ax + b, cu a ≠ 0, se numește funcție de gradul I (funcție liniară sau afină). Numărul a este coeficientul lui x, iar b este termenul liber.

Rolurile celor doi coeficienți, cerute la interpretare:

• b = f(0) — valoarea funcției în 0; grafic, punctul în care dreapta taie axa Oy este (0, b);
• a dictează înclinarea (panta) dreptei și monotonia: dacă a > 0 funcția este crescătoare (când x crește, f(x) crește), dacă a < 0 este descrescătoare.

Dacă a = 0, rămâne f(x) = b, funcția constantă, al cărei grafic este o dreaptă orizontală.

Calculul valorilor este mecanica de bază: pentru f(x) = -2x + 6, avem f(0) = 6, f(3) = 0, f(-1) = 8.

În sens invers, condițiile din enunț se traduc în ecuații. „Știind că f(2) = 5, aflați a” pentru f(x) = ax + 1: din a · 2 + 1 = 5 rezultă a = 2. Acest tip de item — determinarea funcției din condiții date — este standard la Evaluarea Națională.

Zeroul funcției (rădăcina) este soluția ecuației f(x) = 0, adică x = -b/a; grafic, este punctul unde dreapta intersectează axa Ox.

Reprezentarea grafică a funcției liniare

Graficul funcției f : R → R, f(x) = ax + b este o dreaptă. Cum printr-o dreaptă trec o infinitate de puncte, dar două sunt de ajuns ca să o desenezi, algoritmul este:

• alegi două valori pentru x (cele mai comode sunt intersecțiile cu axele);
• calculezi f pentru fiecare și obții două puncte;
• le reprezinți în sistemul de axe și trasezi dreapta prin ele.

Intersecțiile cu axele — pasul care se punctează separat în bareme:

• cu axa Oy: pui x = 0, obții punctul (0, b);
• cu axa Ox: rezolvi f(x) = 0, obții punctul (-b/a, 0).

Pentru f(x) = 2x - 4: intersecția cu Oy este (0, -4), iar cu Ox este (2, 0).

Un punct A(m, n) aparține graficului dacă și numai dacă f(m) = n — prima coordonată se înlocuiește în formulă, iar rezultatul trebuie să fie a doua coordonată. Verificare: B(3, 2) aparține graficului lui f(x) = 2x - 4? f(3) = 2, da, aparține.

Greșeala tipică la apartenență: elevii înlocuiesc a doua coordonată în locul primei, calculând f(n) în loc de f(m). Ordinea în pereche este mereu (x, y): întâi valoarea de pe orizontală, apoi cea de pe verticală. A doua greșeală: la intersecția cu Ox se dă doar valoarea x = 2 în loc de punctul complet (2, 0).

Citirea și interpretarea graficului

Subiectele moderne dau graficul și cer informații din el — drumul invers față de trasare. Ce trebuie să știi să citești:

• valoarea funcției într-un punct: cauți x-ul pe orizontală, urci sau cobori până la dreaptă, citești valoarea pe verticală;
• soluția ecuației f(x) = 0: este x-ul punctului unde graficul taie axa Ox;
• semnul funcției: acolo unde graficul e deasupra axei Ox, f(x) > 0; unde e dedesubt, f(x) < 0;
• monotonia din desen: dreaptă care urcă de la stânga la dreapta → funcție crescătoare (a > 0); dreaptă care coboară → descrescătoare (a < 0).

Determinarea funcției din grafic: citești două puncte de pe dreaptă și rezolvi un sistem. Dacă graficul trece prin (0, 3) și (1, 5), atunci b = 3 (din intersecția cu Oy) și a + b = 5, deci a = 2, adică f(x) = 2x + 3.

Funcțiile modelează situații reale, iar interpretarea e parte din cerință: dacă un abonament costă 20 de lei plus 5 lei pe oră, costul pentru x ore este C(x) = 5x + 20 — termenul liber este costul fix, coeficientul lui x este costul pe unitate.

Capcane de citire: confundarea axelor (valoarea funcției se citește pe verticală, nu pe orizontală) și ideea că o dreaptă care coboară ar avea a > 0 pentru că „dreapta e mare”. Semnul lui a se leagă strict de sensul de variație: urcă → pozitiv, coboară → negativ.

Test — 6 întrebări ca la examen