Patrulaterul

Elevii studiază tipurile de patrulater, proprietățile lor și calculul perimetrului și ariei.

Patrulaterul convex și suma unghiurilor

Un patrulater este figura geometrică cu patru vârfuri, patru laturi și patru unghiuri. Un patrulater este convex dacă, oricare ar fi latura pe care o alegi, întreaga figură rămâne de aceeași parte a dreptei care conține acea latură — intuitiv, nu are „scobituri”.

Elementele patrulaterului ABCD:

• laturile opuse: AB și CD, respectiv BC și AD — nu au vârf comun;
• unghiurile opuse: A și C, respectiv B și D;
• diagonalele: AC și BD — segmentele care unesc vârfurile opuse.

Proprietatea fundamentală, punct de plecare pentru aproape orice problemă de unghiuri: suma măsurilor unghiurilor unui patrulater convex este 360°. Demonstrația e o idee de reținut: diagonala AC împarte patrulaterul în două triunghiuri, fiecare cu suma unghiurilor 180°.

Aplicație tip: trei unghiuri au 80°, 95° și 105°; al patrulea are 360° - 280° = 80°.

Greșeala de bază: folosirea sumei de 180° (valabilă la triunghi) și pentru patrulater. A doua confuzie: în notarea ABCD, ordinea literelor contează — vârfurile se citesc pe conturul figurii, deci diagonalele sunt AC și BD; cine desenează ABCD cu vârfurile în ordine greșită obține altă figură și alte diagonale.

Paralelogramul – proprietăți și criterii

Paralelogramul este patrulaterul convex cu laturile opuse paralele două câte două. Din această definiție decurg proprietățile, toate patru de știut:

• laturile opuse sunt congruente;
• unghiurile opuse sunt congruente;
• unghiurile alăturate (consecutive) sunt suplementare — suma lor este 180°;
• diagonalele se înjumătățesc — punctul lor de intersecție este mijlocul fiecăreia.

Atenție: la paralelogramul oarecare, diagonalele NU sunt congruente și NU sunt perpendiculare — aceste proprietăți apar doar la cazurile particulare.

Criteriile de recunoaștere (reciprocele): un patrulater convex este paralelogram dacă are laturile opuse congruente, sau unghiurile opuse congruente, sau diagonalele care se înjumătățesc, sau o pereche de laturi opuse paralele ȘI congruente. Ultimul criteriu este cel mai folosit în demonstrații.

Aplicație de unghiuri, nelipsită din subiecte: dacă un unghi al paralelogramului are 65°, unghiul opus are tot 65°, iar cele alăturate câte 115°.

Capcana criteriului: „o pereche de laturi paralele și CEALALTĂ pereche congruentă” NU garantează paralelogramul — așa arată și trapezul isoscel. Perechea paralelă și perechea congruentă trebuie să fie aceeași pereche de laturi.

Dreptunghiul, rombul și pătratul

Cele trei paralelograme particulare moștenesc toate proprietățile paralelogramului și adaugă fiecare ceva specific:

• Dreptunghiul = paralelogramul cu un unghi drept (atunci toate sunt drepte). Specific: diagonalele sunt congruente;
• Rombul = paralelogramul cu două laturi consecutive congruente (atunci toate patru sunt congruente). Specific: diagonalele sunt perpendiculare și sunt bisectoarele unghiurilor;
• Pătratul = patrulaterul care este și dreptunghi, și romb: toate unghiurile drepte, toate laturile congruente, diagonalele congruente, perpendiculare și înjumătățite.

Tabelul diagonalelor decide majoritatea itemilor teoretici:

• se înjumătățesc: la toate paralelogramele;
• congruente: dreptunghi și pătrat;
• perpendiculare: romb și pătrat;
• toate proprietățile deodată: doar pătratul.

Relațiile de incluziune se cer des: orice pătrat este romb și dreptunghi; orice dreptunghi este paralelogram; dar NU orice romb este pătrat.

Confuzia frecventă: „diagonalele rombului sunt congruente”. Fals — la romb diagonalele sunt în general diferite ca lungime; ele sunt perpendiculare. Cine reține pe dos perechea congruent/perpendicular pierde punctele itemului. Ancoră mentală: dreptunghiul e „egal la diagonale” pentru că e simetric la rotire, rombul e „perpendicular” pentru că diagonalele îi sunt axe de simetrie.

Trapezul

Trapezul este patrulaterul convex cu exact o pereche de laturi opuse paralele. Laturile paralele se numesc baze (baza mare B și baza mică b), iar celelalte două sunt laturile neparalele.

Tipuri de trapez:

• isoscel – laturile neparalele sunt congruente. Proprietăți: unghiurile alăturate unei baze sunt congruente, iar diagonalele sunt congruente;
• dreptunghic – una dintre laturile neparalele este perpendiculară pe baze; are două unghiuri drepte;
• oarecare – fără proprietăți suplimentare.

În orice trapez, unghiurile alăturate aceleiași laturi neparalele sunt suplementare (suma 180°), pentru că bazele sunt paralele.

Linia mijlocie a trapezului unește mijloacele laturilor neparalele; este paralelă cu bazele și are lungimea egală cu media aritmetică a bazelor: LM = (B + b)/2. Cu bazele de 10 cm și 6 cm, linia mijlocie are 8 cm. Ruda ei din triunghi: linia mijlocie a triunghiului unește mijloacele a două laturi și este jumătate din a treia latură — ambele apar împreună în probleme.

Capcane: definiția cere exact o pereche de laturi paralele, deci paralelogramul nu este trapez în programa românească; iar la trapezul isoscel, congruente sunt unghiurile de la aceeași bază, nu cele opuse — scrierea „unghiul A congruent cu unghiul C” la trapezul isoscel ABCD cu AB || CD este falsă.

Perimetre și arii

Perimetrul este suma lungimilor laturilor. Formulele de arie, toate obligatorii la Evaluarea Națională:

• dreptunghi: A = L · l (lungimea ori lățimea);
• pătrat: A = l²;
• paralelogram: A = baza · înălțimea corespunzătoare;
• romb: A = (d₁ · d₂)/2 — semiprodusul diagonalelor (formula merge la orice patrulater cu diagonalele perpendiculare); alternativ, ca orice paralelogram, A = baza · înălțimea;
• trapez: A = (B + b) · h / 2 — suma bazelor ori înălțimea, totul împărțit la 2;
• triunghi (mereu necesar în descompuneri): A = (baza · înălțimea)/2.

Detaliul care taie punctaje: la paralelogram și trapez, înălțimea este distanța perpendiculară dintre baze, nu latura oblică. Într-un paralelogram cu laturile 8 și 5 și înălțimea 4 corespunzătoare laturii 8, aria este 8 · 4 = 32, nu 8 · 5 = 40.

Strategie pentru figuri compuse: descompune figura în dreptunghiuri și triunghiuri, calculează ariile separat și adună-le. Multe subiecte de Evaluare dau un teren sau un aviz în formă de L sau de trapez — descompunerea corectă valorează jumătate din punctaj.

Atenție la unități: aria se exprimă în unități pătrate (cm², m²), iar la transformări 1 m² = 100 dm² = 10 000 cm² — pasul este 100, nu 10, altă sursă clasică de greșeli.

Test — 6 întrebări ca la examen