Teorema lui Pitagora

Elevii înțeleg și aplică teorema lui Pitagora în triunghi dreptunghic și în figuri compuse.

Enunțul teoremei și ideea demonstrației

Teorema lui Pitagora: într-un triunghi dreptunghic, pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor. Cu ipotenuza a și catetele b și c: a² = b² + c².

Enunțul are două condiții pe care elevii le tratează cu ușurință, dar care se punctează:

• teorema se aplică doar în triunghiul dreptunghic — înainte de a o folosi, justifici de unde știi că unghiul e drept;
• ipotenuza este latura opusă unghiului drept, întotdeauna cea mai lungă. În formulă, ea stă singură într-un membru.

Ideea unei demonstrații clasice, bună de povestit la examen: construiești un pătrat mare de latură b + c și așezi în el patru copii ale triunghiului dreptunghic. Rămâne liber un pătrat de latură a. Aceleași patru triunghiuri se pot rearanja astfel încât să rămână libere două pătrate, de laturi b și c. Suprafața liberă e aceeași în ambele aranjamente, deci a² = b² + c².

Exemplul canonic: catetele 3 și 4 dau ipotenuza √(9 + 16) = √25 = 5.

Greșeala fundamentală de aplicare: scrierea a = b + c „fără pătrate” sau credința că a² = b² + c² implică a = b + c. Fals: 5 ≠ 3 + 4 = 7. Relația e între pătratele laturilor, iar la final se extrage obligatoriu radicalul.

Calculul laturii lipsă

Din teoremă se deduc cele două situații de calcul:

• cauți ipotenuza: a = √(b² + c²). Catetele 6 și 8: a = √(36 + 64) = √100 = 10;
• cauți o catetă: b = √(a² - c²) — pătratul catetei este diferența pătratelor. Ipotenuza 13 și cateta 5: b = √(169 - 25) = √144 = 12.

Algoritmul sigur în patru pași: identifici unghiul drept → identifici ipotenuza (opusă lui) → scrii teorema cu literele problemei → izolezi latura cerută și extragi radicalul.

Când rezultatul nu este pătrat perfect, răspunsul se lasă în forma cu radical simplificat: catetele 2 și 4 dau ipotenuza √20 = 2√5 — nu aproximare zecimală, decât dacă enunțul o cere explicit.

Două greșeli domină lucrările:

• adunarea pătratelor și pentru catetă: la ipotenuza 13 și cateta 5, cine calculează √(169 + 25) = √194 a tratat cateta drept ipotenuză. Reflex de verificare: cateta trebuie să iasă MAI MICĂ decât ipotenuza;
• uitarea radicalului: se calculează corect a² = 100 și se răspunde a = 100. Pătratul laturii nu este latura — verifică mereu ce anume cere problema, latura sau pătratul ei.

Reciproca teoremei și tripletele pitagoreice

Reciproca teoremei lui Pitagora: dacă într-un triunghi pătratul laturii celei mai mari este egal cu suma pătratelor celorlalte două, atunci triunghiul este dreptunghic, cu unghiul drept opus laturii celei mai mari.

Teorema directă și reciproca au roluri diferite, iar confuzia lor e o greșeală de logică sancționată la examen: directa pleacă de la unghiul drept și dă relația între laturi; reciproca pleacă de la laturi și demonstrează unghiul drept. Când o problemă dă trei lungimi și cere natura triunghiului, folosești reciproca.

Exemplu: laturile 7, 24, 25. Verificăm: 25² = 625 și 7² + 24² = 49 + 576 = 625. Egal, deci triunghiul este dreptunghic, cu unghiul drept între laturile 7 și 24.

Un triplet pitagoreic este un grup de trei numere naturale care verifică relația lui Pitagora. Cele care apar constant în subiecte: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (8, 15, 17), (7, 24, 25). Orice multiplu al unui triplet este tot triplet: din (3, 4, 5) ies (9, 12, 15), (30, 40, 50). Recunoașterea lor economisește minute prețioase — vezi 12 și 13 în enunț, bănuiești 5.

Atenție: dacă verificarea dă inegalitate, triunghiul nu e dreptunghic, dar poate exista în continuare (ascuțitunghic sau obtuzunghic) — nu trage concluzia că nu există; existența se decide cu inegalitatea triunghiului, nu cu Pitagora.

Diagonale și înălțimi calculate cu Pitagora

Teorema lui Pitagora este unealta universală a geometriei de gimnaziu: aproape orice lungime necunoscută se află construind un triunghi dreptunghic potrivit.

Diagonala dreptunghiului cu dimensiunile L și l: diagonala este ipotenuza triunghiului format cu două laturi, deci d = √(L² + l²). Dreptunghiul 6 × 8 are diagonala 10. Caz particular: diagonala pătratului de latură l este d = l√2.

Rombul: diagonalele sunt perpendiculare și se înjumătățesc, deci ele taie rombul în patru triunghiuri dreptunghice congruente cu catetele d₁/2 și d₂/2 și ipotenuza latura rombului: l² = (d₁/2)² + (d₂/2)². Diagonalele 12 și 16 dau latura √(36 + 64) = 10.

Înălțimea triunghiului echilateral de latură l: cade în mijlocul bazei și formează un triunghi dreptunghic cu cateta l/2 și ipotenuza l, deci h = l√3/2. De aici aria triunghiului echilateral: A = l²√3/4.

Trapezul isoscel: duci înălțimile din capetele bazei mici; ele decupează un dreptunghi și două triunghiuri dreptunghice congruente cu baza (B - b)/2 — apoi Pitagora dă înălțimea sau latura oblică.

Greșeala tipică la romb: folosirea diagonalelor întregi în loc de jumătăți, care dă latura dublă. Diagonalele se ÎNJUMĂTĂȚESC înainte de aplicarea teoremei — desenul corect previne automat greșeala.

Probleme practice și figuri compuse

Subiectele de Evaluare Națională îmbracă teorema în situații reale. Tiparele care se repetă:

• scara sprijinită de perete: scara este ipotenuza, peretele și solul sunt catetele. O scară de 5 m cu piciorul la 3 m de perete urcă până la √(25 - 9) = 4 m;
• stâlpul rupt sau întins cu cabluri: cablul este ipotenuza triunghiului format cu stâlpul și umbra distanței pe sol;
• drumul scurtat prin diagonală: cât economisești traversând un parc dreptunghiular 60 m × 80 m pe diagonală? Pe laturi: 140 m; pe diagonală: 100 m; economia este 40 m;
• figuri compuse: împarți figura în dreptunghiuri și triunghiuri dreptunghice, afli pe rând lungimile lipsă.

Metodă de lucru care aduce punctaj maxim: desenează figura, marchează unghiul drept, notează datele pe desen, abia apoi scrie teorema. Baremele acordă puncte pentru figură și pentru scrierea corectă a relației, chiar dacă calculul final scapă.

Verificări de bun-simț la final: ipotenuza trebuie să fie cea mai lungă latură; o lungime nu poate fi negativă; rezultatul trebuie să fie plauzibil în context (o scară de 5 m nu urcă la 12 m).

Capcana problemelor cu text: identificarea greșită a ipotenuzei. Nu poziția în enunț decide, ci geometria situației — ipotenuza este mereu latura opusă unghiului drept, de regulă obiectul oblic (scara, cablul, diagonala), niciodată peretele vertical sau solul orizontal.

Test — 6 întrebări ca la examen