Mulțimea numerelor reale

Elevii descoperă numerele iraționale și completează cunoștințele despre mulțimea numerelor reale.

Rădăcina pătrată a unui număr natural pătrat perfect

Un pătrat perfect este un număr obținut prin ridicarea la pătrat a unui număr natural: 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144... Lista pătratelor perfecte până la 400 trebuie știută pe de rost — apare constant la Evaluarea Națională.

Rădăcina pătrată a unui număr a ≥ 0, notată √a, este numărul pozitiv sau nul care ridicat la pătrat dă a. Astfel √49 = 7, pentru că 7² = 49.

Două observații care despart nota mare de nota mică:

• √a este prin definiție un singur număr, nenegativ: √25 = 5, nu ±5. Semnul ± apare doar când rezolvi ecuația x² = 25, care are soluțiile x = 5 și x = -5;
• rădăcina pătrată din numere negative nu există în mulțimea numerelor reale, pentru că niciun număr real ridicat la pătrat nu dă rezultat negativ.

Proprietatea fundamentală: √(a²) = |a|, nu a. De exemplu √((-3)²) = √9 = 3 = |-3|. Această subtilitate este o capcană preferată a subiectelor de examen.

Reguli de calcul: √(a·b) = √a · √b și √(a/b) = √a / √b, valabile pentru a, b ≥ 0. Ele NU funcționează la adunare: √(9+16) = √25 = 5, în timp ce √9 + √16 = 3 + 4 = 7.

Numere iraționale și mulțimea numerelor reale

Ce se întâmplă cu √2? Nu există nicio fracție de numere întregi care ridicată la pătrat să dea exact 2. √2 = 1,41421356... are o scriere zecimală infinită și neperiodică — cifrele nu se repetă după niciun tipar. Un astfel de număr se numește număr irațional.

Exemple de numere iraționale: √2, √3, √5, √7 (rădăcinile pătrate ale numerelor care NU sunt pătrate perfecte) și celebrul π ≈ 3,14159..., raportul dintre lungimea cercului și diametrul său.

Mulțimea numerelor reale R cuprinde toate numerele raționale împreună cu toate cele iraționale. Lanțul complet de incluziuni, cerut la examen: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R. Mulțimea numerelor iraționale se scrie R \ Q (numerele reale care nu sunt raționale).

Cum decizi rapid unde se încadrează un număr:

• √36 = 6 → natural (deci și întreg, rațional, real);
• -√9 = -3 → întreg, dar nu natural;
• √10 → irațional, pentru că 10 nu e pătrat perfect;
• 2,(7) → rațional, pentru că e periodic.

Confuzia clasică: elevii declară √16 irațional doar pentru că are radical. Fals — sub radical stă un pătrat perfect, deci √16 = 4, număr natural. Nu radicalul face numărul irațional, ci imposibilitatea de a scăpa de el.

Aproximarea și încadrarea radicalilor între numere întregi

Chiar dacă √50 nu se calculează exact, îl putem încadra între două numere naturale consecutive. Căutăm pătratele perfecte vecine: 49 < 50 < 64, deci √49 < √50 < √64, adică 7 < √50 < 8. Partea întreagă a lui √50 este 7.

Acest tip de raționament apare în două forme la examen:

• direct: încadrați √a între doi întregi consecutivi;
• indirect: comparați numere de forme diferite, de exemplu √50 și 7,2 — ridici totul la pătrat: 50 față de 51,84, deci √50 < 7,2.

Regula de comparare a radicalilor: pentru numere pozitive, ordinea se păstrează la ridicarea la pătrat. Ca să compari 3√2 cu 2√3, compari pătratele: (3√2)² = 9 · 2 = 18 și (2√3)² = 4 · 3 = 12, deci 3√2 > 2√3.

Aproximările zecimale se cer uneori cu o zecimală exactă: √2 ≈ 1,4 (prin lipsă) sau 1,5 (prin adaos), √3 ≈ 1,7. Valorile √2 ≈ 1,41 și √3 ≈ 1,73 merită memorate — apar frecvent în problemele de geometrie.

Greșeala frecventă: la încadrare, elevii scriu 7 < √50 < 8 dar apoi declară partea întreagă 8. Partea întreagă este capătul din stânga al încadrării, adică cel mai mare întreg care nu depășește numărul.

Scoaterea factorilor de sub radical și introducerea sub radical

Formulele √(a·b) = √a · √b permit scoaterea factorilor de sub radical: descompui numărul de sub radical astfel încât să apară un pătrat perfect, apoi îl extragi.

Exemple lucrate:

• √12 = √(4 · 3) = √4 · √3 = 2√3;
• √72 = √(36 · 2) = 6√2;
• √300 = √(100 · 3) = 10√3.

Metoda sigură: descompui numărul în factori primi și scoți câte un factor pentru fiecare pereche. 72 = 2³ · 3² = 2² · 3² · 2, deci √72 = 2 · 3 · √2 = 6√2.

Operația inversă, introducerea sub radical: a√b = √(a² · b), valabilă pentru a > 0. Astfel 3√5 = √(9 · 5) = √45 — utilă la comparări.

Radicalii asemenea au aceeași parte iradicală și se pot aduna sau scădea ca termenii asemenea: 5√3 + 2√3 = 7√3, dar √2 + √3 rămâne așa, nu devine √5.

Două greșeli care apar an de an: √(a + b) desfăcut în √a + √b (formula e valabilă DOAR pentru produs și cât, niciodată pentru sumă) și scoaterea incompletă a factorilor, de exemplu √72 lăsat ca 2√18, care nu e formă finală pentru că 18 mai conține pătratul perfect 9.

Operații cu numere reale și raționalizarea numitorului

Cu numerele reale calculezi după aceleași reguli de ordine a operațiilor, la care se adaugă regulile radicalilor:

• înmulțirea: √a · √b = √(a·b), de exemplu √6 · √3 = √18 = 3√2;
• împărțirea: √a / √b = √(a/b), de exemplu √50 / √2 = √25 = 5;
• adunarea și scăderea: doar radicalii asemenea se restrâng: 4√5 - √5 = 3√5.

Distributivitatea funcționează normal: √2(√8 + 3) = √16 + 3√2 = 4 + 3√2.

Raționalizarea numitorului înseamnă eliminarea radicalului de la numitor, amplificând fracția cu radicalul respectiv: 1/√3 = √3/3, sau 6/√2 = 6√2/2 = 3√2. Forma finală a unui rezultat de examen nu lasă radicali la numitor.

Modulul se extinde natural la numerele reale, cu aceeași definiție a distanței. Apare des în forma: calculați |1 - √2|. Cum √2 ≈ 1,41 > 1, expresia 1 - √2 este negativă, deci |1 - √2| = √2 - 1 — modulul unei expresii negative este opusul ei.

Capcana de punctaj: la |a - b| elevii scad mecanic în ordinea scrisă fără să verifice care număr e mai mare. Întâi stabilești semnul expresiei din interior, abia apoi desfaci modulul.

Test — 6 întrebări ca la examen