Calcul algebric – Operații cu expresii algebrice

Elevii învață să prelucreze expresii algebrice, să efectueze operații cu monoame și polinoame și să aplice formule de calcul prescurtat.

Monoame și termeni asemenea

Un monom este o expresie formată dintr-un număr (numit coeficient) înmulțit cu una sau mai multe litere (numite parte literală) ridicate la puteri naturale. Exemple: 3x², -5xy, 7 (un număr singur e monom fără parte literală).

Două monoame sunt asemenea dacă au exact aceeași parte literală, cu aceleași litere la aceleași puteri: 3x²y și -8x²y sunt asemenea; 3x²y și 3xy² NU sunt, pentru că puterile diferă.

Operații cu monoame:

• adunarea și scăderea se pot face DOAR între monoame asemenea: 5x² + 3x² = 8x² (aduni coeficienții, partea literală rămâne). Expresia 5x² + 3x rămâne așa — nu se restrânge;
• înmulțirea merge între orice monoame: înmulțești coeficienții și aduni exponenții literelor identice: 2x³ · (-4x²) = -8x⁵;
• ridicarea la putere: fiecare factor se ridică la acea putere: (3x²)² = 9x⁴.

Greșeala numărul unu a clasei a VII-a: 5x² + 3x = 8x³ sau 8x². Ambele sunt false — termenii nu sunt asemenea și suma nu se poate restrânge. A doua capcană: x² · x³ = x⁶ (exponenții se ADUNĂ la înmulțire, se înmulțesc doar la putere de putere: (x²)³ = x⁶).

Adunarea, scăderea și desfacerea parantezelor

Un polinom este o sumă de monoame; fiecare monom este un termen al polinomului. Exemplu: 3x² - 5x + 2 are trei termeni.

Ca să aduni două polinoame, desfaci parantezele și reduci termenii asemenea: (3x² - 5x + 2) + (x² + 2x - 7) = 4x² - 3x - 5.

Toată dificultatea stă la scădere, adică la parantezele precedate de minus. Regula: minusul din față schimbă semnul fiecărui termen din paranteză:

• (3x² - 5x + 2) - (x² + 2x - 7) = 3x² - 5x + 2 - x² - 2x + 7 = 2x² - 7x + 9.

Observă: -(+2x) devine -2x, iar -(-7) devine +7. Elevii schimbă de obicei semnul primului termen și le uită pe celelalte — este cea mai frecventă sursă de punctaj pierdut la subiectul de calcul algebric.

Metodă de verificare rapidă: dă o valoare simplă necunoscutei (de exemplu x = 1) și calculează atât expresia inițială, cât și rezultatul tău. Dacă valorile diferă, ai o greșeală de semn pe undeva. La x = 1, expresia inițială dă (3-5+2) - (1+2-7) = 0 - (-4) = 4, iar rezultatul 2 - 7 + 9 = 4. Corect.

Înmulțirea polinoamelor

Monom cu polinom: distribuitivitatea — monomul înmulțește fiecare termen: 3x(2x² - x + 4) = 6x³ - 3x² + 12x. Atenție la semne: -2x(x - 5) = -2x² + 10x.

Polinom cu polinom: fiecare termen din prima paranteză înmulțește fiecare termen din a doua:

(x + 3)(2x - 5) = x · 2x + x · (-5) + 3 · 2x + 3 · (-5) = 2x² - 5x + 6x - 15 = 2x² + x - 15.

La două binoame ies patru produse; la un binom ori un trinom ies șase. Dacă ai mai puține, ai sărit ceva. După înmulțire, reduci obligatoriu termenii asemenea — un rezultat lăsat nerestrâns pierde puncte.

Semnele cer maximă atenție: (x - 2)(x - 3) = x² - 3x - 2x + 6 = x² - 5x + 6. Termenul liber este +6, pentru că minus ori minus dă plus.

Capcana clasică: elevii înmulțesc doar primul cu primul și ultimul cu ultimul: (x + 3)(x + 2) = x² + 6. Fals — lipsesc produsele încrucișate, rezultatul corect fiind x² + 5x + 6. Regula celor patru produse nu are excepții, cu o singură scurtătură permisă: formulele de calcul prescurtat din secțiunea următoare.

Formulele de calcul prescurtat

Trei formule trebuie știute perfect, în ambele sensuri:

• pătratul sumei: (a + b)² = a² + 2ab + b²;
• pătratul diferenței: (a - b)² = a² - 2ab + b²;
• produsul sumei cu diferența: (a + b)(a - b) = a² - b².

Exemple: (x + 5)² = x² + 10x + 25; (2x - 3)² = 4x² - 12x + 9; (3x - 4)(3x + 4) = 9x² - 16.

Cea mai gravă și mai răspândită greșeală din toată clasa a VII-a: (a + b)² = a² + b². Fals — lipsește dublul produs 2ab. Verificare imediată: (3 + 4)² = 49, dar 3² + 4² = 25. Termenul din mijloc nu este opțional.

La (a - b)², doar dublul produs primește minus; b² rămâne cu plus, pentru că (-b)² = b². Deci (x - 3)² = x² - 6x + 9, nu x² - 6x - 9.

Formulele sunt utile și la calcule numerice rapide, exact cum apar în subiecte: 51² = (50+1)² = 2500 + 100 + 1 = 2601; 39 · 41 = (40-1)(40+1) = 1600 - 1 = 1599.

Recunoașterea în sens invers (de la forma desfăcută la forma restrânsă) pregătește descompunerile: x² + 6x + 9 = (x+3)², pentru că 9 = 3² și 6x = 2 · x · 3 — verifică mereu dublul produsului înainte să declari un trinom pătrat perfect.

Împărțirea la un monom și descompunerea în factori

Împărțirea unui polinom la un monom: fiecare termen se împarte la monom; coeficienții se împart, exponenții literelor identice se scad: (6x⁴ - 9x³ + 3x²) : 3x² = 2x² - 3x + 1. Atenție la ultimul termen: 3x² : 3x² = 1, nu 0 — omiterea lui este o greșeală frecventă.

Descompunerea în factori (factorizarea) este operația inversă înmulțirii: scrii polinomul ca produs. Metodele, în ordinea în care le încerci:

• factorul comun: 6x² + 4x = 2x(3x + 2). Scoți cel mai mare factor posibil — coeficientul cel mai mare care divide toți coeficienții și litera la puterea cea mai mică;
• formulele de calcul prescurtat citite invers: x² - 25 = (x-5)(x+5); x² + 8x + 16 = (x+4)²; 4x² - 12x + 9 = (2x-3)²;
• gruparea termenilor: x³ + 2x² + 3x + 6 = x²(x+2) + 3(x+2) = (x+2)(x² + 3).

Strategia câștigătoare la examen: întâi factorul comun, apoi formulele. La 2x² - 18: scoți 2 și obții 2(x² - 9) = 2(x-3)(x+3).

Două capcane: x² + 9 NU se descompune (suma de pătrate nu are formulă — doar diferența!) și oprirea prematură: 3x² - 12 lăsat ca 3(x² - 4) e incomplet, forma finală fiind 3(x-2)(x+2).

Test — 6 întrebări ca la examen